高考数学二轮专题学与练 16 圆锥曲线的综合应用（考点解读）（含解析）

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专题16 圆锥曲线的综合应用

圆锥曲线中的定点与定值、最值与范围问题是高考的热点，主要以解答题的形式呈现，往往作为考题的压轴题之一，以椭圆或抛物线为背景，尤其是与条件或结论相关存在性开放问题，对考生的代数恒等变形能力、计算能力有较高要求．

高频考点一 圆锥曲线中的最值、范围
圆锥曲线中的范围、最值问题，可以转化为函数的最值问题(以所求式子或参数为函数值)，或者利用式子的几何意义求解．
例1、如图所示，设抛物线y2＝2px(p>0)的焦点为F，抛物线上的点A到y轴的距离等于|AF|－1.

(1)求p的值；
(2)若直线AF交抛物线于另一点B，过B与x轴平行的直线和过F与AB垂直的直线交于点N，AN与x轴交于点M，求M的横坐标的取值范围．
【解析】(1)由题意可得，抛物线上点A到焦点F的距离等于点A到直线x＝－1的距离，
由抛物线的定义得＝1，即p＝2.
(2)由(1)得，抛物线方程为y2＝4x，F(1，0)，
可设A(t2，2t)，t≠0，t≠±1.
故直线FN的斜率为－，
从而得直线FN：y＝－(x－1)，直线BN：y＝－，所以N.
【变式探究】已知点A(0，－2)，椭圆E：＋＝1(a＞b＞0)的离心率为，F是椭圆E的右焦点，直线AF的斜率为，O为坐标原点．
(1)求E的方程；
(2)设过点A的动直线l与E相交于P，Q两点，当△OPQ的面积最大时，求l的方程．
【解析】(1)设F(c，0)，由条件知，＝，得c＝.
又＝，所以a＝2，b2＝a2－c2＝1.
故E的方程为＋y2＝1.
(2)当l⊥x轴时不合题意，
故设l：y＝kx－2，P(x1，y1)，Q(x2，y2)．
将y＝kx－2代入＋y2＝1，
得(1＋4k2)x2－16kx＋12＝0.
当Δ＝16(4k2－3)＞0，
即k2＞时，x1，2＝.
从而|PQ|＝|x1－x2|＝.
又点O到直线PQ的距离d＝ .
所以△OPQ的面积S△OPQ＝d·|PQ|＝.
设＝t，则t＞0，S△OPQ＝＝.
因为t＋≥4，当且仅当t＝2，即k＝±时等号成立，且满足Δ＞0.
所以当△OPQ的面积最大时，l的方程为y＝x－2或y＝－x－2.
【变式探究】在直角坐标系xOy中，椭圆C的方程为＋＝1(a>b>0)，左右焦点分别为F1，F2，R为短轴的一个端点，且△RF1F2的面积为.设过原点的直线l与椭圆C交于A，B两点，P为椭圆C上异于A，B的一点，且直线PA，PB的斜率都存在，kPA·kPB＝－.
(1)求a，b的值；
(2)设Q为椭圆C上位于x轴上方的一点，且QF1⊥x轴，M、N为曲线C上不同于Q的两点，且∠MQF1＝∠NQF1，设直线MN与y轴交于点D(0，d)，求d的取值范围．
解析：(1)设A(x1，y1)，P(x2，y2)，则B(－x1，－y1)，
进一步得，＋＝1，＋＝1，
两个等式相减得，＋＝0，
所以·＝－，所以kPA·kPB＝－，因为kPA·kPB＝－，所以－＝－，即＝，
设b＝t，a＝2t(t>0)，
因为a2＝b2＋c2，所以c＝t，
由△RF1F2的面积为得，＝，即bc＝，
即t2＝，t＝1，所以a＝2，b＝.
(2)设直线QM的斜率为k，因为∠MQF1＝∠NQF1，所以QM，QN关于直线QF1对称，
所以，直线QN的斜率为－k，
计算得F1(－1,0)，Q，
所以直线QM的方程是y－＝k(x＋1)，
设M(x3，y3)，N(x4，y4)，
由消去y得(3＋4k2)x2＋(12＋8k)kx＋(4k2＋12k－3)＝0，
所以－1·x3＝，
所以x3＝，
将上式中的k换成－k得，x4＝，
所以kMN＝＝＝＝－，
所以直线MN的方程是y＝－x＋d，
代入椭圆方程＋＝1得，x2－dx＋d2－3＝0，
所以Δ＝(－d)2－4(d2－3)>0，所以－20)．
又点在椭圆C上，
所以解得
因此，椭圆C的方程为＋y2＝1.
因为圆O的直径为F1F2，所以其方程为x2＋y2＝3.
(2)①设直线l与圆O相切于P(x0，y0)(x0>0，y0>0)，则x＋y＝3，
