高考数学二轮专题学与练 16 圆锥曲线的综合应用（高考押题）（含解析）

这是一份高考数学二轮专题学与练 16 圆锥曲线的综合应用（高考押题）（含解析），共16页。试卷主要包含了椭圆C，设双曲线C，已知抛物线C，已知椭圆E等内容，欢迎下载使用。
高考押题专练
1．已知F1，F2是椭圆＋y2＝1的左、右焦点，点P在椭圆上运动，则·的最大值是(　　)
A．－2　　　　　　 B．1
C．2 D．4
【解析】设P(x，y)，依题意得点F1(－，0)，F2(，0)，·＝(－－x)(－x)＋y2＝x2＋y2－3＝x2－2，因为－2≤x≤2，所以－2≤x2－2≤1，因此·的最大值是1.
【答案】B
2．已知椭圆＋＝1内有两点A(1，3)，B(3，0)，P为椭圆上一点，则|PA|＋|PB|的最大值为(　　)
A．3 B．4
C．5 D．15
【解析】在椭圆中，由a＝5，b＝4，得c＝3，故焦点为(－3，0)和(3，0)，点B是右焦点，记左焦点为C(－3，0)．
由椭圆的定义得|PB|＋|PC|＝10，
所以|PA|＋|PB|＝10＋|PA|－|PC|，
因为||PA|－|PC||≤|AC|＝5，所以当点P，A，C三点共线时，|PA|＋|PB|取得最大值15.
【答案】D
3．过抛物线y2＝4x的焦点的直线l与双曲线C：－y2＝1的两个交点分别为(x1，y1)，(x2，y2)，若x1·x2＞0，则k的取值范围是(　　)
A.
B.∪
C.
D.∪
【解析】易知双曲线两渐近线y＝±x，当k＞或k＜－时，l与双曲线的右支有两个交点，满足x1x2＞0.
【答案】D
4．椭圆C：＋＝1的焦点在x轴上，点A，B是长轴的两端点，若曲线C上存在点M满足∠AMB＝120°，则实数m的取值范围是(　　)
A．(3，＋∞) B．[1，3)
C．(0，) D．(0，1]
【解析】依题意，当0＜m＜3时，焦距在x轴上，要在曲线C上存在点M满足∠AMB＝120°，
则≥tan 60°，即≥.解得0＜m≤1.
【答案】D
5．在直线y＝－2上任取一点Q，过Q作抛物线x2＝4y的切线，切点分别为A，B，则直线AB恒过的点的坐标为(　　)
A．(0，1) B．(0，2)
C．(2，0) D．(1，0)
【解析】设Q(t，－2)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，抛物线方程变为y＝x2，则y′＝x，则在点A处的切线方程为y－y1＝x1(x－x1)，化简得y＝－x1x－y1，
同理，在点B处的切线方程为
y＝－x2x－y2，
又点Q(t，－2)的坐标适合这两个方程，
代入得－2＝－x1t－y1，－2＝－x2t－y2，
这说明A(x1，y1)，B(x2，y2)都满足方程
－2＝－xt－y，
则直线AB的方程为y－2＝－tx，直线AB恒过点(0，2)．
【答案】B
6．设双曲线C：－＝1(a＞0，b＞0)的一条渐近线与抛物线y2＝x的一个交点的横坐标为x0，若x0＞1，则双曲线C的离心率e的取值范围是________．
【解析】双曲线C：－＝1的一条渐近线为y＝x，
联立消去y，得x2＝x.
由x0＞1，知＜1，b2＜a2.
所以e2＝＝＜2，因此1＜e＜.
【答案】(1，)
7．已知抛物线C：x2＝8y的焦点为F，动点Q在C上，圆Q的半径为1，过点F的直线与圆Q切于点P，则·的最小值为________．
【解析】如图，·＝||2＝||2－1.

由抛物线的定义知：||＝d(d为点Q到准线的距离)，易知，抛物线的顶点到准线的距离最短，所以||min＝2，所以·的最小值为3.
【答案】3
8．已知抛物线y2＝4x，过焦点F的直线与抛物线交于A，B两点，过A，B分别作x轴，y轴的垂线，垂足分别为C，D，则|AC|＋|BD|的最小值为________．
【解析】不妨设A(x1，y1)(y1＞0)，B(x2，y2)(y2＜0)．
则|AC|＋|BD|＝x2＋y1＝＋y1.
又y1y2＝－p2＝－4.

