重庆市重庆市西南大学附属中学校2022-2023学年九年级上学期11月月考数学试题

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数学定时训练（一）
（满分：150分，训练时间：120分钟）
2022年10月
注意事项：
1．试题的答案书写在答题卡上，不得在试卷上直接作答；
2．作答前认真阅读答题卡上的注意事项；
3．作图（包括作辅助线）请一律用黑色2B铅笔完成；
4．训练结束，将试卷和答题卡一并收回．
一、选择题（每题4分，共48分）
1. 下列四个数中，最小的数是（　　）
A. ﹣2 B. ﹣1 C. 1 D. 0
【答案】A
【解析】
【分析】根据有理数大小比较的法则：①正数都大于0；②负数都小于0；③正数大于一切负数；④两个负数，绝对值大的其值反而小，据此判断即可．
【详解】解：根据有理数比较大小的方法，可得
，
∴最小的数是：；
故选择：A．
【点睛】此题主要考查了有理数大小比较的方法，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：①正数都大于0；②负数都小于0；③正数大于一切负数；④两个负数，绝对值大的其值反而小．
2. 如图是由6个完全相同的小正方体组成的立体图形，它的左视图是( )

A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】从正面看所得到的图形是主视图，从左面看到的图形是左视图，从上面看到的图象是俯视图．
【详解】左视图有2层3列，第一层有3个正方形，第二层有一个正方形；每列上正方形的分布从左到右分别是2，1，1个．
故选D．
【点睛】此题主要考查了三视图，关键是把握好三视图所看的方向．属于基础题，中考常考题型．
3. 如图，与位似，点O为位似中心，已知，的面积为1，则的面积是（ ）

A. 3 B. 4 C. 9 D. 16
【答案】C
【解析】
【分析】根据与之比为相似比的平方求解即可．
【详解】解：∵与位似，
∴与相似，
∵，
∴，
又∵的面积为1，
∴．
故选：C．
【点睛】本题考查了位似变换，熟练掌握位似变换的有关概念和性质是解题的关键．
4. 如图，，于点E，，则的度数为（ ）

A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据题意和平行线的性质得，根据垂直得，运用三角形内角和定理求出，即可得．
【详解】解：∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
故选：B．
【点睛】本题考查了平行线的性质，三角形内角和定理，解题的关键是掌握这些知识点．
5. 估计（9﹣）÷的值应在（　　）
A. 5和6之间 B. 6和7之间 C. 7和8之间 D. 8和9之间
【答案】A
【解析】
【分析】先算出式子的结果，然后再估算大小．
【详解】解：（9﹣）÷＝3﹣2，
∵7＜3＜8，
∴5＜3﹣2＜6，
∴3﹣2的值应在5到6之间．
故选：A．
【点睛】本题考查二次根式的化简和估算大小，估算大小常见方法有2种：一种是通过平方去根号比较，另一种是转化到根号内比较．
6. 下列说法正确的是（ ）
A. 三角形的外心到三角形三边的距离相等
B. 对角线相等且互相垂直的四边形是菱形
C. 正十边形的每一个内角为度
D. 菱形既是轴对称图形又是中心对称图形
【答案】D
【解析】
【分析】根据三角形的外心的性质，菱形的判定与性质，正多边形的内角和定理进行判断即可得．
【详解】解：A、三角形的外心到三角形三个顶点的距离相等，选项说法错误，不符合题意；
B、对角线互相平分且互相垂直的四边形是菱形，选项说法错误，不符合题意；
C、，即正十边形的每一个内角为度，选项说法错误，不符合题意；
D、菱形既是轴对称图形又是中心对称图形，选项说法正确，符合题意；
故选：D．
【点睛】本题考查了三角形的外心的性质，菱形的判定与性质，正多边形的内角和定理，解题的关键是掌握各性质定理．
7. 如图，内接于，直径，，则AC的长度为（ ）

