2023年吉林省中考数学真题（解析版）

这是一份2023年吉林省中考数学真题（解析版），共25页。

吉林省2023年初中学业水平考试
数学试题
数学试卷共7页，包括六道大题，共26道小题．全卷满分120分．考试时间为120分钟．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．
注意事项：
1．答题前，考生务必将姓名、准考证号填写在答题卡上，并将条形码准确粘贴在条形码区域内．
2．答题时，考生务必按照考试要求在答题卡上的指定区域内作答，在草稿纸、试卷上答题无效．
一、单项选择题（每小题2分，共12分）
1. 月球表面的白天平均温度零上，记作，夜间平均温度零下，应记作（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据正负数表示相反意义的量，平均温度零上表示正，平均温度零下表示负即可求解．
【详解】解：平均温度零上，记作，夜间平均温度零下，应记作，
故选：B．
【点睛】本题主要考查正负数与实际问题的综合，掌握正负数表示相反意义的量是解题的关键．
2. 图①是2023年6月11日吉林市全程马拉松男子组颁奖现场．图②是领奖台的示意图，则此领奖台的主视图是（ ）

A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】主视图是从几何体正面观察到的视图．
【详解】解：领奖台从正面看，是由三个矩形组成的．三个矩形，右边最低，中间最高，
故选A．
【点睛】本题考查主视图，掌握三视图的特征是解题关键．
3. 下列算式中，结果等于的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据同底数幂的运算法则即可求解．
【详解】解：选项，不是同类项，不能进行加减乘除，不符合题意；
选项，根据同底数幂的乘法可知，底数不变，指数相加，结果是，符合题意；
选项，根据幂的乘方可知，底数不变，指数相乘，结果是，不符合题意；
选项，根据同底数幂的除法可知，底数不变，指数相减，结果是，不符合题意；
故选：．
【点睛】本题主要考查同底数幂的混合运算法则，掌握同底数幂的运算法则是解题的关键．
4. 一元二次方程根的判别式的值是（ ）
A. 33 B. 23 C. 17 D.
【答案】C
【解析】
【分析】直接利用一元二次方程根的判别式求出答案．
【详解】解：∵，，，
∴．
故选：C．
【点睛】此题主要考查了一元二次方程的根的判别式，正确记忆公式是解题关键．
5. 如图，在中，点D在边上，过点D作，交于点E．若，则的值是（ ）

A B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】利用平行线分线段成比例定理的推论得出，即可求解．
【详解】解：∵中，，
∴，
∵
∴，
故选：A．
【点睛】本题考查平行线分线段成比例定理的推论，解题关键是牢记“平行于三角形一边的直线截其它两边（或两边的延长线）所得对应线段成比例”．
6. 如图，，是的弦，，是的半径，点为上任意一点（点不与点重合），连接．若，则的度数可能是（ ）

A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据圆周角定理得出，进而根据三角形的外角的性质即可求解．
【详解】解：∵，，
∴，
∵，
∴的度数可能是
故选：D．
【点睛】本题考查了圆周角定理，三角形的外角的性质，熟练掌握圆周角定理是解题的关键．
二、填空题（每小题3分，共24分）
7. 计算：=_________.
【答案】．
【解析】
【分析】根据负数的绝对值是它的相反数，可得答案．
【详解】解：|﹣|=，
故答案为．
8. 不等式的解集为__________．
【答案】
【解析】
【分析】根据移项、化系数为1，的步骤解一元一次不等式即可求解．
【详解】解：

解得：，
故答案为：．
【点睛】本题考查了求一元一次不等式的解集，熟练掌握不等式的性质是解题的关键．
9. 计算：_________．
【答案】
【解析】
【分析】根据单项式乘多项式的运算法则求解．
【详解】解：．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了单项式乘多项式的运算法则，掌握单项式乘多项式的运算法则是解答关键．
10. 如图，钢架桥的设计中采用了三角形的结构，其数学道理是__________．

【答案】三角形具有稳定性
【解析】
【分析】根据三角形结构具有稳定性作答即可．
【详解】解：其数学道理是三角形结构具有稳定性．
故答案为：三角形具有稳定性．
【点睛】本题考查了三角形具有稳定性，解题的关键是熟练的掌握三角形形状对结构的影响．
11. 如图，在中，，分别以点B和点C为圆心，大于的长为半径作弧，两孤交于点D，作直线交于点E．若，则的大小为__________度．