所以|AC|＋|BD|＝－(y2＜0)．
利用导数易知y＝－在(－∞，－2)上递减，在(－2，0)上递增．所以当y2＝－2时，|AC|＋|BD|的最小值为3.
【答案】3
9．已知椭圆E：＋＝1(a＞b＞0)的离心率为，点P在椭圆E上．
(1)求椭圆E的方程；
(2)过点P且斜率为k的直线l交椭圆E于点Q(xQ，yQ)(点Q异于点P)，若0＜xQ＜1，求直线l斜率k的取值范围．
【解析】(1)由题意得解得
故椭圆E的方程为＋y2＝1.
(2)设直线l的方程为y－＝k(x－1)，代入方程＋y2＝1，
消去y，得(1＋4k2)x2＋(4k－8k2)x＋(4k2－4k－1)＝0，
所以xQ·1＝.
因为0＜xQ＜1，
所以0＜＜1，
即
解得－＜k＜或k＞，经检验，满足题意．
所以直线l斜率k的取值范围是－＜k＜或k＞.
10．已知抛物线C：x2＝2py(p＞0)的焦点为F，直线2x－y＋2＝0交抛物线C于A，B两点，P是线段AB的中点，过P作x轴的垂线交抛物线C于点Q.
(1)D是抛物线C上的动点，点E(－1，3)，若直线AB过焦点F，求|DF|＋|DE|的最小值；
(2)是否存在实数p，使|2＋|＝|2－|？若存在，求出p的值；若不存在，说明理由．
【解析】(1)因为直线2x－y＋2＝0与y轴的交点为(0，2)，
所以F(0，2)，则抛物线C的方程为x2＝8y，准线l：y＝－2.
设过D作DG⊥l于G，则|DF|＋|DE|＝|DG|＋|DE|，
当E，D，G三点共线时，|DF|＋|DE|取最小值为2＋3＝5.

(2)假设存在实数p，满足条件等式成立．
联立x2＝2py与2x－y＋2＝0，
消去y，得x2－4px－4p＝0.
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝4p，x1x2＝－4p，所以Q(2p，2p)．
因为|2＋|＝|2－|，
所以QA⊥QB，则·＝0.
因此(x1－2p)(x2－2p)＋(y1－2p)(y2－2p)＝0.
(x1－2p)(x2－2p)＋(2x1＋2－2p)·(2x2＋2－2p)＝0，
5x1x2＋(4－6p)(x1＋x2)＋8p2－8p＋4＝0，
把x1＋x2＝4p，x1x2＝－4p代入得4p2＋3p－1＝0，解得p＝或p＝－1(舍去)．
因此存在实数p＝，使得|2＋|＝|2－|成立．
11．已知椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的离心率为，点Q在椭圆上，O为坐标原点．
(1)求椭圆C的方程；
(2)已知点P，M，N为椭圆C上的三点，若四边形OPMN为平行四边形，证明四边形OPMN的面积S为定值，并求该定值．
【解析】(1)因为椭圆＋＝1(a＞b＞0)的离心率为，
所以e2＝＝＝，得a2＝2b2，①
又点Q在椭圆C上，
所以＋＝1，②
联立①、②得a2＝8，且b2＝4.
所以椭圆C的方程为＋＝1.
(2)当直线PN的斜率k不存在时，PN的方程为x＝或x＝－，从而有|PN|＝2，S＝|PN|·|OM|＝×2×2＝2；[来源:学科网]
当直线PN的斜率k存在时，
设直线PN的方程为y＝kx＋m(m≠0)，
P(x1，y1)，N(x2，y2)；
将PN的方程代入C整理得(1＋2k2)x2＋4kmx＋2m2－8＝0，
所以x1＋x2＝，x1·x2＝，[来源:学科网]
y1＋y2＝k(x1＋x2)＋2m＝.
由＝＋，
得M.
将M点坐标代入椭圆C方程得m2＝1＋2k2.
又点O到直线PN的距离为d＝，
|PN|＝|x1－x2|，
S＝d·|PN|＝|m|·|x1－x2|＝·|x1－x2|＝＝2.
综上可知，平行四边形OPMN的面积S为定值2.
10.设圆x2＋y2＋2x－15＝0的圆心为A，直线l过点B(1，0)且与x轴不重合，l交圆A于C，D两点，过B作AC的平行线交AD于点E.
