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精品解析：重庆市渝中区巴蜀中学校2022-2023学年九年级上学期期中数学试题
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1. 下列图案中，是中心对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据中心对称图形的概念判断．
【详解】解：选项A、B、C都不能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转180°后与原来的图形重合，所以不是中心对称图形，
选项D能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转180°后与原来的图形重合，所以是中心对称图形．
故选：D．
【点睛】本题考查的是中心对称图形的识别，把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形．中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与自身重合．
2. 下列运算正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】直接利用同底数幂的乘除运算法则以及幂的乘方运算法则、合并同类项分别计算得出答案．
【详解】解：A、a2与a3不是同类项，不能合并，该选项不符合题意；
B、a3⋅a4=a7原计算错误，该选项不符合题意；
C、(a3)4=a12正确，该选项符合题意；
D、a6÷a2=a4原计算错误，该选项不符合题意；
故选：C．
【点睛】本题主要考查了同底数幂的乘除运算以及幂的乘方运算、合并同类项，正确掌握运算法则是解题关键．
3. 下列由左边到右边的变形，是因式分解的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据因式分解的定义，因式分解是把多项式写成几个整式积的形式，对各选项分析判断后利用排除法求解．
【详解】解：A．原式右边不是整式积的形式，不是因式分解，故本选项不符合题意；
B．原式是整式的乘法，不是因式分解，故本选项不符合题意；
C．原式右边不是整式积的形式，不是因式分解，故本选项不符合题意；
D．原式符合因式分解的定义，是因式分解，故本选项符合题意．
故选：D．
【点睛】本题主要考查了因式分解的定义，因式分解与整式的乘法是互为逆运算，要注意区分．
4. 估计的运算结果应在（）
A. 5到6之间B. 6到7之间C. 5到7之间D. 7到8之间
【答案】B
【解析】
【分析】先估算的大小，进而即可求解．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
∴估计的运算结果应在6到7之间，
故选：B．
【点睛】本题考查了无理数的估算，正确的估算的大小是解题的关键．
5. 如图是某城市一天的气温变化图，根据图象判断，以下说法不正确的是（ ）
A. 当日最低气温是℃
B. 当日温度为℃的时间点有两个
C. 从早上时开始气温逐渐升高，直到时到达当日最高气温接近℃
D. 当日气温在℃以上的时长共个小时
【答案】D
【解析】
【分析】理清气温变化图曲线的变化即可求解．
【详解】解：选项，从时气温值是，随着时间的推移，温度逐渐升高，到时气温值是，不符合题意；
选项，在时后气温值升高到℃，在时气温值降到℃，不符合题意；
选项，早上时开始气温逐渐升高，直到时到达当日最高气温接近℃，不符合题意；
选项，当日气温在℃以上的时长共有，时有个小时；时有个小时，共有个小时，符合题意．
故选：．
【点睛】本题主要考查数据的统计整理与描述，掌握看折线图，从图中获取信息是解题的关键．
6. 如图，在平面直角坐标系中，与位似，位似中心为原点O，位似比为1：2，若点，则点的坐标为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据位似图形的性质解答即可．
【详解】∵点，与C关于原点对称，且位似比为，
∴的坐标为
即
故选：A．
【点睛】本题考查了位似图形，熟练掌握位似图形的有关知识是解题的关键．
7. 下列命题为真命题的是（ ）
A. 有两边相等的平行四边形是菱形B. 有一个角是直角的平行四边形是菱形
C. 对角线互相垂直的平行四边形是矩形D. 有三个角是直角的四边形是矩形
【答案】D
【解析】
【分析】根据菱形和矩形的判定定理进行判断即可．
【详解】A：有一组邻边相等的平行四边形是菱形，故A为假命题；
B：有一个角是直角的平行四边形是矩形，故B为假命题；
C：对角线互相垂直的平行四边形是菱形，故C为假命题；
D：有三个角是直角的四边形是矩形，故D为真命题；
故选：D
【点睛】本题主要考查了菱形的判定和矩形的判定，熟练地掌握菱形的判定定理和矩形的判定定理是解题的关键．
8. 随着中考结束，初三某毕业班的每一个同学都向其他同学赠送一张自己的照片留作纪念，全班共送了2862张照片，若该班有名同学，则根据题意可列出方程为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】若该班有名同学，那么每名学生送照片张，全班应该送照片，根据题意列方程即可．
【详解】解：若该班有名同学，那么每名学生送照片张，全班应该送照片张，
则可列方程为：．
故选：A．
【点睛】本题主要考查了由实际问题抽象出一元二次方程，理解题意，找到等量关系并列出方程是解决本题的关键．
9. 如图，矩形纸片中，，，点E、G分别在上，将、分别沿翻折，翻折后点C与点F重合，点B与点P重合．当A、P、F、E四点在同一直线上时，线段长为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据矩形的性质得到，，，根据折叠的性质得到，，，根据勾股定理得到，设，由勾股定理列方程得到，由折叠的性质得到，，，求得，设，则，根据勾股定理列方程即可得到结论．
【详解】解：在矩形纸片中，，，
∴，，，
∵将沿翻折，翻折后点C与点F重合，
∴，，，
∴，
设，
∴，，
∵，
∴，
解得：，
∴，
∵将沿翻折，翻折后点B与点P重合，
∴，，，
∴，
设，
则，
∵，
∴，
∴，
∴线段GP长为，
故选：B．
【点睛】本题考查了翻折变换（折叠问题），矩形的性质，勾股定理，根据勾股定理列方程是解题的关键．
10. 如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，AC＝CD，⊙O的半径为2，则△AOC的面积为（ ）
A. B. 2C. 2D. 4
【答案】C
【解析】
【分析】根据垂径定理求出CE=CD=AC，则在Rt△ACE中存在特殊角，即∠CAO=30°，∠ACE=60°，根据OC=OA=，得到∠CAO=∠ACO=30°，则有∠OEC=30°，则在Rt△OCE中有OE=OC=，CE=OE=，则△AOC的面积得解．