【答案】55
【解析】
【分析】首先根据题意得到是的角平分线，进而得到．
【详解】∵由作图可得，是的角平分线
∴．
故答案为：55．
【点睛】此题考查了作角平分线，角平分线的定义，解题的关键是熟练掌握以上知识点．
12. 《九章算术》中记载了一道数学问题，其译文为：有人合伙买羊，每人出5钱，还缺45钱；每人出7钱，还缺3钱．问合伙人数是多少？为解决此问题，设合伙人数为x人，可列方程为__________．
【答案】
【解析】
【分析】根据题中钱的总数列一元一次方程即可．
【详解】解：设合伙人数为x人，
根据题意列方程；
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了一元一次方程的应用，准确分析列方程是解题的关键．
13. 如图①，A，B表示某游乐场摩天轮上的两个轿厢．图②是其示意图，点O是圆心，半径r为，点A，B是圆上的两点，圆心角，则的长为_________．（结果保留）

【答案】
【解析】
【分析】利用弧长公式直接计算即可．
【详解】∵半径，圆心角，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题考查了弧长计算，熟练掌握弧长公式，并规范计算是解题的关键．
14. 如图，在中，．点，分别在边，上，连接，将沿折叠，点的对应点为点．若点刚好落在边上，，则的长为__________．

【答案】
【解析】
【分析】根据折叠的性质以及含30度角的直角三角形的性质得出，即可求解．
【详解】解：∵将沿折叠，点的对应点为点．点刚好落在边上，在中，，，
∴，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题考查了折叠的性质，含30度角的直角三角形的性质，熟练掌握以上知识是解题的关键．
三、解答题（每小题5分，共20分）
15. 下面是一道例题及其解答过程的一部分，其中M是单项式．请写出单项式M，并将该例题的解答过程补充完整．
例 先化简，再求值：，其中．
解：原式
……

【答案】，，，过程见解析
【解析】
【分析】先根据通分步骤得到M，再对原式进行化简，最后代入计算即可．
【详解】解：由题意，第一步进行的是通分，
∴，
∴，
原式



，
当时，原式．
【点睛】本题考查了分式的化简求值，正确对分式进行化简是解题的关键．
16. 2023年6月4日，“神舟”十五号载人飞船返回舱成功着陆．某校为弘扬爱国主义精神，举办以航天员事迹为主题的演讲比赛，主题人物由抽卡片决定，现有三张不透明的卡片，卡片正面分别写着费俊龙、邓清明、张陆三位航天员的姓名，依次记作A，B，C，卡片除正面姓名不同外，其余均相同．三张卡片正面向下洗匀后，甲选手从中随机抽取一张卡片，记录航天员姓名后正面向下放回，洗匀后乙选手再从中随机抽取一张卡片．请用画树状图或列表的方法，求甲、乙两位选手演讲的主题人物是同一位航天员的概率．
【答案】
【解析】
【分析】分别使用树状图法或列表法将甲乙两位选手抽取卡片的结果表示出来，第一次共有3种不同的抽取情况，第二次同样也各有3种不同的抽取情况，所有等可能出现的结果有9种，找出两次卡片相同的抽取结果，即可算出概率．
【详解】解：解法一：画树状图，根据题意，画树状图结果如下：

由树状图可以看出，所有等可能出现的结果一共有9种，而两张卡片中相同的结果有3种，
所以甲、乙两位选手演讲的主题人物是同一位航天员的概率．
解法二：用列表法，根据题意，列表结果如下：

A
B
C
A
AA
BA
CA
B
AB
BB
CB
C
AC
BC
CC
由表格可以看出，所有等可能出现的结果一共有9种，而两张卡片中相同的结果有3种，
所以甲、乙两位选手演讲的主题人物是同一位航天员的概率．
【点睛】本题考查了列表法或树状图法求概率，用图表的形式将第一次、第二次抽取所可能发生的情况一一列出，避免遗漏．
17. 如图，点C在线段上，在和中，．
求证：．