(1)证明|EA|＋|EB|为定值，并写出点E的轨迹方程；
(2)设点E的轨迹为曲线C1，直线l交C1于M，N两点，过B且与l垂直的直线与圆A交于P，Q两点，求四边形MPNQ面积的取值范围．
【解析】(1)因为|AD|＝|AC|，EB∥AC，
所以∠EBD＝∠ACD＝∠ADC，所以|EB|＝|ED|，
故|EA|＋|EB|＝|EA|＋|ED|＝|AD|.
又圆A的标准方程为(x＋1)2＋y2＝16，从而圆心A(－1，0)，|AD|＝4.
所以|EA|＋|EB|＝4.
又因为B(1，0)，所以|AB|＝2，
由椭圆定义可得点E的轨迹方程为＋＝1(y≠0)．
(2)【解析】当l与x轴不垂直时，设l的方程为y＝k(x－1)(k≠0)，M(x1，y1)，N(x2，y2)．
由得(4k2＋3)x2－8k2x＋4k2－12＝0，
则x1＋x2＝，x1x2＝，
所以|MN|＝|x1－x2|＝.
过点B(1，0)且与l垂直的直线m：y＝－(x－1)，点A到直线m的距离为，
所以|PQ|＝2＝4.
故四边形MPNQ的面积S＝|MN|| PQ|＝12.
可得当l与x轴不垂直时，四边形MPNQ面积的取值范围为(12，8)．
当l与x轴垂直时，其方程为x＝1，|MN|＝3，|PQ|＝8，
故四边形MPNQ的面积为12.
综上可知，四边形MPNQ面积的取值范围为[12，8)．
11.已知椭圆C：＋y2＝1，点O是坐标原点，点P是椭圆C上任意一点，且点M满足＝λ(λ＞1，λ是常数)．当点P在椭圆C上运动时，点M形成的曲线为Cλ.
(1)求曲线Cλ的轨迹方程；
(2)直线l是椭圆C在点P处的切线，与曲线Cλ的交点为A，B两点，探究△OAB的面积是否为定值．若是，求△OAB的面积，若不是，请说明理由．
【解析】(1)设点M的坐标为(x，y)，对应的点P的坐标为.
由于点P在椭圆C上，
得＋＝1，
即曲线Cλ的轨迹是椭圆，标准方程为＋＝1.[来源:学*科*网]
(2)当直线l的斜率不存在时，这时直线l的方程为x＝±2，
联立方程组y＝±，得|AB|＝2.
得S△OAB＝|OP|·|AB|＝2，
当直线l的斜率存在时，设l：y＝kx＋m，
联立方程组得(4k2＋1)x2＋8kmx＋4(m2－1)＝0，
由Δ＝0，可得m2＝4k2＋1.联立方程组得(4k2＋1)x2＋8kmx＋4(m2－λ2)＝0.
所以x1＋x2＝－，
x1x2＝.
则|AB|＝·＝
.
原点到直线l的距离为d＝＝
，
所以S△OAB＝|AB|d＝2.
综上所述，△OAB的面积为定值2.
12．如图所示，抛物线关于x轴对称，它的顶点在坐标原点，点P(1,2)，A(x1，y1)，B(x2，y2)均在抛物线上．

(1)写出该抛物线的方程及其准线方程；
(2)当PA与PB的斜率存在且倾斜角互补时，求y1－y2的值及直线AB的斜率．
【解析】(1)由已知条件，可设抛物线的方程为y2＝2px(p>0)．
因为点P(1,2)在抛物线上，所以22＝2p×1，解得p＝2.故所求抛物线的方程是y2＝4x，准线方程是x＝－1.
(2)设直线PA的斜率为kPA，直线PB的斜率为kPB，
则kPA＝(x1≠1)，kPB＝(x2≠1)，
因为PA与PB的斜率存在且倾斜角互补，所以kPA＝－kPB.
由A(x1，y1)，B(x2，y2)均在抛物线上，得
y＝4x1，①
y＝4x2，②
所以＝－，所以y1＋2＝－(y2＋2)．
所以y1＋y2＝－4.
由①－②得，y－y＝4(x1－x2)，
所以kAB＝＝＝－1(x1≠x2)．
13．已知F1，F2为椭圆E：＋＝1(a>b>0)的左、右焦点，点P(1，)在椭圆E上，且|PF1|＋|PF2|＝4.