【详解】∵AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，
∴直径AB平分弦CD，E为CD中点，
∴CE=CD=AC，
∴∠CAO=30°，
∴∠ACE=60°，
又∵OC=OA=，
∴∠CAO=∠ACO=30°，
∴∠OEC=30°，
∴ Rt△OCE中有OE=OC=，CE=OE=，
则△AOC的面积为：，
故选：C．
【点睛】本题主要考查了垂径定理以及解特殊直角三角形的知识，灵活运用垂径定理是解答本题的关键．
11. 已知关于的分式方程的解为整数，且关于的不等式组有解且至多有2个整数解，则符合条件的整数有（ ）
A. 2B. 3C. 4D. 5
【答案】C
【解析】
【分析】先解分式方程，再根据分式方程的解为整数求出的范围，然后解不等式组，最后根据不等式组至多有2个整数解确定的值即可解答．
【详解】解：，
，
∴，
∴，
∵分式方程的解为整数，
∴为整数，且，
∴，
∵，
解不等式①，得，
解不等式②，得，
∴该不等式的解集为
又∵该不等式组有解且至多有2个整数解，
∴，
∴，
综上所述，符合条件的整数的值为，
共计4个．
故选：C．
【点睛】本题主要考查了分式方程的解以及一元一次不等式的整数解，熟练掌握相关知识是解题关键．
12. 有n个依次排列的整式：第一项是a2，第二项是a2+2a+1，用第二项减去第一项，所得之差记为b1，将b1加2记为b2，将第二项与b2相加作为第三项，将b2加2记为b3，将第三项与b3相加作为第四项，以此类推；某数学兴趣小组对此展开研究，得到4个结论：
①b3＝2a+5；
②当a＝2时，第3项为16；
③若第4项与第5项之和为25，则a＝7；
④第2022项为（a+2022）2；
⑤当n＝k时，b1+b2+…+bk＝2ak+k2；
以上结论正确的是（ ）
A. ①②⑤B. ①③⑤C. ①②④D. ②④⑤
【答案】A
【解析】
【分析】根据题目中的描述，按规律写出前几项验证相关选项，最后得到，第项为，进一步验证即可得到结论．
【详解】解：第一项是a2，
第二项是a2+2a+1，
用第二项减去第一项，所得之差记为b1，则，
将b1加2记为b2，则，
将第二项与b2相加作为第三项，则第三项是，
当a＝2时，第三项是，②正确；
将b2加2记为b3，则，①正确；
第三项与b3相加作为第四项，则第四项是，
将b3加2记为b4，则，
第四项与b4相加作为第五项，则第五项是，
第4项与第5项之和为25，则，解得a＝0或，③错误；
…
综上所述：，第项为，
第2022项为，④错误；
当时，
，
故选：A．
【点睛】本题考查整式规律，根据题目要求，通过前面几项找到一般项的规律是解决问题的关键．
二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分）
13. ______．
【答案】##
【解析】
【分析】根据化简绝对值，零次幂，负整数幂进行计算即可求解．
【详解】解：，
故答案为：．
【点睛】本题考查了实数的混合运算，掌握零次幂，负整数幂，化简绝对值是解题的关键．
14. 一个木盒里装有除颜色不同以外其他完全相同的3枚黑色围棋子和1枚白色围棋子，现从木盒中随机取出1枚棋子，记下颜色后放回盘中搅拌均匀，再从木盒里取出一枚棋子，则前后两次取到都是黑棋的概率是______．
【答案】
【解析】
【分析】画树状图，共有16种等可能的结果，其中前后两次取到都是黑棋的结果有9种，再由概率公式求解即可．
【详解】画树状图如下：
共有16种等可能的结果，其中前后两次取到都是黑棋的结果有9种，
∴前后两次取到都是白棋的概率是
故答案为：．
【点睛】本题考查的是用树状图法求概率．树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
15. 如图，矩形的两条对角线相交于点，．以点为圆心，长为半径画弧，此弧恰好经过点，并与交于点，则图中阴影部分的面积为______．
【答案】
【解析】
【分析】根据题意得到是等边三角形，从而得到角度，再结合特殊角的直角三角形三边关系以及勾股定理可得到，，分别求出，，，最后根据图形得到，即可获得答案．
【详解】解：∵矩形的两条对角线相交于点，
∴，
∵点为圆心，长为半径画弧，此弧恰好经过点，
∴，即是等边三角形，
∴，，
在中，，，
，，，
∴，
，
，
∴．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了求不规则图形的面积，涉及到的知识点包括矩形的性质、等边三角形的判定与性质、特殊角度的直角三角形三边关系、勾股定理、三角形面积公式和扇形面积公式等，将阴影部分面积转化为常见图形面积来间接求解是解决问题的关键．
16. 冬季运动越野滑雪的路段分为上坡、平地、下坡三种类型，滑雪者在同种路段中滑行速度保持不变．运动爱好者小明上坡滑雪3分钟与平地滑雪2分钟的路程相等．第一次训练中，他上坡、平地、下坡滑雪的时间分别是2分钟、2分钟、3分钟．第二次训练中，他上坡、平地、下坡滑雪的时间分别比第一次多了50%、50%、20%，总路程比第一次多32%．第三次训练所用时间为第一次的3倍，其中上坡、平地、下坡滑雪的时间依次减少，且总路程是第二次的2倍．设第三次训练中平地滑雪时间为b分钟，若b为整数，则b的值为 _____．
【答案】7
【解析】
【分析】设小明上坡滑雪的速度为，平地滑雪的速度为，下坡滑雪的速度为，第一次的路程为，则可得第一次训练时；表示出第二次训练的时间，则可得第二次训练时；；设第三次训练时间为：上坡滑雪分钟，平地滑雪分钟，下坡滑雪分钟，则由题意可得，其中，，消元整理后得到，解得，根据求出的整数解即可．
【详解】解：设小明上坡滑雪的速度为，平地滑雪的速度为，下坡滑雪的速度为，第一次的路程为
则由题意可得
第二次的训练时间为：上坡滑雪分钟，平地滑雪分钟，下坡滑雪分钟
第二次路程为
则由题意可得
设第三次训练时间为：上坡滑雪分钟，平地滑雪分钟，下坡滑雪分钟
则由题意可得，其中
解得：
将代入得
解得
将，代入得
解得
∴
解得
∴
解得，
解得
∴
∵是整数
∴的值为7
故答案为：7．
【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，一元一次不等式组．解题的关键在于理解题意，正确的列方程求解．
三、解答题（共86分）
17. 计算：
（1）（a﹣b）2﹣2a（a+b）；
（2）．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据整式的混合运算法则计算即可．
（2）根据分式的混合运算法则计算即可．
【小问1详解】
解：原式
．
【小问2详解】
解：原式
．
【点睛】本题考查整式的混合运算，分式的混合运算，熟练掌握这些知识点是解题关键．