【答案】证明见解析
【解析】
【分析】直接利用证明，再根据全等三角形的性质即可证明．
【详解】解：和中，

∴
∴．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键．
18. 2022年12月28日查干湖冬捕活动后，某商家销售A，B两种查干湖野生鱼，如果购买1箱A种鱼和2箱B种鱼需花费1300元：如果购买2箱A种鱼和3箱B种鱼需花费2300元．分别求每箱A种鱼和每箱B种鱼的价格．
【答案】每箱A种鱼的价格是700元，每箱B种鱼的价格是300元．
【解析】
【分析】设每箱A种鱼的价格是元，每箱B种鱼的价格是元，根据题意建立方程组，解方程组即可得．
【详解】解：设每箱A种鱼的价格是元，每箱B种鱼的价格是元，
由题意得：，
解得，
答：每箱A种鱼的价格是700元，每箱B种鱼的价格是300元．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用用，正确建立方程组是解题关键．
四、解答题（每小题7分，共28分）
19. 图①、图②、图③均是的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，线段的端点均在格点上．在图①、图②、图③中以为边各画一个等腰三角形，使其依次为锐角三角形、直角三角形、钝角三角形，且所画三角形的顶点均在格点上．

【答案】见解析
【解析】
【分析】根据勾股定理可得，结合题意与网格的特点分别作图即可求解．
【详解】解：如图所示，

如图①，，则是等腰三角形，且是锐角三角形，
如图②，，，则，则是等腰直角三角形，
如图③，，则是等腰三角形，且是钝角三角形，
【点睛】本题考查了勾股定理与网格问题，等腰三角形的定义，熟练掌握勾股定理是解题的关键．
20. 笑笑同学通过学习数学和物理知识，知道了电磁波的波长（单位：m）会随着电磁波的频率f（单位：）的变化而变化．已知波长与频率f是反比例函数关系，下面是它们的部分对应值：
频率f（）
10
15
50
波长（m）
30
20
6

（1）求波长关于频率f的函数解析式．
（2）当时，求此电磁波的波长．
【答案】（1）；
（2）
【解析】
【分析】（1）设解析式为，用待定系数法求解即可；
（2）把值代入（1）所求得的解析式中，即可求得此电磁波的波长．
【小问1详解】
解：设波长关于频率f的函数解析式为，
把点代入上式中得：，
解得：，
；
【小问2详解】
解：当时，，
答：当时，此电磁波的波长为．
【点睛】本题是反比例函数的应用问题，考查了求反比例函数的解析式及求反比例函数的函数值等知识，利用待定系数法求得反比例函数解析式是解题的关键．
21. 某校数学活动小组要测量校园内一棵古树的高度，王朵同学带领小组成员进行此项实践活动，记录如下：
填写人：王朵 综合实践活动报告 时间：2023年4月20日
活动任务：测量古树高度
活动过程
【步骤一】设计测量方案
小组成员讨论后，画出如图①的测量草图，确定需测的几何量．

【步骤二】准备测量工具
自制测角仪，把一根细线固定在半圆形量角器的圆心处，细线的另一端系一个小重物，制成一个简单的测角仪，利用它可以测量仰角或俯角，如图②所示准备皮尺．

【步骤三】实地测量并记录数据如图③，王朵同学站在离古树一定距离的地方，将这个仪器用手托起，拿到眼前，使视线沿着仪器的直径刚好到达古树的最高点．
如图④，利用测角仪，测量后计算得出仰角．
测出眼睛到地面的距离．
测出所站地方到古树底部的距离．

________．
．
．
【步骤四】计算古树高度．（结果精确到）
（参考数据：）
请结合图①、图④和相关数据写出的度数并完成【步骤四】．
【答案】，
【解析】
【分析】根据测角仪显示的度数和直角三角形两锐角互余即可求得的度数，证明四边形是矩形得到，再解直角三角形求得的度数，即可求解．
【详解】解：测角仪显示的度数为，
∴，
∵，，，
∴，
∴四边形是矩形，，

在中，，
∴．
【点睛】本题考查了解直角三角形的实际应用和矩形的判定与性质，熟练掌握解直角三角形的运算是解题的关键．
22. 为了解年吉林省粮食总产量及其增长速度的情况，王翔同学查阅相关资料，整理数据并绘制了如下统计图：