A. 5cm B. cm C. cm D. 6cm
【答案】C
【解析】
【分析】连接，根据圆周角定理可得，再由是直径，可得，从而得到，再由勾股定理，即可求解．
【详解】解：如图，连接，

∵，
∴，
∵是直径，
∴，
∴，
∴，
∴．
故选：C
【点睛】本题主要考查了圆周角定理，直角三角形的性质，熟练掌握圆周角定理，直角三角形的性质是解题的关键．
8. 《算法统宗》中有一道题为“隔沟计算”，其原文是：甲乙隔沟放牧，二人暗里参详，甲云得乙九只羊，多你一倍之上；乙说得甲九只羊，二家之数相当，两人闲坐恼心肠，画地算了半晌．这个题目的意思是：甲、乙两个牧人隔着山沟放羊，两人都在暗思对方有多少只羊，甲对乙说：“我若得你9只羊，我的羊多你一倍．”乙对甲说：“我若得你9只羊，我们两家的羊数就一样多．”设甲有x只羊，乙有y只羊，根据题意列出二元一次方程组为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据“我若得你9只羊，我的羊多你一倍．”和“我若得你9只羊，我们两家的羊数就一样多．”为等量关系，列出方程即可求解．
【详解】解：由题意得：
，
故选：B．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，根据等量关系列出方程组是解题的关键．
9. 下列图形都是由●按照一定规律组成的，其中第①个图中共有4个●，第②个图中共有8个●，第③个图中共有13个●，第④个图中共有19个●，…，照此规律排列下去，则第⑪个图中●的个数为（ ）

A. 53 B. 64 C. 76 D. 89
【答案】D
【解析】
【分析】根据已知图形得出图n中点的个数为 ，据此可得．
【详解】解：因为图①中点的个数为，
图②中点的个数为，
图③中点的个数为，
图④中点的个数为，
……
所以图11中点的个数为，
故选：D．
【点睛】本题主要考查数字的变化规律，解题的关键是根据已知图形得出图n中点的个数为．
10. 如图，在中，，，点D是AB的中点，将沿着CD翻折到的位置，若，则（ ）

A. B. 10 C. 15 D.
【答案】C
【解析】
【分析】设相交于点O，根据直角三角形的斜边上的中线等于斜边的一半可得：，由翻折的性质得，根据平行线的性质可得，利用可得,则，根据勾股定理求出，即可得的值．
【详解】解：设相交于点O，如图所示：

在中，，，点D是AB的中点，
，
由翻折得，
，
，
在和中，
，
，
，
，
，
故选：C．
【点睛】本题考查翻折变换，直角三角形的斜边中线的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理等知识，解题的关键是熟练掌握其相关的性质．
11. 若整数a使关于x的分式方程有非负整数解，且使关于y的不等式组至少有3个整数解，则符合条件的所有整数a的和是（ ）
A. B. C. 0 D. 2
【答案】D
【解析】
【分析】先解一元一次不等式组，根据不等式组至少有3个整数解，求出a的范围，再解分式方程，根据分式方程有非负整数解，确定a的值即可解答．
【详解】解：，
解不等式①得： ，
解不等式②得：，
∴原不等式组的解集为：，
∵不等式组至少有3个整数解，
∴，
，
，
解得：，
∵分式方程有非负整数解，
∴ ，
∴0且3，
∴，
∴符合条件的所有整数a的值为：，
∴符合条件的所有整数a的和是：2，
故选：D．
【点睛】本题考查了分式方程的解，一元一次不等式组的整数解，熟练掌握解一元一次不等式组，解分式方程是解题的关键．
12. 对于多项式记为，即；若令，，即；下面几个结论正确的个数有（ ）个．
（1）存在实数x使成立，则k的取值范围是；
（2）若，则；
（3）若，则或；
（4）存在整数，使成立．
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
【答案】A
【解析】
【分析】由，得，根据，得，可判断①正确；由，得同号，可判断②错误；由，则可得或，当时，，当时，3，可判断③错误；若，可得，由y为整数，知x不是整数，可判断④错误．
【详解】解：若，则，即，
∵存在实数x使成立，
∴有实数根，即，
∴，
解得，故①正确，符合题意；
若，
∴，
∴同号，
∴或，故②错误，不符合题意；
若；
∴，
∴或，
当时，，
当时，3，
∴③错误，不符合题意；
若 ，则，
∴，
∴ ，
∴，
即，
若y为整数，则x不是整数，
∴不存在整数x、y，使成立，故④错误，不符合题意；
∴正确的有①，共1个；
故选：A．
【点睛】本题考查不等式的解集，涉及一元二次方程根的判别式，不等式，代数式的值等知识，解题的关键是掌握一元二次方程根的判别式及代数式的变形．
二、填空题（每题4分，共16分）
13. ______．
【答案】2
【解析】
【分析】先化简各式，然后再进行计算即可解答．
【详解】解：