18. 如图，在平行四边形ABCD中AD＞AB．
（1）尺规作图：在AD上截取AE，使得AE＝AB．作∠ADC的平分线交BC于点F（保留作图痕迹，不写作法）；
（2）在（1）所作图形中，连接BE，求证：四边形BEDF是平行四边形．（请补全下面的证明过程，不写证明理由）．
证明：∵DF平分∠ADC，
∴
∵在平行四边形ABCD中，BCAD，
∴
∴∠CDF＝∠CFD，
∴CD＝CF．
∵平行四边形ABCD中，AB＝CD，
又∵AE＝AB，
∴AE＝CF．
∵在平行四边形ABCD中，AD＝BC，
∴AD﹣AE＝BC﹣CF，
即
又∵
∴四边形BEDF是平行四边形．
【答案】（1）见解析 （2）见解析
【解析】
【分析】（1）利用基本作图画出对应的几何图形；
（2）由角平分线性质得到，由平行线的性质得到，最后根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形解答．
【小问1详解】
解：如图就是所求作的图形；
小问2详解】
证明：∵DF平分∠ADC，
∴
∵在平行四边形ABCD中，BCAD，
∴
∴∠CDF＝∠CFD，
∴CD＝CF．
∵在平行四边形ABCD中，AB＝CD，
又∵AE＝AB，
∴AE＝CF．
∵在平行四边形ABCD中，AD＝BC，
∴AD﹣AE＝BC﹣CF，
即DE=BF
又∵
∴四边形BEDF是平行四边形．
【点睛】本题考查四边形综合题，涉及平行四边形的判定与性质、角平分线的定义、平行线的性质等知识，在重要考点，掌握相关知识是解题关键．
19. 2022年4月2日，中国人民银行召开数字人民币研发试点工作座谈会，在现有试点地区基础上增加重庆市等6个城市作为试点地区，某校数学兴趣小组为了调查七、八年级同学们对数字人民币的了解程度，设计了一张含10个问题的调查问卷，在该校七、八年级中各随机抽取20名学生进行调查，并将结果整理、描述和分析，下面给出了部分信息．
七年级20名学生答对的问题数量为：
八年级20名学生答对的问题数量的条形统计图如图：
七、八年级抽取的学生答对问题数量的平均数、众数、中位数、答对8题及以上人数所占百分比如表所示：两组数据的平均数，众数，中位数，优秀率如表所示：
根据以上信息，解答下列问题：
（1）直接写出上述表中的a，b，c的值；
（2）根据上述数据，你认为该校七、八年级中哪个年级的学生更了解数字人民币？请说明理由（写出一条理由即可）；
（3）若答对7题及以上视为比较了解数字人民币，该校七年级有800名学生，八年级有700名学生，估计该校七年级和八年级比较了解数字人民币的学生总人数是多少？
【答案】（1），，
（2）八年级的学生更了解数字人民币，理由见解析
（3）该校七年级和八年级比较了解数字人民币的学生总人数是人
【解析】
【分析】（1）根据七年级20名学生答对的问题数量及众数的定义得到，根据八年级20名学生答对的问题数量的条形统计图及中位数的定义可得；根据答对8题及以上人数可得c=65%；
（2）从平均值和从中位数看即可确定八年级学生更了解；
（3）利用样本中答对7题及以上学生人数的占比分别估算求和即可得出结果．
【小问1详解】
解：根据七年级20名学生答对的问题数量：
可知，8出现的次数最多，
∴众数为8，故；
根据八年级20名学生答对的问题数量的条形统计图可得第10和11位的数据为8、8，
∴中位数为8，故；
∵答对8题及以上人数为13人，
∴c=65%，
，，；
【小问2详解】
解：八年级的学生更了解数字人民币，
从平均值看，八年级平均数要大；从中位数看，八年级中位数也大；
八年级的学生更了解数字人民币；
【小问3详解】
解：七年级比较了解数字人民币的学生总人数是（人）；
八年级比较了解数字人民币的学生总人数是（人）；
该校七年级和八年级比较了解数字人民币的学生总人数是（人）．
【点睛】本题考查条形统计图、平均数、众数、中位数、用样本估计总体等知识，理解各个数量之间的关系是解决问题的关键．
20. 反比例函数与一次函数交于，两点．
（1）求反比例函数和一次函数的解析式，并在网格中画出反比例函数和一次函数的图像；
（2）当时，直接写出自变量的取值范围；
（3）若与轴交于点，点关于轴的对称点为点，求面积．
【答案】（1），，画反比例函数和一次函数的图像见详解
（2）或
（3）16
【解析】
【分析】（1）利用待定系数法即可求得答案；
（2）通过观察图像即可求得答案；
（3）求得，即可求得，然后根据，利用三角形面积公式求得即可．
【小问1详解】
解：将点代入到反比例函数中，
可得 ，解得 ，
反比例函数解析式为，
∵点也在反比例函数的图像上，将其代入到，
可得，解得，
点，
将点、点代入到一次函数中，
可得，解得，
一次函数的解析式为；
在网格中画出y2的图像如图：
【小问2详解】
解：根据图像可得：当或时，反比例函数图像在一次函数图像下方，
∴当时，x的取值范围为或；
【小问3详解】
解：∵，
∴，
∴，
∴．
【点睛】本题是反比例函数与一次函数的交点问题，主要考查了反比例函数图像上点的坐标特征以及待定系数法求函数解析式、三角形的面积等知识，熟练掌握相关知识，利用数形结合的思想分析问题是解题的关键．
21. 甲、乙两工程队共同承建某高速路隧道工程，隧道总长2000米，甲、乙分别从隧道两端向中间施工，计划每天各施工6米．因地质情况不同，两支队伍每合格完成1米隧道施工所需成本不一样．甲每合格完成1米，隧道施工成本为6万元；乙每合格完成1米，隧道施工成本为8万元．
（1）若工程结算时乙总施工成本不低于甲总施工成本的，求甲最多施工多少米？
（2）实际施工开始后因地质情况比预估更复杂，甲乙两队每日完成量和成本都发生变化．甲每合格完成1米隧道施工成本增加m万元时，则每天可多挖m米，乙因特殊地质，在施工成本不变的情况下，比计划每天少挖m米，若最终每天实际总成本比计划多（11m-8）万元，求m的值．
【答案】（1）1000米；（2）4
【解析】
【分析】（1）设甲工程队施工x米，则乙工程队施工（2000-x）米，由工程结算时乙总施工成本不低于甲总施工成本的，即可得出关于x的一元一次不等式，解之取其中的最大值即可得出结论；
（2）根据总成本=每米施工成本×每天施工的长度结合每天实际总成本比计划多（11m-8）万元，即可得出关于m的一元二次方程，解之即可得出结论．
【详解】解：（1）设甲工程队施工x米，则乙工程队施工（2000-x）米，
依题意，得：8（2000-x）≥×6x，
解得：x≤1000．
答：甲最多施工1000米．
（2）依题意，得：（6+m）（6+m）+8（6-m）=6×（6+8）+11m-8，
整理，得：m2-8m+16=0，
解得：m1=m2=4．
答：m的值为4．
【点睛】考查了一元一次不等式的应用以及一元二次方程的应用，解题的关键是：（1）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式；（2）找准等量关系，正确列出一元二次方程．
