第六章 平面向量及其应用（重难点专题复习）-2022-2023学年高一数学下学期期末复习举一反三系列（人教A版2019必修第二册）

第六章 平面向量及其应用（重难点专题复习）【题型1 向量的概念与向量的模】【方法点拨】根据向量的概念与向量的模的定义，结合具体条件，进行求解即可.【例1】（2023春·山西阳泉·高一校考期中）下列命题中真命题的个数是（    ）（1）温度､速度､位移､功都是向量（2）零向量没有方向（3）向量的模一定是正数（4）直角坐标平面上的x轴､y轴都是向量A．0 B．1 C．2 D．3【变式1-1】（2023春·江西南昌·高一校考期中）下列说法错误的是（    ）A．向量CD与向量DC长度相等 B．任一非零向量都可以平行移动C．单位向量都相等 D．向量的模可以比较大小【变式1-2】（2023春·广东深圳·高一校考期中）下列结论中，正确的是（    ）A．零向量只有大小，没有方向 B．若AB//CD，AB//EF，则CD//EFC．对任一向量a，a>0总是成立的 D．AB=BA【变式1-3】（2023春·天津河北·高一统考期中）下列说法中正确的是（    ）A．两个有共同起点，且长度相等的向量，它们的终点相同B．零向量是最小的向量C．若向量a与向量b平行，向量b与向量c平行，则向量a与向量c一定平行D．单位向量的长度为1【题型2 向量相等或共线】【方法点拨】判断两向量是否共线的关键是看两向量所在的直线是否平行或重合；判断两向量是否相等不仅要看两向量所在的直线是否平行或重合，还要看两向量的模是否相等、方向是否相同.【例2】（2023·高一课时练习）如图，四边形ABCD中，AB=DC，则相等的向量是（    ）A．AD与CB B．OB与OD C．AC与BD D．AO与OC【变式2-1】（2023春·陕西宝鸡·高一统考期中）以下结论中错误的是（    ）A．若a+b=0，则a//bB．若向量AB≠AC，则点B与点C不重合C．方向为东偏南70°的向量与北偏西20°的向量是共线向量D．若a与b是平行向量，则|a|=|b|【变式2-2】（2023春·河南开封·高一校考期中）对于向量a、b，“a∥b”是“a=b”的（　　）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【变式2-3】（2023春·河南开封·高一校考期中）如图所示，点O是正六边形ABCDEF的中心，则以图中点A、B、C、D、E、F、O中的任意一点为始点，与始点不同的另一点为终点的所有向量中，除向量OA外，与向量OA共线的向量共有（    ）A．7个 B．8个 C．9个 D．10个【题型3 向量的线性运算】【方法点拨】向量的加减法运算有如下方法：(1)利用相反向量统一成加法(相当于向量求和)；(2)运用减法公式 (正用或逆用均可)；(3)运用辅助点法，利用向量的定义将所有向量转化为以其中一确定点为起点的向量，使问题转化为有共同起点的向量问题.向量的数乘运算类似于实数运算，遵循括号内的运算优先的原则，将相同的向量看作“同类项”进行合并.要注意向量的数乘所得结果仍是向量，同时要在理解其几何意义的基础上，熟练运用运算律.【例3】（2023秋·辽宁沈阳·高一统考期末）设P是△ABC所在平面内的一点，BC+2BA=3BP，则（    ）A．2PA+PC=0 B．PA+2PC=0 C．2PA−PC=0 D．PA−2PC=0【变式3-1】（2023秋·辽宁·高一校联考期末）如图，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AD=2，AB=BC=CD=1，E为AD的中点．则下列式子不正确的是（    ）A．AB+AE=AC B．BE=EC C．AB−CD=ED D．ED+CB=0【变式3-2】（2023秋·北京丰台·高一统考期末）AB−AD+CD化简后等于（    ）A．BC B．CB C．BD D．