2年吉林省粮食总产量及其增长速度
（以上数据源于《年吉林省国民经济和社会发展统计公报》）
注：．
根据此统计图，回答下列问题：
（1）年全省粮食总产量比年全省粮食总产量多__________万吨．
（2）年全省粮食总产量的中位数是__________万吨．
（3）王翔同学根据增长速度计算方法得出年吉林省粮食总产量约万吨．
结合所得数据及图中信息对下列说法进行判断，正确的画“√”，错误的画“×”
①年全省粮食总产量增长速度最快的年份为年，因此这年中，年全省粮食总产量最高．（ ）
②如果将年全省粮食总产量的中位数记为万吨，年全省粮食总产量的中位数记为万吨，那么．（ ）
【答案】（1）
（2）
（3）①×；②√
【解析】
【分析】（1）根据条形统计图，可知年全省粮食总产量为；年全省粮食总产量为，作差即可求解．
（2）根据中位数的定义，即可求解．
（3）①根据统计图可知年全省粮食总产量不是最高；
②根据中位数的定义可得，即可求解．
【小问1详解】
解：根据统计图可知，年全省粮食总产量为；
年全省粮食总产量为，
∴年全省粮食总产量比年全省粮食总产量多（万吨）；
故答案为：．
【小问2详解】
将年全省粮食总产量从小到大排列为：；
∴年全省粮食总产量的中位数是万吨
故答案为：．
【小问3详解】
①年全省粮食总产量增长速度最快的年份为年，但是在这年中，年全省粮食总产量不是最高．
故答案为：×．
②依题意，，
∴，
故答案为：√．
【点睛】本题考查了条形统计图与折线统计图，中位数的计算，从统计图中获取信息是解题的关键．
五、解答题（每小题8分，共16分）
23. 甲、乙两个工程组同时挖掘沈白高铁某段隧道，两组每天挖掘长度均保持不变，合作一段时间后，乙组因维修设备而停工，甲组单独完成了剩下的任务，甲、乙两组挖掘的长度之和与甲组挖掘时间x（天）之间的关系如图所示．

（1）甲组比乙组多挖掘了__________天．
（2）求乙组停工后y关于x的函数解析式，并写出自变量x的取值范围．
（3）当甲组挖掘的总长度与乙组挖掘的总长度相等时，直接写出乙组己停工的天数．
【答案】（1）30 （2）
（3）10天
【解析】
【分析】（1）由图可知，前30天甲乙两组合作，30天以后甲组单独做，据此计算即可；
（2）设乙组停工后y关于x的函数解析式为，用待定系数法求解，再结合图象即可得到自变量x的取值范围；
（3）先计算甲乙两组每天各挖掘多少千米，再计算乙组挖掘的总长度，设乙组己停工的天数为a，根据甲组挖掘的总长度与乙组挖掘的总长度相等列方程计算即可．
【小问1详解】
解：由图可知，前30天甲乙两组合作，30天以后甲组单独做，
∴甲组挖掘了60天，乙组挖掘了30天，
（天）
∴甲组比乙组多挖掘了30天，
故答案为：30；
【小问2详解】
解：设乙组停工后y关于x的函数解析式为，
将和两个点代入，可得，
解得，
∴
【小问3详解】
解：甲组每天挖（千米）
甲乙合作每天挖（千米）
∴乙组每天挖（千米），乙组挖掘的总长度为（千米）
设乙组己停工的天数为a，
则，
解得，
答：乙组己停工的天数为10天．
【点睛】本题考查了一次函数的应用，待定系数法求函数的解析式，理解题意观察图象得到有用信息是解题的关键．
24. 【操作发现】如图①，剪两张对边平行的纸条，随意交叉叠放在一起，使重合的部分构成一个四边形．转动其中一张纸条，发现四边形总是平行四边形其中判定的依据是__________．
【探究提升】取两张短边长度相等的平行四边形纸条和（，），其中，，将它们按图②放置，落在边上，与边分别交于点M，N．求证：是菱形．
【结论应用】保持图②中的平行四边形纸条不动，将平行四边形纸条沿或平移，且始终在边上．当时，延长交于点P，得到图③．若四边形的周长为40，（为锐角），则四边形的面积为_________．