22. 如图，某渔船向正东方向以14海里/时的速度航行，在A处测得小岛C在北偏东方向，2小时候渔船到达B处，测得小岛C在北偏东方向，已知该岛周围20海里范围内有暗礁．（参考数据：，，，）
（1）求B处距离小岛C的距离（求出准确值）；
（2）为安全起见，渔船在B处向东偏南转了继续航行，通过计算说明船是否安全？
【答案】（1）B处距离小岛C的距离约为海里
（2）安全，说明见解析
【解析】
【分析】（1）如图，过点作于，根据题意求出，利用和锐角三角函数，分别表示出：，再利用，求出，然后求出即可；
（2）如图，过点作于，求出的长度，即可得解．
【小问1详解】
如图，过点作于，
由题意得， ，
海里，
∵，
∴，
在中，
∵ ，
∴，
∵，
即：
解得，
在中，（海里） ，
答：B处距离小岛C的距离约为海里；
【小问2详解】
解：如图，过点作于，
在中，，，
∴
(海里)，
∵，
∴能安全通过，
答：能安全通过．
【点睛】本题考查解直角三角形的应用．根据题意，添加合适的辅助线，构造直角三角形，是解题的关键．
23. 已知一个各个数位上的数字均不为0的四位正整数，以它的百位数字作为十位，个位数字作为个位，组成一个新的两位数s，若s等于M的千位数字与十位数字的平方差，则称这个数M为“平方差数”．将它的百位数字和千位数字组成两位数，个位数字和十位数字组成的两位数，并记．
例如：6237是“平方差数”，因为，所以6237是“平方差数”；此时．
又如：5135不是“平方差数”，因为，所以5135不是“平方差数”．
（1）判断6324和7254是否是“平方差数”？并说明理由；
（2）若是“平方差数”，且比M的个位数字的9倍大30，求所有满足条件的“平方差数”Ｍ．
【答案】（1）6324不是“平方差数”，7254不是“平方差数”，理由见解析
（2）8175或5241；
【解析】
【分析】（1）根据“平方差数”的定义求解即可；
（2）先根据题意得到，，再由比M的个位数字的9倍大30推出，据此求解即可．
【小问1详解】
解：∵，
∴6324不是“平方差数”；
∵，
∴7254不是“平方差数”；
【小问2详解】
解：∵“平方差数”，
∴，，
∵比M的个位数字的9倍大30
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵a、c都是正整数，且，
∴或或，
∴或或，
∴当时，，
∴；
∴当时，，
∴（不符合题意，舍去）；
∴当时，，
∴；
综上所述，所有满足条件的“平方差数”M为8175或5241．
【点睛】本题主要考查了新定义下的实数运算，正确理解题意是解题的关键．
24. 如图1，抛物线与轴交于和两点，与轴交于点．
（1）求该抛物线的函数表达式：
（2）是抛物线上位于直线上方的一个动点，过点作轴交于点，过点作于点，过点作轴于点，求出的最大值及此时点的坐标；
（3）如图2，将原抛物线向左平移2个单位长度得到抛物线，与原抛物线相交于点，点为原抛物线对称轴上的一点，在平面直角坐标系中是否存在点，使以点，，，为顶点的四边形为矩形，若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）；
（2）最大为，此时；
（3），，，．
【解析】
【分析】（1）利用待定系数法直接求解；
（2）根据题意推出等腰三角形，利用等腰直角三角形的性质，推出的表达式，从而建立起的函数表达式，最终利用函数法求最值；
（3）先通过勾股定理求出点的坐标，再由矩形对角线的性质，直接计算的坐标．
【详解】（1）将和两点代入解析式得，解得，
抛物线得函数表达式为；
（2）由题意，，则为等腰直角三角形，，
设得解析式为，将与代入求得，则，
点在抛物线上，轴交于点，
设，则，，其中，
如图，延长交于点，则，且由题可知，为等腰直角三角形，
由“三线合一”知，，
的横坐标为，
，
故由二次函数的性质可得，当时，最大为，此时；
（3）由平移可求得平移后函数解析式为，与原函数交点；
①以为边，作交对称轴于，可构造矩形，设，
， ，
，
由，建立等式
解得：，即，
此时设，由四点的相对位置关系可得：
，解得，故；
②同理，以为边，作交对称轴于，可构造矩形，设，
此时有：，建立等式
解得，即，
此时设，由四点的相对位置关系可得：
，解得，故；
③以为对角线，作交对称轴于，可构造矩形，设，
此时有：，建立等式
解得，，即，，
此时设，由四点的相对位置关系可得：
，解得，故；
设，由四点的相对位置关系可得：
，解得，故；
综上所述，，，，．
【点睛】本题考查了待定系数法求解函数解析式，用函数法求线段和最值问题，以及平面中特殊四边形顶点的求解；能够熟练掌握函数法求线段最值问题并且熟练运用等腰直角三角形的性质是解决第二问的核心；第三问的核心在于能够利用矩形的性质，通过边长计算对称轴上点的坐标，再由对角线互相平分的性质计算平面中的坐标．
25. 在中，，，D为中点，E，F分别为，上任意一点，连接，将线段绕点E顺时针旋转90°得到线段，连接，．
（1）如图1，点E与点C重合，且的延长线过点B，若点P为的中点，连接，求的长；
（2）如图2，的延长线交于点M，点N在上，且，求证：；
（3）如图3，F为线段上一动点，E为的中点，连接，H为直线上一动点，连接，将沿翻折至所在平面内，得到，连接，直接写出线段的长度的最小值．
【答案】（1）2 （2）见解析
（3）
【解析】
【分析】（1）根据已知条件可得为的中点，证明，进而根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半即可求解；
（2）过点作交的延长线于点，证明，，可得，进而根据，即可得出结论，
（3）根据（2）可知，当点在线段上运动时，点在平行于的线段上运动，根据题意作出图形，根据点到圆上的距离求最值即可求解．
【小问1详解】
如图，连接
将线段绕点E顺时针旋转90°得到线段，
是等腰直角三角形，
P为FG的中点，
，
，
，
，D为的中点，，
，，
，
在中，；
【小问2详解】
如图，过点作交的延长线于点，
，
，
，
，
是等腰直角三角形，
，
，
在与中，
，
，
，
，
又，，
，
，
，
，
，
又，
，
,
，
，
，
，
；
【小问3详解】
由（2）可知，
则当点在线段上运动时，点在平行于的线段上运动，
将沿翻折至所在平面内，得到，
E为的中点，
，
，
则点在以为圆心为半径的圆上运动，当三点共线时，最小，
如图，当运动到与点重合时，取得最小值，．
如图，当点运动到与点重合时，取得最小值，
此时，则．
综上所述，的最小值为．
【点睛】本题考查了等腰三角形的性质与判定，直角三角形斜边上的中线，勾股定理，全等三角形的性质与判定，轴对称线的性质，点到圆上一点距离最值问题，正确的添加辅助线是解题的关键．
5
5
5
6
6
6
7
7
7
7
8
8
8
8
8
9
9
9
10
10
年级
平均数
众数
中位数
答对8题及以上人数所占百分比
七年级
7.4
a
7.5
50%
八年级
7.8