DB【变式3-3】（2023秋·北京昌平·高一统考期末）如图，在矩形ABCD中，对角线AC,BD交于点O，则下列各式一定成立的是（    ）A．AB=CDB．AC=BDC．AO=12CAD．AO=12AB+AD【题型4 向量的投影】【方法点拨】根据向量的投影的定义，结合具体条件，进行求解即可.【例4】（2023春·全国·高一专题练习）已知a=2b，若a与b的夹角为120°，则2b−a在a上的投影向量为（    ）A．3−3a B．−32a C．−12a D．3a【变式4-1】（2023·全国·高三专题练习）已知向量a，b满足a+b⋅b=2，且b=1，则向量a在向量b上的投影向量为（    ）A．1 B．−1 C．b D．−b【变式4-2】（2023秋·北京·高一校考期末）已知平面向量a，b是非零向量，a=2，a⊥a+2b，则向量b在向量a方向上的投影为（    ）A．−1​ B．1 C．−2​ D．2【变式4-3】（2023秋·江苏无锡·高一校考期末）已知△ABC外接圆圆心为O，半径为1，2AO=AB+AC，且3OA=AB，则向量AB在向量BC上的投影向量为(    )A．34BC B．34BC C．14BC D．−34BC【题型5 向量数量积的计算】【方法点拨】解决向量数量积的计算问题，要充分利用图形特点及其含有的特殊向量，这里的特殊向量主要指具有特殊夹角或已知长度的向量.对于以图形为背景的向量数量积的题目，解题时要充分把握图形的特征.【例5】（2023春·四川成都·高三校联考期末）已知向量a、b满足a=2，b=5，且a与b夹角的余弦值为15，则a+2b⋅3a−b=（    ）A．−30 B．−28 C．12 D．72【变式5-1】（2023秋·云南·高一校考期末）在正三角形△ABC中，AB=2，M，N分别为AB，AC的中点，则AM⋅BN=（    ）A．−32 B．−32 C．32 D．32【变式5-2】（2023秋·广东广州·高二校考期末）圆内接四边形ABCD中AD=2，CD=4，BD是圆的直径，则AC⋅BD=（    ）A．12 B．−12 C．20 D．−20【变式5-3】（2023·天津红桥·统考二模）已知菱形ABCD的边长为2，∠BAD=120°，点E在边BC上，BC=3BE，若G为线段DC上的动点，则AG⋅AE的最大值为（    ）A．2 B．83C．103 D．4【题型6 求向量的夹角（夹角的余弦值）】【方法点拨】求两非零向量的夹角或其余弦值一般利用夹角公式=求解.【例6】（2023秋·黑龙江齐齐哈尔·高三统考期末）平面向量|a|=2,|b|=2,(a−b)⊥a，则a与b的夹角是（    ）A．5π12 B．π3 C．π4 D．π6【变式6-1】（2023秋·内蒙古巴彦淖尔·高二校考期末）若非零向量a,b满足2a=b=2,a−2b⊥a，则向量a与b夹角的余弦值为（    ）A．34 B．12 C．13 D．14【变式6-2】（2023秋·江苏无锡·高一校考期末）已知非零向量a，b满足a=2b，且（a–b）⊥b，则a与b的夹角为A．π6 B．π3 C．2π3 D．5π6【变式6-3】（2023春·江西宜春·高二校考期末）已知向量a,b的夹角为π3，b=2a=2，向量c=xa+yb，且x,y∈[1,2]，则向量a,c夹角的余弦值的最小值为（    ）A．217 B．277 C．32 D．32114【题型7 向量的模】【方法点拨】或是求向量的模及用向量求解图形中线段长度的依据.这种通过求自身的数量积从而求模的思想是解决向量的模的问题的主要方法.此外，根据平面图形求向量的模时，注意利用图形的性质对向量的数量积或夹角等进行转化.【例7】（2023秋·山东烟台·高三校考期末）若平面向量a与b的夹角为60°，a=2,0，b=1，则a+2b等于（    ）．A．3 B．23 C．4 D．12【变式7-1】（2023秋·广东揭阳·高三统考期末）已知a，b为单位向量，向量c满足2b+c=3a.若a与b的夹角为60°，则c=（    ）A．