【答案】（操作发现），两组对边分别平行的四边形是平行四边形；（探究提升），见解析；（结论应用），8
【解析】
【分析】（操作发现），根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形解答即可；
（探究提升），证明四边形是平行四边形，利用邻边相等的平行四边形是菱形即可证明结论成立；
（结论应用），证明四边形是菱形，求得其边长为10，作于Q，利用正弦函数的定义求解即可．
【详解】解：（操作发现），∵两张对边平行的纸条，随意交叉叠放在一起，
∴，，
∴四边形是平行四边形（两组对边分别平行的四边形是平行四边形），
故答案为：两组对边分别平行的四边形是平行四边形；
（探究提升），∵，，
∴四边形是平行四边形，
∵，
∴，
又，
∴四边形是平行四边形，
∴，
∴平行四边形是菱形；
（结论应用），∵平行四边形纸条沿或平移，
∴，，
∴四边形、、是平行四边形，
∵，
∴四边形是菱形，
∵四边形是菱形，
∴四边形是菱形，
∵四边形的周长为40，
∴，
作于Q，
∵，
∴，
∴，
∴四边形的面积为．
故答案为：80．
【点睛】本题考查了菱形的判定和性质，解直角三角形，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件．
六、解答题（每小题10分，共20分）
25. 如图，在正方形中，，点是对角线的中点，动点，分别从点，同时出发，点以的速度沿边向终点匀速运动，点以的速度沿折线向终点匀速运动．连接并延长交边于点，连接并延长交折线于点，连接，，，，得到四边形．设点的运动时间为（）（），四边形的面积为（）
　　
（1）的长为__________，的长为_________．（用含x的代数式表示）
（2）求关于的函数解析式，并写出自变量的取值范围．
（3）当四边形是轴对称图形时，直接写出的值．
【答案】（1）；
（2）
（3）或
【解析】
【分析】（1）根据正方形中心对称的性质得出，可得四边形是平行四边形，证明即可；
（2）分，两种情况分别画出图形，根据正方形的面积，以及平行四边形的性质即可求解；
（3）根据（2）的图形，分类讨论即可求解．
【小问1详解】
解：依题意，，则，
∵四边形是正方形，
∴，
∵点是正方形对角线的中点，
∴，则四边形是平行四边形，
∴，，
∴，
又，
∴，
∴，
在中，
，
∴，
∴
故答案为：；．
【小问2详解】
解：当时，点在上，

由（1）可得，
同理可得，
∵，，
则

；
当时，如图所示，

则，，
，
∴；
综上所述，；
【小问3详解】
依题意，①当四边形是矩形时，此时
即
解得：，

当四边形是菱形时，则，
∴，
解得：（舍去）；
②如图所示，当时，

，解得，
当四边形是菱形时，则，即，解得：（舍去），
综上所述，当四边形是轴对称图形时，或．
【点睛】本题考查了正方形的性质，动点问题，全等三角形的性质与判定，矩形的性质，平行四边形的性质与判定，菱形的性质，轴对称图形，熟练掌握以上知识是解题的关键．
26. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过点．点，在此抛物线上，其横坐标分别为，连接，．

（1）求此抛物线的解析式．
（2）当点与此抛物线的顶点重合时，求的值．
（3）当的边与轴平行时，求点与点的纵坐标的差．
（4）设此抛物线在点与点之间部分（包括点和点）的最高点与最低点的纵坐标的差为，在点与点之间部分（包括点和点）的最高点与最低点的纵坐标的差为．当时，直接写出的值．
【答案】（1）
（2）
（3）点与点的纵坐标的差为或
（4）或
【解析】
【分析】（1）待定系数法求解析式即可求解；
（2）化为顶点式，求得顶点坐标，进而根据点的横坐标为，即可求解；
（3）分轴时，轴时分别根据抛物线的对称性求得的横坐标与的横坐标，进而代入抛物线解析式，求得纵坐标，即可求解；
（4）分四种情况讨论，①如图所示，当都在对称轴的左侧时，当在对称轴两侧时，当点在的右侧时，当的纵坐标小于时，分别求得，根据建立方程，解方程即可求解．
【小问1详解】
解：∵抛物线经过点．
∴
∴抛物线解析式为；
【小问2详解】
解：∵，
顶点坐标为，
∵点与此抛物线的顶点重合，点的横坐标为
∴，
解得：；
【小问3详解】
①轴时，点关于对称轴对称，
，
∴，则，，
∴，
∴点与点的纵坐标的差为；
②当轴时，则关于直线对称，
∴，
则
∴，；
∴点与点的纵坐标的差为；
综上所述，点与点的纵坐标的差为或；
【小问4详解】
①如图所示，当都在对称轴的左侧时，

则
∴
∵，即
∴；

∵
∴
解得：或（舍去）；
②当对称轴两侧或其中一点在对称轴上时，

则，即，
则，
∴，
解得：（舍去）或（舍去）；
③当点在的右侧且在直线上方时，即，

，
∴
解得：或（舍去）；
④当在直线上或下方时，即，
，
，
，

解得：（舍去）或（舍去）
综上所述，或．
【点睛】本题考查了二次函数的性质，待定系数法求解析式，顶点式，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键