8
b
c
5
5
5
6
6
6
7
7
7
7
8
8
8
8
8
9
9
9
10
10
1. 下列图案中，是中心对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据中心对称图形的概念判断．
【详解】解：选项A、B、C都不能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转180°后与原来的图形重合，所以不是中心对称图形，
选项D能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转180°后与原来的图形重合，所以是中心对称图形．
故选：D．
【点睛】本题考查的是中心对称图形的识别，把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形．中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与自身重合．
2. 下列运算正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】直接利用同底数幂的乘除运算法则以及幂的乘方运算法则、合并同类项分别计算得出答案．
【详解】解：A、a2与a3不是同类项，不能合并，该选项不符合题意；
B、a3⋅a4=a7原计算错误，该选项不符合题意；
C、(a3)4=a12正确，该选项符合题意；
D、a6÷a2=a4原计算错误，该选项不符合题意；
故选：C．
【点睛】本题主要考查了同底数幂的乘除运算以及幂的乘方运算、合并同类项，正确掌握运算法则是解题关键．
3. 下列由左边到右边的变形，是因式分解的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据因式分解的定义，因式分解是把多项式写成几个整式积的形式，对各选项分析判断后利用排除法求解．
【详解】解：A．原式右边不是整式积的形式，不是因式分解，故本选项不符合题意；
B．原式是整式的乘法，不是因式分解，故本选项不符合题意；
C．原式右边不是整式积的形式，不是因式分解，故本选项不符合题意；
D．原式符合因式分解的定义，是因式分解，故本选项符合题意．
故选：D．
【点睛】本题主要考查了因式分解的定义，因式分解与整式的乘法是互为逆运算，要注意区分．
4. 估计的运算结果应在（）
A. 5到6之间B. 6到7之间C. 5到7之间D. 7到8之间
【答案】B
【解析】
【分析】先估算的大小，进而即可求解．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
∴估计的运算结果应在6到7之间，
故选：B．
【点睛】本题考查了无理数的估算，正确的估算的大小是解题的关键．
5. 如图是某城市一天的气温变化图，根据图象判断，以下说法不正确的是（ ）
A. 当日最低气温是℃
B. 当日温度为℃的时间点有两个
C. 从早上时开始气温逐渐升高，直到时到达当日最高气温接近℃
D. 当日气温在℃以上的时长共个小时
【答案】D
【解析】
【分析】理清气温变化图曲线的变化即可求解．
【详解】解：选项，从时气温值是，随着时间的推移，温度逐渐升高，到时气温值是，不符合题意；
选项，在时后气温值升高到℃，在时气温值降到℃，不符合题意；
选项，早上时开始气温逐渐升高，直到时到达当日最高气温接近℃，不符合题意；
选项，当日气温在℃以上的时长共有，时有个小时；时有个小时，共有个小时，符合题意．
故选：．
【点睛】本题主要考查数据的统计整理与描述，掌握看折线图，从图中获取信息是解题的关键．
6. 如图，在平面直角坐标系中，与位似，位似中心为原点O，位似比为1：2，若点，则点的坐标为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据位似图形的性质解答即可．
【详解】∵点，与C关于原点对称，且位似比为，
∴的坐标为
即
故选：A．
【点睛】本题考查了位似图形，熟练掌握位似图形的有关知识是解题的关键．
7. 下列命题为真命题的是（ ）
A. 有两边相等的平行四边形是菱形B. 有一个角是直角的平行四边形是菱形
C. 对角线互相垂直的平行四边形是矩形D. 有三个角是直角的四边形是矩形
【答案】D
【解析】
【分析】根据菱形和矩形的判定定理进行判断即可．
【详解】A：有一组邻边相等的平行四边形是菱形，故A为假命题；
B：有一个角是直角的平行四边形是矩形，故B为假命题；
C：对角线互相垂直的平行四边形是菱形，故C为假命题；
D：有三个角是直角的四边形是矩形，故D为真命题；
故选：D
【点睛】本题主要考查了菱形的判定和矩形的判定，熟练地掌握菱形的判定定理和矩形的判定定理是解题的关键．
8. 随着中考结束，初三某毕业班的每一个同学都向其他同学赠送一张自己的照片留作纪念，全班共送了2862张照片，若该班有名同学，则根据题意可列出方程为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】若该班有名同学，那么每名学生送照片张，全班应该送照片，根据题意列方程即可．
【详解】解：若该班有名同学，那么每名学生送照片张，全班应该送照片张，
则可列方程为：．
故选：A．
【点睛】本题主要考查了由实际问题抽象出一元二次方程，理解题意，找到等量关系并列出方程是解决本题的关键．
9. 如图，矩形纸片中，，，点E、G分别在上，将、分别沿翻折，翻折后点C与点F重合，点B与点P重合．当A、P、F、E四点在同一直线上时，线段长为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据矩形的性质得到，，，根据折叠的性质得到，，，根据勾股定理得到，设，由勾股定理列方程得到，由折叠的性质得到，，，求得，设，则，根据勾股定理列方程即可得到结论．
【详解】解：在矩形纸片中，，，
∴，，，
∵将沿翻折，翻折后点C与点F重合，
∴，，，
∴，
设，
∴，，
∵，
∴，
解得：，
∴，
∵将沿翻折，翻折后点B与点P重合，
∴，，，
∴，
设，
则，
∵，
∴，
∴，
∴线段GP长为，
故选：B．
【点睛】本题考查了翻折变换（折叠问题），矩形的性质，勾股定理，根据勾股定理列方程是解题的关键．
10. 如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，AC＝CD，⊙O的半径为2，则△AOC的面积为（ ）
A. B. 2C. 2D. 4
【答案】C
【解析】
【分析】根据垂径定理求出CE=CD=AC，则在Rt△ACE中存在特殊角，即∠CAO=30°，∠ACE=60°，根据OC=OA=，得到∠CAO=∠ACO=30°，则有∠OEC=30°，则在Rt△OCE中有OE=OC=，CE=OE=，则△AOC的面积得解．
【详解】∵AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，