所以直线l的方程为y＝－(x－x0)＋y0，
即y＝－x＋.
由消去y，得
(4x＋y)x2－24x0x＋36－4y＝0.(*)
因为直线l与椭圆C有且只有一个公共点，
所以Δ＝(－24x0)2－4(4x＋y)·(36－4y)＝48y(x－2)＝0.
因为x0＞0，y0>0，
所以x0＝，y0＝1.
因此，点P的坐标为(，1)．
②因为△OAB的面积为，
所以AB·OP＝，从而AB＝.
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
由(*)得x1,2＝，
所以AB2＝(x1－x2)2＋(y1－y2)2
＝·.
因为x＋y＝3，
所以AB2＝＝，即2x－45x＋100＝0，
解得x＝(x＝20舍去)，则y＝，
因此P的坐标为.
则直线l的方程为y＝－x＋3.
解法二：(1)由题意知c＝，
所以圆O的方程为x2＋y2＝3，
因为点在椭圆上，所以
2a＝ ＋ ＝4，
所以a＝2.
因为a2＝b2＋c2，所以b＝1，
所以椭圆C的方程为＋y2＝1.
(2)①由题意知直线l与圆O和椭圆C均相切，且切点在第一象限，所以直线l的斜率k存在且k＜0，
设直线l的方程为y＝kx＋m(k＜0，m＞0)，
将直线l的方程代入圆O的方程，得x2＋(kx＋m)2＝3，
整理得(k2＋1)x2＋2kmx＋m2－3＝0，
因为直线l与圆O相切，所以Δ＝(2km)2－4(k2＋1)(m2－3)＝0，整理得m2＝3k2＋3，
将直线l的方程代入椭圆C的方程，
得＋(kx＋m)2＝1，
整理得(4k2＋1)x2＋8kmx＋4m2－4＝0，
因为直线l与椭圆C相切，
所以Δ＝(8km)2－4(4k2＋1)(4m2－4)＝0，
整理得m2＝4k2＋1，所以3k2＋3＝4k2＋1，
因为k＜0，所以k＝－，则m＝3，
将k＝－，m＝3代入(k2＋1)x2＋2kmx＋m2－3＝0，
整理得x2－2x＋2＝0，
解得x1＝x2＝，将x＝代入x2＋y2＝3，
解得y＝1(y＝－1舍去)，所以点P的坐标为(，1)．
②设A(x1，kx1＋m)，B(x2，kx2＋m)，
由①知m2＝3k2＋3，且k＜0，m＞0，
因为直线l和椭圆C相交，所以m2＜4k2＋1，解得k＜－，
将直线l的方程和椭圆C的方程联立可得(4k2＋1)x2＋8kmx＋4m2－4＝0，
解得x1,2＝，
所以|x1－x2|＝，
因为AB＝＝|x1－x2|＝·，O到l的距离d＝＝，
所以S△OAB＝···＝···＝，解得k2＝5，
因为k＜0，所以k＝－，则m＝3，
即直线l的方程为y＝－x＋3.
5．(2018·全国卷Ⅰ)设椭圆C：＋y2＝1的右焦点为F，过F的直线l与C交于A，B两点，点M的坐标为(2,0)．
(1)当l与x轴垂直时，求直线AM的方程；
(2)设O为坐标原点，证明：∠OMA＝∠OMB．
【解析】(1)由已知得F(1,0)，l的方程为x＝1.
由已知可得，点A的坐标为或.
又M(2,0)，所以AM的方程为y＝－x＋或y＝x－.
(2)证明：当l与x轴重合时，∠OMA＝∠OMB＝0°.
当l与x轴垂直时，直线OM为AB的垂直平分线，
所以∠OMA＝∠OMB．
当l与x轴不重合也不垂直时，设l的方程为
y＝k(x－1)(k≠0)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则x10)，四点P1(1,1)，P2(0,1)，P3(–1，)，P4(1，)中恰有三点在椭圆C上.
(1)求C的方程；
(2)设直线l不经过P2点且与C相交于A，B两点.若直线P2A与直线P2B的斜率的和为–1，证明：l过定点.
【答案】(1).(2)见解析。
【解析】(1)由于， 两点关于y轴对称，故由题设知C经过， 两点.
又由知，C不经过点P1，所以点P2在C上.
因此，解得.
故C的方程为.
(2)设直线P2A与直线P2B的斜率分别为k1，k2，
如果l与x轴垂直，设l：x=t，由题设知，且，可得A，B的坐标分别为(t， )，(t， ).
则，得，不符合题设.
从而可设l： ().将代入得