，
故答案为：2．
【点睛】本题考查了实数的运算，零指数幂，特殊角的三角函数值，准确熟练地化简各式是解题的关键．
14. 如图，扇形以O为圆心，4为半径，圆心角，点C为的中点，连接．以C为圆心，为半径画弧，交于点D，则图中阴影部分的面积为______（结果保留π）．

【答案】π﹣2
【解析】
【分析】连接，根据等边三角形的性质得到为等边三角形，得到 ，根据勾股定理求出，根据扇形面积公式、三角形面积公式计算即可．
【详解】解：连接，
∵ ，
∴为等边三角形，
∵点C为的中点，
∴，
由勾股定理得，2，
∴图中阴影部分的面积2π﹣2，
故答案为：π﹣2．

【点睛】本题考查的是扇形面积计算，掌握扇形面积公式是解题的关键．
15. 一个不透明的口袋中有4个完全相同的小球，球上分别标有4，，0，2，随机取出一个小球后，记下数字为m后放回，再随机取出一个小球，记下数字为n，则一次函数的图像不经过第一象限的概率为______．
【答案】
【解析】
【分析】用列表法表示所有可能出现的结果，再根据概率的定义进行计算即可．
【详解】解：将标有4，﹣1，0，2四个小球中．随机取出一个小球后，记下数字为m后放回，再随机取出一个小球记下数字为n，所有可能出现的结果如下：
m的值
n的值
4
-1
0
2
4
（4，4）
（-1，4）
（0，4）
（2，4）
-1
（4，-1）
（-1，-1）
（0，-1）
（2，-1）
0
（4，0）
（-1， 0）
（0，0）
（2，0）
2
（4，2）
（-1，2）
（0，2）
（2，2）
共有16种可能出现的结果，而一次函数的图象不经过第一象限 有2种，
所以一次函数的图象不经过第一象限的概率为，
故答案为：．
【点睛】本题考查列表法或树状图法求简单随机事件的概率以及一次函数的图象和性质，列举出所有可能出现的结果是正确解答的前提，理解当时一次函数的图象不经过第一象限是解决问题的关键．
16. 秋季泡脚，睡前养生，9月份某商场从工厂进货了中药包、精油球和足浴液这三种类型的泡脚材料，数量之比为，中药包与精油球单价之比为，足浴液的单价是精油球的2倍，由于天气骤冷，足浴液销售火爆，10月份工厂对这三种泡脚材料的价格进行了调整，该商场也相应调整了进货量，相较于9月，商场采购中药包增加的费用占10月所有泡脚材料采购费用的且10月采购中药包与精油球的总费用之比为，采购精油球、足浴液增加的费用之比为，则精油球9月份与10月份的采购总费用之比为______．
【答案】##
【解析】
【分析】设9月份中药包、精油球和足溶液的进货数量分别为，中药包、精油球和足溶液的单价分别为，10月份采购中药包与精油球的总费用分别为：，根据题意，进行列式计算即可．
【详解】解：由题意，设9月份中药包、精油球和足溶液的进货数量分别为，中药包、精油球和足溶液的单价分别为，10月份采购中药包与精油球的总费用分别为：，
则9月份采购中药包、精油球和足浴液的总费用分别为，
∵相较于9月，商场采购中药包增加的费用占10月所有泡脚材料采购费用的
∴10月所有泡脚材料采购费用： ，
∴10月份采购足浴液的总费用：
，
∵采购精油球、足浴液增加的费用之比为，
∴，
∴，
∴精油球9月份与10月份的采购总费用之比为，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查三元一次方程组的综合应用，解题关键是理解题意设出相关量，根据题意得出方程组．
三、解答题（共86分）
17. 计算
（1）
（2）
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）直接利用完全平方公式以及多项式乘以多项式运算法则化简得出答案；
（2）将括号里面通分运算，再利用分式的混合运算法则计算得出答案．
【小问1详解】
原式＝