∴直径AB平分弦CD，E为CD中点，
∴CE=CD=AC，
∴∠CAO=30°，
∴∠ACE=60°，
又∵OC=OA=，
∴∠CAO=∠ACO=30°，
∴∠OEC=30°，
∴ Rt△OCE中有OE=OC=，CE=OE=，
则△AOC的面积为：，
故选：C．
【点睛】本题主要考查了垂径定理以及解特殊直角三角形的知识，灵活运用垂径定理是解答本题的关键．
11. 已知关于的分式方程的解为整数，且关于的不等式组有解且至多有2个整数解，则符合条件的整数有（ ）
A. 2B. 3C. 4D. 5
【答案】C
【解析】
【分析】先解分式方程，再根据分式方程的解为整数求出的范围，然后解不等式组，最后根据不等式组至多有2个整数解确定的值即可解答．
【详解】解：，
，
∴，
∴，
∵分式方程的解为整数，
∴为整数，且，
∴，
∵，
解不等式①，得，
解不等式②，得，
∴该不等式的解集为
又∵该不等式组有解且至多有2个整数解，
∴，
∴，
综上所述，符合条件的整数的值为，
共计4个．
故选：C．
【点睛】本题主要考查了分式方程的解以及一元一次不等式的整数解，熟练掌握相关知识是解题关键．
12. 有n个依次排列的整式：第一项是a2，第二项是a2+2a+1，用第二项减去第一项，所得之差记为b1，将b1加2记为b2，将第二项与b2相加作为第三项，将b2加2记为b3，将第三项与b3相加作为第四项，以此类推；某数学兴趣小组对此展开研究，得到4个结论：
①b3＝2a+5；
②当a＝2时，第3项为16；
③若第4项与第5项之和为25，则a＝7；
④第2022项为（a+2022）2；
⑤当n＝k时，b1+b2+…+bk＝2ak+k2；
以上结论正确的是（ ）
A. ①②⑤B. ①③⑤C. ①②④D. ②④⑤
【答案】A
【解析】
【分析】根据题目中的描述，按规律写出前几项验证相关选项，最后得到，第项为，进一步验证即可得到结论．
【详解】解：第一项是a2，
第二项是a2+2a+1，
用第二项减去第一项，所得之差记为b1，则，
将b1加2记为b2，则，
将第二项与b2相加作为第三项，则第三项是，
当a＝2时，第三项是，②正确；
将b2加2记为b3，则，①正确；
第三项与b3相加作为第四项，则第四项是，
将b3加2记为b4，则，
第四项与b4相加作为第五项，则第五项是，
第4项与第5项之和为25，则，解得a＝0或，③错误；
…
综上所述：，第项为，
第2022项为，④错误；
当时，
，
故选：A．
【点睛】本题考查整式规律，根据题目要求，通过前面几项找到一般项的规律是解决问题的关键．
二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分）
13. ______．
【答案】##
【解析】
【分析】根据化简绝对值，零次幂，负整数幂进行计算即可求解．
【详解】解：，
故答案为：．
【点睛】本题考查了实数的混合运算，掌握零次幂，负整数幂，化简绝对值是解题的关键．
14. 一个木盒里装有除颜色不同以外其他完全相同的3枚黑色围棋子和1枚白色围棋子，现从木盒中随机取出1枚棋子，记下颜色后放回盘中搅拌均匀，再从木盒里取出一枚棋子，则前后两次取到都是黑棋的概率是______．
【答案】
【解析】
【分析】画树状图，共有16种等可能的结果，其中前后两次取到都是黑棋的结果有9种，再由概率公式求解即可．
【详解】画树状图如下：
共有16种等可能的结果，其中前后两次取到都是黑棋的结果有9种，
∴前后两次取到都是白棋的概率是
故答案为：．
【点睛】本题考查的是用树状图法求概率．树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
15. 如图，矩形的两条对角线相交于点，．以点为圆心，长为半径画弧，此弧恰好经过点，并与交于点，则图中阴影部分的面积为______．
【答案】
【解析】
【分析】根据题意得到是等边三角形，从而得到角度，再结合特殊角的直角三角形三边关系以及勾股定理可得到，，分别求出，，，最后根据图形得到，即可获得答案．
【详解】解：∵矩形的两条对角线相交于点，
∴，
∵点为圆心，长为半径画弧，此弧恰好经过点，
∴，即是等边三角形，
∴，，
在中，，，
，，，
∴，
，
，
∴．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了求不规则图形的面积，涉及到的知识点包括矩形的性质、等边三角形的判定与性质、特殊角度的直角三角形三边关系、勾股定理、三角形面积公式和扇形面积公式等，将阴影部分面积转化为常见图形面积来间接求解是解决问题的关键．
16. 冬季运动越野滑雪的路段分为上坡、平地、下坡三种类型，滑雪者在同种路段中滑行速度保持不变．运动爱好者小明上坡滑雪3分钟与平地滑雪2分钟的路程相等．第一次训练中，他上坡、平地、下坡滑雪的时间分别是2分钟、2分钟、3分钟．第二次训练中，他上坡、平地、下坡滑雪的时间分别比第一次多了50%、50%、20%，总路程比第一次多32%．第三次训练所用时间为第一次的3倍，其中上坡、平地、下坡滑雪的时间依次减少，且总路程是第二次的2倍．设第三次训练中平地滑雪时间为b分钟，若b为整数，则b的值为 _____．
【答案】7
【解析】
【分析】设小明上坡滑雪的速度为，平地滑雪的速度为，下坡滑雪的速度为，第一次的路程为，则可得第一次训练时；表示出第二次训练的时间，则可得第二次训练时；；设第三次训练时间为：上坡滑雪分钟，平地滑雪分钟，下坡滑雪分钟，则由题意可得，其中，，消元整理后得到，解得，根据求出的整数解即可．
【详解】解：设小明上坡滑雪的速度为，平地滑雪的速度为，下坡滑雪的速度为，第一次的路程为
则由题意可得
第二次的训练时间为：上坡滑雪分钟，平地滑雪分钟，下坡滑雪分钟
第二次路程为
则由题意可得
设第三次训练时间为：上坡滑雪分钟，平地滑雪分钟，下坡滑雪分钟
则由题意可得，其中
解得：
将代入得
解得
将，代入得
解得
∴
解得
∴
解得，
解得
∴
∵是整数
∴的值为7
故答案为：7．
【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，一元一次不等式组．解题的关键在于理解题意，正确的列方程求解．
三、解答题（共86分）
17. 计算：
（1）（a﹣b）2﹣2a（a+b）；
（2）．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据整式的混合运算法则计算即可．
（2）根据分式的混合运算法则计算即可．
【小问1详解】
解：原式
．
【小问2详解】
解：原式
．
【点睛】本题考查整式的混合运算，分式的混合运算，熟练掌握这些知识点是解题关键．
18. 如图，在平行四边形ABCD中AD＞AB．
（1）尺规作图：在AD上截取AE，使得AE＝AB．作∠ADC的平分线交BC于点F（保留作图痕迹，不写作法）；
