高考数学二轮专题学与练 17 概率与统计（高考押题）（含解析）

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高考押题专练
1．有3个兴趣小组，甲、乙两位同学各自参加其中一个小组，每位同学参加各个小组的可能性相同，则这两位同学参加同一个兴趣小组的概率为(　　)
A. B. C. D.
【答案】A　
【解析】甲、乙两人都有3种选择，共有3×3＝9种情况，甲、乙两人参加同一兴趣小组共有3种情况，
∴甲、乙两人参加同一兴趣小组的概率P＝＝，故选A.
2．在区间[－2，3]上随机选取一个数X，则X≤1的概率为(　　)
A. B. C. D.
【答案】B　
【解析】这是一个几何概型问题，测度是长度，此问题的总体长度为5，使得“X≤1”的长度为3，故P(X≤1)＝.
3．从1，2，…，9中任取两数，其中：①恰有一个偶数和恰有一个奇数；②至少有一个奇数和两个数都是奇数；③至少有一个奇数和两个数都是偶数；④至少有一个奇数和至少有一个偶数．
在上述事件中，是对立事件的是(　　)
A．① B．②④ C．③ D．①③
【答案】C　
【解析】从1，2，…，9中任取两数，包括一奇一偶、二奇、二偶，共三种互斥事件，所以只有③中的两个事件才是对立的．
4．在1，2，3，4，5，6，7，8这组数据中，随机取出五个不同的数，则数字5是取出的五个不同数的中位数的概率为(　　)
A. B. C. D.
【答案】B　
【解析】要满足题意，则抽取的除5以外的四个数字中，有两个比5小，有两个比5大，故所求概率P＝＝.
5．安排甲、乙、丙、丁四人参加周一至周六的公益活动，每天只需一人参加，其中甲参加三天活动，乙、丙、丁每人参加一天，那么甲连续三天参加活动的概率为(　　)
A. B. C. D.
【答案】B　
【解析】由题意分析可得，甲连续三天参加活动的所有情况为：第1～3天，第2～4天，第3～5天，第4～6天，共4种，∴所求概率P＝＝.
6．设k是一个正整数，已知的展开式中第四项的系数为，函数y＝x2与y＝kx的图象所围成的区域如图中阴影部分所示，任取x∈[0，4]，y∈[0，16]，则点(x，y)恰好落在阴影部分内的概率为(　　)

A. B. C. D.
【答案】C　
【解析】由题意得C＝，解得k＝4.因为函数y＝x2与y＝4x的交点坐标为(4，4)，所以阴影部分的面积S1＝(4x－x2)dx＝|＝，
∵任取x∈[0，4]，y∈[0，16]，
∴以x，y为横、纵坐标的所有可能的点构成的区域面积S2＝4×16＝64，所以所求概率P＝＝，故选C.
7．如图，在矩形区域ABCD的A，C两点处各有一个通信基站，假设其信号的覆盖范围分别是扇形区域ADE和扇形区域CBF(该矩形区域内无其他信号来源，基站工作正常)．若在该矩形区域内随机地选一地点，则该地点无信号的概率是(　　)

A．1－ B.－1 C．2－ D.
【答案】A　
【解析】依题意，有信号的区域面积为×2＝，矩形的面积为2，故所求概率为P＝＝1－.
8．已知数列{an}是等差数列，从a1，a2，a3，a4，a5，a6，a7中取走任意四项，则剩下三项构成等差数列的概率为(　　)
A. B.
C．1或 D．1或
【答案】C　
【解析】当等差数列{an}的公差为0时，剩下三项一定构成等差数列，故概率为1.
当等差数列{an}的公差不为0时，从a1，a2，a3，a4，a5，a6，a7中取走任意四项，剩下三项的总数有C＝35(种)，剩下三项构成等差数列，则符合条件的有(a1，a2，a3)，(a2，a3，a4)，(a3，a4，a5)，(a4，a5，a6)，(a5，a6，a7)，(a1，a3，a5)，(a2，a4，a6)，(a3，a5，a7)，(a1，a4，a7)9种情况，故剩下三项构成等差数列的概率为.
9．在不等式组所表示的平面区域内任取一点P，若点P的坐标(x，y)满足y≥kx的概率为，则实数k＝(　　)
A．4 B．2 C. D.
【答案】D　
【解析】如图，满足不等式组的区域是边长为2的正方形，面积是4，假设满足不等式y≥kx的区域如图阴影部分，其面积为4－×2×2k，由几何概型的概率公式得点P的坐标(x，y)满足y≥kx的概率为＝，解得k＝.