(1)求椭圆E的方程；
(2)过F1的直线l1，l2分别交椭圆E于A，C和B，D，且l1⊥l2，问是否存在常数λ，使得，λ，成等差数列？若存在，求出λ的值，若不存在，请说明理由．
【解析】(1)∵|PF1|＋|PF2|＝4，
∴2a＝4，a＝2.
∴椭圆E：＋＝1.
将P(1，)代入可得b2＝3，
∴椭圆E的方程为＋＝1.
(2)①当AC的斜率为零或斜率不存在时，＋＝＋＝；
②当AC的斜率k存在且k≠0时，AC的方程为y＝k(x＋1)，
代入椭圆方程＋＝1，并化简得(3＋4k2)x2＋8k2x＋4k2－12＝0.
设A(x1，y1)，C(x2，y2)，
则x1＋x2＝－，x1·x2＝.
|AC|＝|x1－x2|
＝＝.
∵直线BD的斜率为－，
∴|BD|＝＝.
∴＋＝＋＝.
综上，2λ＝＋＝，
∴λ＝.
故存在常数λ＝，使得，λ，成等差数列．
14．设M，N，T是椭圆＋＝1上的三个点，M，N在直线x＝8上的射影分别为M1，N1.
(1)若直线MN过原点O，直线MT，NT的斜率分别为k1，k2，求证：k1k2为定值；
(2)若M，N不是椭圆长轴的端点，点L的坐标为(3,0)，△M1N1L与△MNL的面积之比为5∶1，求MN中点K的轨迹方程．
【解析】(1)证明：设M(p，q)，N(－p，－q)，T(x0，y0)，则k1k2＝＝，
又故＋＝0，
即＝－，所以k1k2＝－，为定值．
(2)设直线MN与x轴相交于点R(r,0)，
S△MNL＝|r－3|·|yM－yN|，S△M1N1L＝·5·|yM1－yN1|.
因为S△M1N1L＝5S△MNL，
所以·5·|yM1－yN1|＝5·|r－3|·|yM－yN|，
又|yM1－yN1|＝|yM－yN|，
解得r＝4(舍去)，或r＝2，即直线MN经过点F(2,0)．
设M(x1，y1)，N(x2，y2)，K(x0，y0)，
①当MN垂直于x轴时，MN的中点K即为F(2,0)；
②当MN与x轴不垂直时，设MN的方程为y＝k(x－2)，则消去y得，(3＋4k2)x2－16k2x＋16k2－48＝0.
x1＋x2＝，x1x2＝.
x0＝，y0＝.
消去k，整理得(x0－1)2＋＝1(y1≠0)．
经检验，(2,0)也满足(x0－1)2＋＝1.
综上所述，点K的轨迹方程为(x－1)2＋＝1(x>0)．
15．已知椭圆＋＝1(a>b>0)经过点P(－2,0)与点(1,1)．
(1)求椭圆的方程；
(2)过P点作两条互相垂直的直线PA，PB，交椭圆于A，B，求证：直线AB经过定点．
【解析】(1)由题意得，
解得a2＝4，b2＝，椭圆的方程为＋＝1.
(2)证明：由对称性知，若存在定点，则必在x轴上，
当kPA＝1时，lPA：y＝x＋2，
∴
∴x2＋3(x2＋4x＋4)＝4⇒x＝－1.
以下验证：定点为(－1,0)，
由题意知，直线PA，PB的斜率均存在，
设直线PA的方程为y＝k(x＋2)，A(xA，yA)，B(xB，yB)．
则x2＋3k2(x2＋4x＋4)＝4⇒xA＝，
yA＝，
同理xB＝，yB＝－，
则＝＝，得证．
16．已知椭圆C的中心在原点，焦点在x轴上，离心率为，它的一个焦点恰好与抛物线y2＝4x的焦点重合．
(1)求椭圆C的方程；
(2)设椭圆的上顶点为A，过点A作椭圆C的两条动弦AB，AC，若直线AB，AC斜率之积为，直线BC是否恒过一定点？若经过，求出该定点坐标；若不经过，请说明理由．
【解析】(1)由题意知椭圆的一个焦点为F(1,0)，则c＝1.由e＝＝得a＝，∴b＝1，
∴椭圆C的方程为＋y2＝1.
