重庆市重庆市沙坪坝区第八中学校2022-2023学年九年级上学期 开学自主学习检查数学试题

重庆八中初 2023 级暑假自主学习检查

数 学 试 题

（满分 150 分, 考试时间 120 分钟)

一、选择题: (本大题 12 个小题, 每小题 4 分, 共 48 分) 每个小题, 都给出了代号为 、B、C、D 的四个答案, 其中只有一个是正确的, 请将正确答案所对应的方框涂黑.

1.下列代数式中属于分式的是（  ）

A.

B.

C.

D.

2. 下列图形是物理学中的力学、电学等器件的平面示意图, 从左至右分别代表小车、音叉、凹透镜和砝码, 其中是中心对称图形的是（  ）

3.下列从左到右的变形属于因式分解的是（  ）

A.

B.

C.

D.

4.如图, 平面直角坐标系中, 已知 顶点 , 以原点 为位似中心, 将 缩小后得到 , 若 的面积为4 , 则 的面积为（  ）

A. 2

B. 4

C. 8

D. 16

5. 下列关于平行四边形性质的叙述中, 错误的是（  ）

A. 平行四边形的对边相等

B. 平行四边形的对角线互相平分

C. 平行四边形的对角线相等

D. 平行四边形的对角相等

6.正五边形的一个外角度数是（  ）

A.

B.

C.

D.

7. 若一元二次方程 的两个实数根分别是 , 则一次函数 的图像一定不经过（  ）

A. 第一象限

B. 第二象限

C. 第三象限

D. 第四象限

8. 若关于 的一元二次方程 有实数根, 则整数 的最大值为 （  ）

A. 4

B. 5

C. 6

D. 7

9. 若点 都是反比例函数 的图象上的点, 则下列各式中正确的是（  ）

A.

B.

C.

D.

10. 如图, 在平行四边形 中, 是 的中点, 是 的中点, 交 于点 的延长线交 的延长线于 点,那么 （  ）

A. 1:4

B.

C.

D.

11. 若关于 的不等式组 有解且所有的解都是正数, 且关于 的分式方程 的解为整数, 则符合条件的所有整数 的个数为（  ）

A. 1 个

B. 2 个

C. 3 个

D. 4 个

12. 若定义一种新的取整符号 [ ] , 即 表示不超过 的最大整数. 例如: , , 则下列结论正确个数是（  ）

① ;

② ;

③ 方程 的解有无数多个;

④ 若 , 则 的取值范围是 ;

A. 1

B. 2

C. 3

D. 4

二、填空题: (本大题 4 个小题, 每小题 4 分, 共 16 分.）请将每小题的答案直接填在答 题卡中对应的横线上.

13. 的倒数是          .

14. 不透明的袋子中装了 2 个红球, 1 个黑球, 1 个白球, 这些球除颜色外无其它差别, 从袋子中随机摸出 2 个球, 摸出 1 个红球 1 个黑球的概率为          .

15. 如图, 在平行四边形 中, , 以顶点 为圆心, 线段 的 长为半径画弧, 分别交线段 于点 , 交 于点 , 则图中阴影部分的面积是          . (结果保留 )

16. 美术社团班的甲、乙、丙同学, 准备到文具店购买画笔, 该文具店 种画笔可供选择, 每种画笔有粗, 中, 细三种型号, 且每种画笔的三种型号的价格每支分别为 8 元、 元、 元, 其中 均为整数, 三人每种画笔的每种型号都选择了一支, 对于每一种画笔, 三人选择的型号也各不相同. 结账时, 甲花费了 85 元, 乙和丙两人共花费了 110 元, 则甲买细型号的画笔上共花费          元.

三、解答题（本大题共 9 小题, 第 17,18 题每题 8 分, 其余每题 10 分, 共 86 分) 解答 时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤, 画出必要的图形 (包括辅助线), 请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上.

17. 解方程:

(1)

(2)

18.如图, 线段 是 的角平分线.

(1) 尺规作图: 作线段 的垂直平分线分别交 于点 ; (保留痕 迹, 不写作法)

(2) 在 (1) 所作的图中, 连接 , 求证:

四边形 AEDF 是菱形. (请补全下面的证明过程)

证明: 是线段 的垂直平分线,

线段 是 的角平分线,

,

四边形 是菱形.