；
【小问2详解】
原式•

．
【点睛】此题主要考查了多项式乘以多项式，分式的混合运算，正确分解因式是解题关键．
18. 如图，已知点E是正方形的边上一点，连接，

（1）用不带刻度的直尺和圆规：在延长线上确定一点F，使，连接并过点A作，垂足为点M（保留作图痕迹，不写作法和证明过程）
（2）连接，证明：
证明：∵四边形为正方形
∴，
∴
∴①______
在和中
，
∴
∴，
又∵
∴③______
即
∴为等腰直角三角形
又∵④______
∴为斜边的中线
∴
即
【答案】（1）作图见解析；
（2）
【解析】
【分析】（1）作线段，再过点A作的垂线；
（2）证明，并结合直角三角形斜边上中线的性质可得结论．
【小问1详解】
解：如图所示：
【小问2详解】
证明：如图，

四边形为正方形,
∴，，
∴，
∴①，
在和中
，
∴，
∴，，
又∵，
∴③，
即，
∴为等腰直角三角形，
又∵④，
∴为斜边的中线，
∴，
即，
故答案为：．
【点睛】本题考查了正方形的性质，过直线外一点作已知直线的垂线，作一条线段等于已知线段，全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形判定与性质等知识，解题的关键是找出全等三角形．
19. 2022年八月重庆多地发生森林火灾，为提高学生应对突发事故处理能力，某校组织了关于消防安全知识的专题讲座，并进行了消防安全知识测评．现从该校八、九年级中各随机抽取20名学生的测试成绩（百分制）进行整理和分析（成绩得分用x表示，共分成四组：A．，B．，C．， D．，下面给出了部分信息：
八年级20名学生的测试成绩是：90，91，80，79，80，69，68，68，67，98，77，76，65，66，86，86，100，92，86，86．
九年级20名学生的测试成绩在C组中的数据是：84，86，87，88，86，89．
八、九年级抽取的学生测试成绩统计表
年级
平均数
中位数
众数
方差
八年级
82
83
a
79.1
九年级
82
b
92
72.6
九年级抽取的学生测试成绩扇形统计图

根据上述信息，解答下列问题：
（1）直接写出上述图表中a、b、m的值；
（2）你认为该校八、九年级中哪个年级学生掌握消防安全知识更好？请说明理由．（写出一条理由即可）；
（3）该校八九年级共有900名学生，估计两个年级测试成绩优秀的学生共有多少名？
【答案】（1）
（2）九年级学生的成绩较好，理由见解析
（3）292
【解析】
【分析】（1）根据众数、中位数的定义可求出a、b的值，再根据各组百分比之和为，可求出m的值；
（2）根据中位数、众数的大小可得答案；
（3）求出样本中八、九年级优秀所占的百分比，进而估计总体中优秀所占的百分比，进而求出相应的人数．
【小问1详解】
解：八年级学生测试成绩出现次数最多的是86分，共出现4次，
因此众数是86分，即；
九年级抽查的20名学生成绩A组2人，B组4人，C组6人，D组8人，
将20名学生成绩从小到大排列，处在中间位置两个数的平均数为，
因此中位数，即；
，
答：；
【小问2详解】
解：九年级学生的成绩较好，理由：
九年级学生的测试成绩的中位数、众数均比八年级学生成绩的中位数、众数要高，
所以九年级学生的成绩较好；
【小问3详解】
解：（名），
答：该校八九年级共有900名学生，估计两个年级测试成绩优秀的学生大约有292名．
【点睛】本题考查中位数、众数、平均数、方差以及样本估计总体，掌握平均数、中位数、众数、方差的意义以及计算方法是正确解答的前提．
20. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图像与反比例函数的图像相交于，两点．

（1）求一次函数的解析式，并在网格中画出一次函数的图像；
（2）结合图像，请直接写出不等式的解集；
（3）点C与点B关于原点对称，求的面积．
【答案】（1），一次函数的图像见解析
（2）或
（3）
【解析】
【分析】（1）将点，点代入中得解得，，则点A坐标为：，点B的坐标为，将点和代入中得，解得，，即可得一次函数解析式为：；
（2）观察函数图像，即可得不等式的解集是或；
（3）根据点C与点B关于原点对称得点C的坐标为，根据网格和勾股定理得，，，可得，即是直角三角形，即可得．
【小问1详解】
解：将点，点代入中，

解得，，
则点A的坐标为：，点B的坐标为，
将点和代入中，
，
解得，，
即一次函数解析式为：，
函数图像如下：
【小问2详解】
解：观察函数图像，不等式的解集是或；
【小问3详解】
解：∵点C与点B关于原点对称，
∴点C的坐标为，
三角形如图所示，