(2)由(1)知A(0,1)，当直线BC的斜率不存在时，
设BC：x＝x0，设B(x0，y0)，则C(x0，－y0)，
kAB·kAC＝·＝＝＝≠，
不合题意．故直线BC的斜率存在．
设直线BC的方程为：y＝kx＋m(m≠1)，并代入椭圆方程，得：(1＋2k2)x2＋4kmx＋2(m2－1)＝0， ①
由Δ＝(4km)2－8(1＋2k2)(m2－1)>0，
得2k2－m2＋1>0. ②
设B(x1，y1)，C(x2，y2)，则x1，x2是方程①的两根，由根与系数的关系得，
x1＋x2＝－，x1x2＝，
由kAB·kAC＝·＝得：
4y1y2－4(y1＋y2)＋4＝x1x2，
即(4k2－1)x1x2＋4k(m－1)(x1＋x2)＋4(m－1)2＝0，
整理得(m－1)(m－3)＝0，
又因为m≠1，所以m＝3，
此时直线BC的方程为y＝kx＋3.
所以直线BC恒过一定点(0,3)．
17．如图，已知椭圆C：＋y2＝1，过点P(1,0)作斜率为k的直线l，且直线l与椭圆C交于两个不同的点M，N.

(1)设点A(0,2)，k＝1，求△AMN的面积；
(2)设点B(t,0)，记直线BM，BN的斜率分别为k1，k2.问是否存在实数t，使得对于任意非零实数k，(k1＋k2)·k为定值？若存在，求出实数t的值及该定值；若不存在，请说明理由．
【解析】(1)当k＝1时，直线l的方程为y＝x－1.
由得x＝0或x＝，
当x＝0时，y＝－1，
当x＝时，y＝，
不妨设N(0，－1)，M.
所以|AN|＝3.
所以S△AMN＝×3×＝.
(2)由题意知，直线MN的方程为y＝k(x－1)，
设M(x1，y1)，N(x2，y2)．
由得(1＋4k2)x2－8k2x＋4k2－4＝0.
所以x1＋x2＝，x1x2＝.
由k1＝，k2＝，得
(k1＋k2)·k＝k
＝k2
＝
＝
＝.
若2t－8＝0，则t＝4，(k1＋k2)·k＝0为定值．
若2t－8≠0，则当t2－4＝0，
即t＝±2时，(k1＋k2)·k＝为定值．
所以当t＝4时，(k1＋k2)·k＝0；
当t＝2时，(k1＋k2)·k＝－1；
当t＝－2时，(k1＋k2)·k＝－.
18．已知椭圆与抛物线y2＝4x有一个相同的焦点，且该椭圆的离心率为.
(1)求椭圆的标准方程．
(2)过点P(0,1)的直线与该椭圆交于A，B两点，O为坐标原点，若＝2，求△AOB的面积．
【解析】(1)依题意，设椭圆的标准方程为＋＝1(a>b>0)，由题意可得c＝，
又e＝＝，∴a＝2.
∴b2＝a2－c2＝2，
∴椭圆的标准方程为＋＝1.
(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
故＝(－x1，1－y1)，＝(x2，y2－1)．
由＝2，得
设直线AB的方程为y＝kx＋1，
代入椭圆方程整理，得(2k2＋1)x2＋4kx－2＝0，
∴x1＋x2＝，x1x2＝.
将x1＝－2x2代入上式可得，x2＝，x1＝.
∴x1x2＝＝，解得k2＝.
∴△AOB的面积S＝|OP|·|x1－x2|
＝＝·＝.
19．已知右焦点为F2(c,0)的椭圆C：＋＝1(a>b>0)过点，且椭圆C关于直线x＝c对称的图形过坐标原点．
(1)求椭圆C的方程；
(2)过点作直线l与椭圆C交于E，F两点，线段EF的中点为M，点A是椭圆C的右顶点，求直线MA的斜率k的取值范围．
【解析】(1)∵椭圆C过点，∴＋＝1， ①
∵椭圆C关于直线x＝c对称的图形过坐标原点，∴a＝2c，
∵a2＝b2＋c2，∴b2＝a2， ②
由①②得a2＝4，b2＝3，
∴椭圆C的方程为＋＝1.
(2)依题意，直线l过点且斜率不为零，故可设其方程为x＝my＋.
由消去x，并整理得4(3m2＋4)y2＋12my－45＝0.
设E(x1，y1)，F(x2，y2)，M(x0，y0)，
∴y1＋y2＝－，∴y0＝＝－，
∴x0＝my0＋＝，∴k＝＝.
当m＝0时，k＝0；
当m≠0时，k＝＝，
∵＝4|m|＋≥8，
∴0