10．如图所示，在长方体ABCD­A1B1C1D1中，E，H分别是棱A1B1，D1C1上的点(点E与B1不重合)，且EH∥A1D1，过EH的平面与棱BB1，CC1相交，交点分别为F，G.若AB＝2AA1＝2a，EF＝a，B1E＝B1F，在长方体ABCD­A1B1C1D1内随机选取一点，则该点取自于几何体A1ABFE­D1DCGH内的概率为(　　)

A. B. C. D.
【答案】D　
【解析】在等腰直角三角形B1EF中，因为斜边EF＝a，所以B1E＝B1F＝a.
根据几何概型概率公式，得
P＝
＝
＝1－
＝1－＝1－
＝1－·a·a＝1－＝.故选D.
11．两个实习生每人加工一个零件，加工为一等品的概率分别为和，两个零件是否加工为一等品相互独立，则这两个零件中恰有一个一等品的概率为(　　)
A. B. C. D.
【答案】B　
【解析】记两个零件中恰有一个一等品的事件为A，则P(A)＝P(A1)＋ P(A2)＝×＋×＝.
12．某种子每粒发芽的概率都为0.9，现播种了1 000粒，对于没有发芽的种子，每粒需再补种2粒，补种的种子数记为X，则X的数学期望为(　　)
A．100 B．200 C．300 D．400
【答案】B　
【解析】1 000粒种子每粒不发芽的概率为0.1，
∴不发芽的种子数ξ～B(1 000，0.1)，
∴1 000粒种子中不发芽的种子数的数学期望E(ξ)＝1 000×0.1＝100(粒)，又每粒不发芽的种子需补种2粒，
∴需补种的种子数的数学期望E(X)＝2×100＝200(粒)．
13．已知随机变量ξ的分布列为P(ξ＝k)＝，k＝1，2，…，则P(21的点数对(m，n)共有5组，因此所求的概率为＝.
24．齐王与田忌赛马，田忌的上等马优于齐王的中等马，劣于齐王的上等马，田忌的中等马优于齐王的下等马，劣于齐王的中等马，田忌的下等马劣于齐王的下等马，现从双方的马匹中各随机选一匹进行一场比赛，则田忌的马获胜的概率为(　　)
A. B. C. D.
【答案】A　
【解析】设田忌的上、中、下三个等次的马分别为A，B，C，齐王的上、中、下三个等次的马分别为a，b，c，从双方的马匹中各随机选一匹进行一场比赛的所有可能结果有Aa，Ab，Ac，Ba，Bb，Bc，Ca，Cb，Cc，共9种，田忌马获胜有Ab，Ac，Bc，共3种，所以田忌的马获胜的概率为.
25．在平面区域{(x，y)|0≤x≤1，1≤y≤2}内随机投入一点P，则点P的坐标(x，y)满足y≤2x的概率为(　　)
A. B. C. D.
【答案】D　
【解析】依题意得，不等式组表示的平面区域为如图所示的正方形ABCD的内部(含边界)，其面积为1×1＝1，不等式组表示的平面区域为图中阴影部分(含边界)，其面积为××1＝，因此所求的概率为.

26．在区间[－1,1]上随机取一个数k，使直线y＝k(x＋3)与圆x2＋y2＝1相交的概率为(　　)
A. B. C. D.
【答案】C　
【解析】若直线y＝k(x＋3)与圆x2＋y2＝1相交，则圆心到直线的距离d＝