6 B．7 C．22 D．3【变式7-2】（2023·江苏扬州·校考模拟预测）若向量a，b满足|a|=1，(a+b)⊥a，(2a+b)⊥b，则|b|=（    ）A．2 B．2 C．1 D．22【变式7-3】（2023春·北京·高一校考期中）若向量a,b,c满足：a≠b,c=1，且a−c⋅b−c=0，则|a+b|+|a−b|的最小值为（    ）A．52 B．2 C．1 D．12【题型8 平面向量基本定理的应用】【方法点拨】结合题目条件，利用平面向量基本定理进行转化求解即可.【例8】（2023春·浙江·高一校联考期中）如图所示，F为平行四边形ABCD对角线BD上一点，BF=13FD，则AF=（    ）A．34AB+14AD B．34AB−14AD C．14AB+34AD D．14AB−34AD【变式8-1】（2023春·广东广州·高一校考期中）已知在△ABC中，点D为边BC的中点，若AD+BC=λAB+μAC，则λ+μ=（    ）A．−1 B．−2 C．1 D．2【变式8-2】（2023春·海南海口·高一校考期中）如图，已知在△COB中，BA=AC，OD=2DB，DC和OA交于点E，若CE=λCD，则实数λ的值为（    ）A．12 B．25C．35 D．23【变式8-3】（2023春·山东·高一校联考期中）在△ABC中，AD为BC上的中线，G为AD的中点，M，N分别为线段AB，AC上的动点（不包括端点A，B，C），且M，N，G三点共线，若AM=λAB，AN=μAC，则λ+4μ的最小值为（    ）A．32 B．52 C．2 D．94【题型9 平面向量的坐标运算】【方法点拨】(1)向量的线性运算的坐标表示主要是利用加、减、数乘运算法则进行的，若已知有向线段两端点的坐标，则应先求出向量的坐标，然后再进行向量的坐标运算，另外解题过程中要注意方程思想的运用.(2)利用向量线性运算的坐标表示解题，主要根据相等向量的坐标相同这一原则，通过列方程(组)进行求解.【例9】（2023·全国·高一专题练习）已知向量a=2,1，b=−3,4，c=4,7.(1)求2a−3b+c；(2)求满足c=ma+nb的实数m，n；【变式9-1】（2023·全国·高一专题练习）已知向量a=3,1，b=2,−1，O为坐标原点．若向量OA=3a−b，BA=2b−a，求向量BO的坐标．【变式9-2】（2023春·吉林·高一校考阶段练习）已知点A−1,1，B2,−1．(1)若C是线段AB的中点，求C点坐标；(2)若直线AB上的点D满足AD=−2BD，求D点坐标．【变式9-3】（2023·全国·高三专题练习）已知A(-2，4)，B(3，-1)，C(-3，-4).设AB=a，BC=b，CA=c，且CM=3c，CN=-2b.（1）求3a+b-3c;（2）求满足a=mb+nc的实数m，n;（3）求M，N的坐标及MN的坐标.【题型10 向量共线、垂直的坐标表示的应用】【方法点拨】向量共线、垂直的坐标表示的应用有两类：一是判断向量的共线（平行）、垂直；二是根据向量共线、垂直来求参数的值；根据题目条件，结合具体问题进行求解即可.【例10】（2023·高一单元测试）已知a=1,2，b=−3,2．(1)当k为何值时，ka+b与a−3b垂直？(2)当k为何值时，ka+b与a−3b平行？【变式10-1】（2023春·高一校联考期中）已知向量a,b满足a=4,b=1,2.(1)若a//b ，求向量a的坐标；(2)若a+b⊥b，求向量a与向量b夹角的余弦值.【变式10-2】（2023春·福建福州·高一校考期中）四边形ABCD中，AB=6,1，BC=x,y，CD=−2,−3．（1）BC//DA，试求x与y满足的关系式；（2）满足（1）的同时又有AC⊥BD，求xy的值和四边形ABCD的面积．【变式10-3】（2023春·广东肇庆·高一校考期中）已知向量a=3，2,b=x,−1.(1)若a+2b⊥2a−b，求实数x的值；(2)若c=−8,−1,a//b+c，求向量a与b的夹角θ.