（2）在（1）所作图形中，连接BE，求证：四边形BEDF是平行四边形．（请补全下面的证明过程，不写证明理由）．
证明：∵DF平分∠ADC，
∴
∵在平行四边形ABCD中，BCAD，
∴
∴∠CDF＝∠CFD，
∴CD＝CF．
∵平行四边形ABCD中，AB＝CD，
又∵AE＝AB，
∴AE＝CF．
∵在平行四边形ABCD中，AD＝BC，
∴AD﹣AE＝BC﹣CF，
即
又∵
∴四边形BEDF是平行四边形．
【答案】（1）见解析 （2）见解析
【解析】
【分析】（1）利用基本作图画出对应的几何图形；
（2）由角平分线性质得到，由平行线的性质得到，最后根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形解答．
【小问1详解】
解：如图就是所求作的图形；
小问2详解】
证明：∵DF平分∠ADC，
∴
∵在平行四边形ABCD中，BCAD，
∴
∴∠CDF＝∠CFD，
∴CD＝CF．
∵在平行四边形ABCD中，AB＝CD，
又∵AE＝AB，
∴AE＝CF．
∵在平行四边形ABCD中，AD＝BC，
∴AD﹣AE＝BC﹣CF，
即DE=BF
又∵
∴四边形BEDF是平行四边形．
【点睛】本题考查四边形综合题，涉及平行四边形的判定与性质、角平分线的定义、平行线的性质等知识，在重要考点，掌握相关知识是解题关键．
19. 2022年4月2日，中国人民银行召开数字人民币研发试点工作座谈会，在现有试点地区基础上增加重庆市等6个城市作为试点地区，某校数学兴趣小组为了调查七、八年级同学们对数字人民币的了解程度，设计了一张含10个问题的调查问卷，在该校七、八年级中各随机抽取20名学生进行调查，并将结果整理、描述和分析，下面给出了部分信息．
七年级20名学生答对的问题数量为：
八年级20名学生答对的问题数量的条形统计图如图：
七、八年级抽取的学生答对问题数量的平均数、众数、中位数、答对8题及以上人数所占百分比如表所示：两组数据的平均数，众数，中位数，优秀率如表所示：
根据以上信息，解答下列问题：
（1）直接写出上述表中的a，b，c的值；
（2）根据上述数据，你认为该校七、八年级中哪个年级的学生更了解数字人民币？请说明理由（写出一条理由即可）；
（3）若答对7题及以上视为比较了解数字人民币，该校七年级有800名学生，八年级有700名学生，估计该校七年级和八年级比较了解数字人民币的学生总人数是多少？
【答案】（1），，
（2）八年级的学生更了解数字人民币，理由见解析
（3）该校七年级和八年级比较了解数字人民币的学生总人数是人
【解析】
【分析】（1）根据七年级20名学生答对的问题数量及众数的定义得到，根据八年级20名学生答对的问题数量的条形统计图及中位数的定义可得；根据答对8题及以上人数可得c=65%；
（2）从平均值和从中位数看即可确定八年级学生更了解；
（3）利用样本中答对7题及以上学生人数的占比分别估算求和即可得出结果．
【小问1详解】
解：根据七年级20名学生答对的问题数量：
可知，8出现的次数最多，
∴众数为8，故；
根据八年级20名学生答对的问题数量的条形统计图可得第10和11位的数据为8、8，
∴中位数为8，故；
∵答对8题及以上人数为13人，
∴c=65%，
，，；
【小问2详解】
解：八年级的学生更了解数字人民币，
从平均值看，八年级平均数要大；从中位数看，八年级中位数也大；
八年级的学生更了解数字人民币；
【小问3详解】
解：七年级比较了解数字人民币的学生总人数是（人）；
八年级比较了解数字人民币的学生总人数是（人）；
该校七年级和八年级比较了解数字人民币的学生总人数是（人）．
【点睛】本题考查条形统计图、平均数、众数、中位数、用样本估计总体等知识，理解各个数量之间的关系是解决问题的关键．
20. 反比例函数与一次函数交于，两点．
（1）求反比例函数和一次函数的解析式，并在网格中画出反比例函数和一次函数的图像；
（2）当时，直接写出自变量的取值范围；
（3）若与轴交于点，点关于轴的对称点为点，求面积．
【答案】（1），，画反比例函数和一次函数的图像见详解
（2）或
（3）16
【解析】
【分析】（1）利用待定系数法即可求得答案；
（2）通过观察图像即可求得答案；
（3）求得，即可求得，然后根据，利用三角形面积公式求得即可．
【小问1详解】
解：将点代入到反比例函数中，
可得 ，解得 ，
反比例函数解析式为，
∵点也在反比例函数的图像上，将其代入到，
可得，解得，
点，
将点、点代入到一次函数中，
可得，解得，
一次函数的解析式为；
在网格中画出y2的图像如图：
【小问2详解】
解：根据图像可得：当或时，反比例函数图像在一次函数图像下方，
∴当时，x的取值范围为或；
【小问3详解】
解：∵，
∴，
∴，
∴．
【点睛】本题是反比例函数与一次函数的交点问题，主要考查了反比例函数图像上点的坐标特征以及待定系数法求函数解析式、三角形的面积等知识，熟练掌握相关知识，利用数形结合的思想分析问题是解题的关键．
21. 甲、乙两工程队共同承建某高速路隧道工程，隧道总长2000米，甲、乙分别从隧道两端向中间施工，计划每天各施工6米．因地质情况不同，两支队伍每合格完成1米隧道施工所需成本不一样．甲每合格完成1米，隧道施工成本为6万元；乙每合格完成1米，隧道施工成本为8万元．
（1）若工程结算时乙总施工成本不低于甲总施工成本的，求甲最多施工多少米？
（2）实际施工开始后因地质情况比预估更复杂，甲乙两队每日完成量和成本都发生变化．甲每合格完成1米隧道施工成本增加m万元时，则每天可多挖m米，乙因特殊地质，在施工成本不变的情况下，比计划每天少挖m米，若最终每天实际总成本比计划多（11m-8）万元，求m的值．
【答案】（1）1000米；（2）4
【解析】
【分析】（1）设甲工程队施工x米，则乙工程队施工（2000-x）米，由工程结算时乙总施工成本不低于甲总施工成本的，即可得出关于x的一元一次不等式，解之取其中的最大值即可得出结论；
（2）根据总成本=每米施工成本×每天施工的长度结合每天实际总成本比计划多（11m-8）万元，即可得出关于m的一元二次方程，解之即可得出结论．
【详解】解：（1）设甲工程队施工x米，则乙工程队施工（2000-x）米，
依题意，得：8（2000-x）≥×6x，
解得：x≤1000．
答：甲最多施工1000米．
（2）依题意，得：（6+m）（6+m）+8（6-m）=6×（6+8）+11m-8，
整理，得：m2-8m+16=0，
解得：m1=m2=4．
答：m的值为4．
【点睛】考查了一元一次不等式的应用以及一元二次方程的应用，解题的关键是：（1）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式；（2）找准等量关系，正确列出一元二次方程．
22. 如图，某渔船向正东方向以14海里/时的速度航行，在A处测得小岛C在北偏东方向，2小时候渔船到达B处，测得小岛C在北偏东方向，已知该岛周围20海里范围内有暗礁．（参考数据：，，，）