由题设可知.
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1+x2=，x1x2=.
而

.
由题设，故.
即.
解得.
当且仅当时， ，欲使l： ，即，
所以l过定点(2， )
3.【2017山东，理21】在平面直角坐标系中，椭圆：的离心率为，焦距为.
(Ⅰ)求椭圆的方程；
(Ⅱ)如图，动直线：交椭圆于两点，是椭圆上一点，直线的斜率为，且，是线段延长线上一点，且，的半径为，是的两条切线，切点分别为.求的最大值，并求取得最大值时直线的斜率.

【答案】(I).
(Ⅱ)的最大值为，取得最大值时直线的斜率为.
【解析】
(I)由题意知 ， ，
所以 ，
因此 椭圆的方程为.
(Ⅱ)设，
联立方程
得，
由题意知，
且，
所以 .
由题意可知圆的半径为
由题设知，
所以
因此直线的方程为.
联立方程
得，
因此 .
由题意可知 ，
而
，
令，
则，
因此 ，
当且仅当，即时等号成立，此时，
所以 ，
因此，
所以 最大值为.
综上所述： 的最大值为，取得最大值时直线的斜率为.
4.【2017北京，理18】已知抛物线C：y2=2px过点P(1，1).过点(0，)作直线l与抛物线C交于不同的两点M，N，过点M作x轴的垂线分别与直线OP，ON交于点A，B，其中O为原点.
(Ⅰ)求抛物线C的方程，并求其焦点坐标和准线方程；
(Ⅱ)求证：A为线段BM的中点.
【答案】(Ⅰ)方程为，抛物线C的焦点坐标为(，0)，准线方程为.(Ⅱ)详见解析.
【解析】
(Ⅰ)由抛物线C： 过点P(1，1)，得.
所以抛物线C的方程为.
抛物线C的焦点坐标为(，0)，准线方程为.
(Ⅱ)由题意，设直线l的方程为()，l与抛物线C的交点为， .
由，得.
则， .
因为点P的坐标为(1，1)，所以直线OP的方程为，点A的坐标为.
直线ON的方程为，点B的坐标为.
因为




，
所以.
故A为线段BM的中点.
5.【2017天津，理19】设椭圆的左焦点为，右顶点为，离心率为.已知是抛物线的焦点，到抛物线的准线的距离为.
(I)求椭圆的方程和抛物线的方程；
(II)设上两点，关于轴对称，直线与椭圆相交于点(异于点)，直线与轴相交于点.若的面积为，求直线的方程.
【答案】(Ⅰ)， .(Ⅱ)，或.
【解析】
(Ⅰ)【解析】设的坐标为.依题意， ， ， ，解得， ， ，于是.所以，椭圆的方程为，抛物线的方程为.
(Ⅱ)【解析】设直线的方程为，与直线的方程联立，可得点，故.将与联立，消去，整理得，解得，或.由点异于点，可得点.由，可学*科.网得直线的方程为，令，解得，故.所以.又因为的面积为，故，整理得，解得，所以.
所以，直线的方程为，或.
6.【2017江苏，17】 如图,在平面直角坐标系中,椭圆的左、右焦点分别为, ,离心率为,两准线之间的距离为8.点在椭圆上，且位于第一象限，过点作 直线的垂线,过点作直线的垂线.
(1)求椭圆的标准方程；
(2)若直线的交点在椭圆上,求点的坐标.

【答案】(1)(2)
【解析】(1)设椭圆的半焦距为c.
因为椭圆E的离心率为，两准线之间的距离为8，所以， ，
解得，于是，
因此椭圆E的标准方程是.
(2)由(1)知， ， .
设，因为点为第一象限的点，故.
当时， 与相交于，与题设不符.
当时，直线的斜率为，直线的斜率为.
因为， ，所以直线的斜率为，直线的斜率为，
从而直线的方程： ， ①
直线的方程： . ②
由①②，解得，所以.
因为点在椭圆上，由对称性，得，即或.
又在椭圆E上，故.
由，解得； ，无解.
因此点P的坐标为.