【题型11 用向量解决物理中的相关问题】【方法点拨】平面向量在物理的力学、运动学中应用广泛，用向量处理这些问题时，先根据题意把物理中的相关量用有向线段表示，再利用向量加法的平行四边形法则转化为代数方程来计算.【例11】（2023春·福建·高一校联考期中）体育锻炼是青少年生活学习中非常重要的组成部分．某学生做引体向上运动，处于如图所示的平衡状态，若两只胳膊的夹角为60∘，每只胳膊的拉力大小均为380N，则该学生的体重（单位kg）约为（    ）(参考数据：取重力加速度大小为10m/s2，3≈1.732)A．68 B．66 C．64 D．62【变式11-1】（2023春·湖南长沙·高一校考期中）如图，某人用1.5m长的绳索，施力25N，把重物沿着坡度为30°的斜面向上拖了6m，拖拉点在竖直方向距离斜面的高度为1.2m，则此人对该物体所做的功为（    ）A．13J B．3013J C．125J D．150J【变式11-2】（2023春·黑龙江哈尔滨·高一校考阶段练习）一条河两岸平行，河的宽度为1560m，一艘船从河岸边的A地出发，向河对岸航行．已知船的速度v1的大小为v1=13km/h，水流速度v2的大小为v2=5km/h，若船的航程最短，则行驶完全程需要的时间tmin为（    ）A．t=7.2 B．t=7.8 C．t=120 D．t=130【变式11-3】（2023春·全国·高一专题练习）图为某种礼物降落伞的示意图，其中有8根绳子和伞面连接，每根绳子和水平面的法向量的夹角均为30∘．已知礼物的质量为10kg，降落伞自身的重量为2kg，每根绳子的拉力大小相同．则降落伞在匀速下落的过程中每根绳子拉力的大小为（    ）（重力加速度g取9.8m/s2，精确到0.01N）．A．1.41N B．1.56N C．16.97N D．17.04N【题型12 正、余弦定理在几何图形中的应用】【方法点拨】正、余弦定理本身是研究几何图形计算的工具，因此在面对几何图形时，关键是寻找相应的三角形，并在三角形中运用正、余弦定理，特别是涉及公共边时，要利用公共边来进行过渡，即利用公共边创造的互补或互余关系列式，其本质是构建关于角的关系的方程.【例12】（2023秋·安徽宣城·高三统考期末）如图，在△ABC中，已知AB=2，∠B=512π，BD=3−1.(1)求AD的长；(2)若AC=3+1，点E，C在直线AD同侧，∠AED=2∠C，求AE+ED的取值范围.【变式12-1】（2023秋·浙江杭州·高一校考期末）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且(b+c)(sinB+sinC)=asinA+3bsinC.(1)求角A的大小；(2)若a=6，且△ABC的面积为3，求△ABC的周长.【变式12-2】（2023春·重庆铜梁·高一校考期中）如图，在梯形ABCD中，AB//CD，AD⋅sinD=2CD⋅sinB.(1)求证：BC=2CD；(2)若AD=BC=2，∠ADC=120∘，求AB的长度.【变式12-3】（2023春·山东淄博·高一校考期中）从①(4a2−2ac)cosB+c2=a2+b2；②a+acosB=3bsinA，这两个条件中任选一个，补充在下列问题中，然后解答补充完整的题目．注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．已知△ABC的三个内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且________．(1)求角B的大小；(2)若b=23，求a+c的取值范围．【题型13 三角形的面积问题】【方法点拨】根据具体条件，结合三角形面积公式，进行转化求解即可.【例13】（2023春·山东济宁·高一校考期中）在△ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c，若2a−2bcosC=bcosA+acosB．