19. 一次函数 的图象与反比例函数 的图象相交于点 两点.

(1) 求一次函数的表达式并画出一次函数;

(2) 过点 作 轴, 垂足为点 , 求出四边形 的面积.

20. 本学期开始, 渝北区某中学对该校八年级学生进行了体育训练. 为了解他们的训练效 果, 从该年级中各随机抽取了相同人数的男、女生进行跳绳测试, 设备测试的每一位同学跳绳个数为 个, 测试结果分为了四个等级: , 并对数据进行了整理、描述和分析, 给出了以下部分信息:

①男生成绩频数分布表和女生成绩扇形统计图如下:

②女生 组中全部 19 名学生的成绩为: ,

③两组数据的平均数、中位数、众数、方差如表所示:

请根据有关信息解决下列问题:

(1) 填空:

(2) 在此次跳绳测试中, 你认为是男生还是女生的训练效果更好? 请说明理由 (写出

一条理由即可);

（3）若该校八年级有 1200 人（其中男女生人数相等）即将参加体育期末测试, 规定跳 绳成绩在 185 个及其以上为满分, 请预测该年级体育期末测试中跳绳成绩为满分的 人数。

21. 2022 年夏天, 重庆多地高温, 露营广受市民喜爱.某电商购进一批 型帐篷和 型帐篷, 已知一顶 型帐篷的进价比一顶 型帐篷的进价多 80 元, 购买 40 顶 型帐篷和 60 顶 B 型帐篷的金额相同。

(1)每顶 型帐篷和 型帐篷的进价分别是多少元?

(2)7 月份该电商以 300 元每顶售出 型帐篷 120 顶, 以 200 元每顶售出 B型帐篷 150 顶。8 月份电商决定调整价格, 每顶 型帐篷的售价不变, 每顶 型帐篷的售价在 7 月的基础上下降了 元, 由于气温持续攀升, 8 月份 型帐篷的销量比 7 月份增加了 顶, B 型帐篷的销量比 7 月份增加了 顶, 商家在 8 月份获利 10840 元, 求 的值.

22. 夜晚, 小明站在两路灯 之间的点 处, 小明身高 , 如图, 若 , 他在路灯 下的影子为 , 在路灯 下的影子为 .

(1) 若 , 求路灯 的高度?

(2) 若 和 的高度都恰好等于 (1) 中 的高度，小明在两路灯 之间行走（不包括点, 点 ), 则线段 的长是否为定值? 若是, 请求出 的长; 若不是, 请说明理由.

23. 一个个位上的数字均不为 0 的四位正整数 , 若千位上的数字与十位上的数字之比, 等于百位上的数字与个位上的数字之比, 且比值 为正整数, 则称数 为 “等比数”, 比值 称为数 的“相似比”. 此时记 , 例如 9632, 因为 , 比值 3 为正整数, 所以 9632 为“等比数”, “相似比”为 .

(1) 设数 的十位上的数字为 , 个位上的数字为 . 若 , 求 和 的值;

(2) 已知 都是“等比数”, 其中 的个位数为 的个位数为 2, 且 的相似 比为 3 , 若 能被 11 整除, 求 和 .

24.如图 1, 在平面直角坐标系中, 直线 与 轴交于点 , 与 轴交于 点 , 直线 与 轴交于点 , 与直线 交于 .

(1) 求直线 的解析式.

(2) 点 是射线 上的动点, 过点 作 且与 交于点 轴垂足为点

轴垂足为点 , 当四边形 为正方形时, 求出正方形的边长.

(3) 如图 2, 连接 , 将 沿直线 翻折得到 . 若点 为直线 上一动点, 在平面内是否存在点 , 使得以 为顶点的四边形为菱形, 若 存在, 直接写出 的坐标, 并把求其中一个点 的过程写出来, 若不存在, 请说明理由.

25. 已知 和 都是等腰直角三角形, ,连接 .

(1) 如图 1, 若点 在同一直线上, 已知 , 求线段 的长度.

(2) 如图 2 , 当 时, 过点 作 并交 的延长线于点 , 与 交于点 , 求证: .

(3) 如图 3, 已知若 , 直线 与直线 相交于点 , 过点 作直线 垂直于 , 点 是直线 上一点, 直接写出 的最小值.