（1）求B处距离小岛C的距离（求出准确值）；
（2）为安全起见，渔船在B处向东偏南转了继续航行，通过计算说明船是否安全？
【答案】（1）B处距离小岛C的距离约为海里
（2）安全，说明见解析
【解析】
【分析】（1）如图，过点作于，根据题意求出，利用和锐角三角函数，分别表示出：，再利用，求出，然后求出即可；
（2）如图，过点作于，求出的长度，即可得解．
【小问1详解】
如图，过点作于，
由题意得， ，
海里，
∵，
∴，
在中，
∵ ，
∴，
∵，
即：
解得，
在中，（海里） ，
答：B处距离小岛C的距离约为海里；
【小问2详解】
解：如图，过点作于，
在中，，，
∴
(海里)，
∵，
∴能安全通过，
答：能安全通过．
【点睛】本题考查解直角三角形的应用．根据题意，添加合适的辅助线，构造直角三角形，是解题的关键．
23. 已知一个各个数位上的数字均不为0的四位正整数，以它的百位数字作为十位，个位数字作为个位，组成一个新的两位数s，若s等于M的千位数字与十位数字的平方差，则称这个数M为“平方差数”．将它的百位数字和千位数字组成两位数，个位数字和十位数字组成的两位数，并记．
例如：6237是“平方差数”，因为，所以6237是“平方差数”；此时．
又如：5135不是“平方差数”，因为，所以5135不是“平方差数”．
（1）判断6324和7254是否是“平方差数”？并说明理由；
（2）若是“平方差数”，且比M的个位数字的9倍大30，求所有满足条件的“平方差数”Ｍ．
【答案】（1）6324不是“平方差数”，7254不是“平方差数”，理由见解析
（2）8175或5241；
【解析】
【分析】（1）根据“平方差数”的定义求解即可；
（2）先根据题意得到，，再由比M的个位数字的9倍大30推出，据此求解即可．
【小问1详解】
解：∵，
∴6324不是“平方差数”；
∵，
∴7254不是“平方差数”；
【小问2详解】
解：∵“平方差数”，
∴，，
∵比M的个位数字的9倍大30
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵a、c都是正整数，且，
∴或或，
∴或或，
∴当时，，
∴；
∴当时，，
∴（不符合题意，舍去）；
∴当时，，
∴；
综上所述，所有满足条件的“平方差数”M为8175或5241．
【点睛】本题主要考查了新定义下的实数运算，正确理解题意是解题的关键．
24. 如图1，抛物线与轴交于和两点，与轴交于点．
（1）求该抛物线的函数表达式：
（2）是抛物线上位于直线上方的一个动点，过点作轴交于点，过点作于点，过点作轴于点，求出的最大值及此时点的坐标；
（3）如图2，将原抛物线向左平移2个单位长度得到抛物线，与原抛物线相交于点，点为原抛物线对称轴上的一点，在平面直角坐标系中是否存在点，使以点，，，为顶点的四边形为矩形，若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）；
（2）最大为，此时；
（3），，，．
【解析】
【分析】（1）利用待定系数法直接求解；
（2）根据题意推出等腰三角形，利用等腰直角三角形的性质，推出的表达式，从而建立起的函数表达式，最终利用函数法求最值；
（3）先通过勾股定理求出点的坐标，再由矩形对角线的性质，直接计算的坐标．
【详解】（1）将和两点代入解析式得，解得，
抛物线得函数表达式为；
（2）由题意，，则为等腰直角三角形，，
设得解析式为，将与代入求得，则，
点在抛物线上，轴交于点，
设，则，，其中，
如图，延长交于点，则，且由题可知，为等腰直角三角形，
由“三线合一”知，，
的横坐标为，
，
故由二次函数的性质可得，当时，最大为，此时；
（3）由平移可求得平移后函数解析式为，与原函数交点；
①以为边，作交对称轴于，可构造矩形，设，
， ，
，
由，建立等式
解得：，即，
此时设，由四点的相对位置关系可得：
，解得，故；
②同理，以为边，作交对称轴于，可构造矩形，设，
此时有：，建立等式
解得，即，
此时设，由四点的相对位置关系可得：
，解得，故；
③以为对角线，作交对称轴于，可构造矩形，设，
此时有：，建立等式
解得，，即，，
此时设，由四点的相对位置关系可得：
，解得，故；
设，由四点的相对位置关系可得：
，解得，故；
综上所述，，，，．
【点睛】本题考查了待定系数法求解函数解析式，用函数法求线段和最值问题，以及平面中特殊四边形顶点的求解；能够熟练掌握函数法求线段最值问题并且熟练运用等腰直角三角形的性质是解决第二问的核心；第三问的核心在于能够利用矩形的性质，通过边长计算对称轴上点的坐标，再由对角线互相平分的性质计算平面中的坐标．
25. 在中，，，D为中点，E，F分别为，上任意一点，连接，将线段绕点E顺时针旋转90°得到线段，连接，．
（1）如图1，点E与点C重合，且的延长线过点B，若点P为的中点，连接，求的长；
（2）如图2，的延长线交于点M，点N在上，且，求证：；
（3）如图3，F为线段上一动点，E为的中点，连接，H为直线上一动点，连接，将沿翻折至所在平面内，得到，连接，直接写出线段的长度的最小值．
【答案】（1）2 （2）见解析
（3）
【解析】
【分析】（1）根据已知条件可得为的中点，证明，进而根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半即可求解；
（2）过点作交的延长线于点，证明，，可得，进而根据，即可得出结论，
（3）根据（2）可知，当点在线段上运动时，点在平行于的线段上运动，根据题意作出图形，根据点到圆上的距离求最值即可求解．
【小问1详解】
如图，连接
将线段绕点E顺时针旋转90°得到线段，
是等腰直角三角形，
P为FG的中点，
，
，
，
，D为的中点，，
，，
，
在中，；
【小问2详解】
如图，过点作交的延长线于点，
，
，
，
，
是等腰直角三角形，
，
，
在与中，
，
，
，
，
又，，
，
，
，
，
，
又，
，
,
，
，
，
，
；
【小问3详解】
由（2）可知，
则当点在线段上运动时，点在平行于的线段上运动，
将沿翻折至所在平面内，得到，
E为的中点，
，
，
则点在以为圆心为半径的圆上运动，当三点共线时，最小，
如图，当运动到与点重合时，取得最小值，．
如图，当点运动到与点重合时，取得最小值，
此时，则．
综上所述，的最小值为．
【点睛】本题考查了等腰三角形的性质与判定，直角三角形斜边上的中线，勾股定理，全等三角形的性质与判定，轴对称线的性质，点到圆上一点距离最值问题，正确的添加辅助线是解题的关键．
5
5
5
6
6
6
7
7
7
7
8
8
8
8
8
9
9
9
10
10
年级
平均数
众数
中位数
答对8题及以上人数所占百分比
七年级
7.4
a
7.5
50%
八年级
7.8
8
b
c
5
5
5
6
6
6
7
7
7
7
8
8
8
8
8
9
9
9
10
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