(1)求角B；(2)若b=3，求△ABC的面积最大值，并求对应的△ABC的周长．【变式13-1】（2023春·黑龙江哈尔滨·高一校考期中）如图在平面四边形ABCD中，AC=7，AB=3，∠DAC=∠BAC，sin∠BAC=2114．(1)求边BC；(2)若∠CDA=2π3，求四边形ABCD的面积．【变式13-2】（2023·全国·高三专题练习）如图，在四边形ABCD中，BC2cos∠BAC=AC1−2cos∠ABC，AB=1.(1)求BC的值；(2)若△ACD为等边三角形，求△BCD面积的最大值.【变式13-3】（2023春·山东青岛·高一校考期中）在①c2=a2+b2−ab，②csinA=3acosC，③2ccosC=acosB+bcosA这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并解决该问题.在△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，且__________.(1)求∠C；(2)若b=3a，c=7，求△ABC的面积.（注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.）【题型14 解三角形的实际应用】【方法点拨】正、余弦定理在解决实际问题中的应用，本质上还是正、余弦定理在解决几何图形(主要是三角形与四边形)问题中的应用，因此利用几何图形本身及实际问题中涉及的术语(如方位角等)构建恰当的三角形，在三角形中运用正弦定理或余弦定理即可.【例14】（2023春·浙江·高一校联考期中）如图，为了测量两山顶M,N间的距离，飞机沿水平方向在A,B两点进行测量，A,B,M,N在同一个铅垂平面内，在A点测得M,N的俯角分别为α1=75°,β1=30°，在B点测得M,N的俯角分别为α2=45°,β2=60°，同时测得AB=106km．(1)求BN和AM的长度；(2)求M,N之间的距离．【变式14-1】（2023春·浙江杭州·高一校考期中）老王拟将自家一块直角三角形地按如图规划成3个功能区：△BNC区域规划为枇杷林和放养走地鸡，△CMA区域规划为民宿供游客住宿及餐饮，△MNC区城规划为鱼塘养鱼供垂钓．为安全起见，在鱼塘△MNC周围筑起护栏，已知AC=40m,BC=403m,AC⊥BC,∠MCN=30°．(1)若AM=20m，求护栏的长度即△MNC的周长)：(2)若鱼塘△MNC的面积是民宿△CMA面积的3倍，求∠ACM．【变式14-2】（2023春·浙江·高一校联考期中）如图所示，甲乙两人站在同一水平面上，与缆车A,B在同一铅垂平面内且相距50米．假设甲､乙两人的视线处于同一水平线且缆车处于静止状态，甲处观察缆车A的仰角为α，乙处观察缆车A的仰角为β，甲处观察缆车B的仰角为θ，乙处观察缆车B的仰角为δ．(1)求缆车A相对甲乙所在水平面的高度；（结果用α,β表示）(2)若测得α=60∘,β=30∘,θ=45∘,δ=75∘，求缆车A,B之间的距离．【变式14-3】（2023春·广东广州·高二校考期中）由于2020年1月份国内疫情爆发，经济活动大范围停顿，餐饮业受到重大影响.3月份复工复产工作逐步推进，居民生活逐步恢复正常.李克强总理在6月1日考察山东烟台一处老旧小区时提到，地摊经济､小店经济是就业岗位的重要来源，是人间的烟火，和“高大上”一样，是中国的生机.某商场经营者陈某准备在商场门前“摆地摊”，经营冷饮生意.已知该商场门前是一块角形区域，如图所示，其中∠APB=120°，且在该区域内点R处有一个路灯，经测量点R到区域边界PA、PB的距离分别为RS=4m，RT=6m，（m为长度单位）.陈某准备过点R修建一条长椅MN（点M，N分别落在PA、PB上，长椅的宽度及路灯的粗细忽略不计），以供购买冷饮的人休息.(1)求点S到点T的距离；(2)为优化经营面积，当PM等于多少时，该三角形PMN区域面积最小？并求出面积的最小值.