∵，
，
，
∴，
即是直角三角形，
∴．
【点睛】本题考查了反比例函数，一次函数，函数与不等式，三角形的面积，勾股定理，关于原点对称，解题的关键是掌握反比例函数，一次函数，函数与不等式，勾股定理．
21. 为了尽快修建一条全长米的道路，安排甲乙两队合作完成任务，最终乙队所修的道路比甲队所修的道路的两倍少米．
（1）甲乙两队各修道路多少米？
（2）实际修建过程中，乙队每天比甲队多修米，最终乙队完成任务时间是甲队完成任务时间的倍，乙队每天修建道路多少米？
【答案】（1）甲队修道路米，则乙队修道路米；
（2）乙队每天修建道路米
【解析】
【分析】（1）设甲队修道路x米，则乙队修道路米，根据题意得，进行计算即可得；
（2）设乙队每天修建道路y米，则甲队每天修建道路米，根据题意得，进行计算即可得．
【小问1详解】
解：设甲队修道路x米，则乙队修道路米，
，

，
则，
即甲队修道路米，则乙队修道路米；
【小问2详解】
解：设乙队每天修建道路y米，则甲队每天修建道路米，

解得，，
经检验，是原方程的解，且符合题意，
即乙队每天修建道路米．
【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，分式方程的应用，解题的关键是理解题意，找出等量关系，列出方程．
22. 如图，一艘位于码头C正东方向的货船D，沿着正南方向行驶120千米到达码头A处，此时测得码头B位于码头A北偏西60°方向，货船以30千米/小时的速度匀速从码头A去码头B取货，再以相同的速度将货物送往码头C，此时测得码头B位于码头C南偏西15°方向，码头A位于码头C南偏东30°方向．（忽略货船取货时间，，，）

（1）求码头A与码头C之间的距离（结果保留根号）
（2）货船能否在6小时内完成取货送货任务？请说明理由
【答案】（1）千米
（2）货船能在6小时内完成取货送货任务
【解析】
【分析】（1）根据直角三角形的边角关系可得答案；
（2）构造两个直角三角形，分别在两个含有特殊锐角的直角三角形中，求出，再根据速度、时间、路程之间的关系求出所用的时间即可．
【小问1详解】
由题意可知，千米，，
在中，千米，，
∴（千米），
答：码头A与码头C之间的距离为千米；
【小问2详解】
如图，过点B作，垂足为M，
∵，
∴，
∵，
∴，
设千米，则千米，x千米，x千米，千米，
∵千米，
即，
∴，
∴（千米），
4072（千米），
∴需要时间为：（小时），
∴货船能在6小时内完成取货送货任务，
答：货船能在6小时内完成取货送货任务．

【点睛】本题考查解直角三角形的应用，掌握直角三角形的边角关系以及特殊锐角三角函数值是正确解得的前提，构造直角三角形是解决问题的关键．
23. 材料一：如果一个正整数能表示为两个连续奇数的平方差，那我们称这个正整数为连续平方差数，若，则96是连续平方差数；
材料二：对于一个三位自然数M，去掉个位数字后成为一个两位数，去掉百位数字后成为一个两位数，若为整数，则称M是一个关于9的对称数，若，则称545是关于9的对称数．
（1）请判断56是否是连续平方差数，如果是请找出差为56的连续的两个奇数；
（2）证明任何一个连续平方差数一定是8的倍数；
（3）已知一个三位数既是连续平方差数，又是关于9的对称数，求满足条件的所有三位数．
【答案】（1）是连续平方差数
（2）见解析 （3）424，616，656，848，920，960．

【解析】
【分析】（1）根据连续平方差数的定义即可判断；
（2）设连续的两个奇数分别为，利用平方差公式展开，即可得出结论；
（3）设这个三位数为（均为小于10的自然数，且），根据两个新定义及（2）的结论，运用数的整除性得出满足条件的字母值，从而得到满足条件的所有三位数．
【小问1详解】
解：56是连续平方差数，理由如下：
，
故56是连续平方差数；
【小问2详解】
证明：设连续的两个奇数分别为，
则，
∴任何一个连续平方差数一定是8的倍数；
【小问3详解】
解：设这个三位数为（均为小于10的自然数，且），
则是整数，且是整数，a＞b，
∴满足条件的 有：
，此时三位数为424；
或 5，此时三位数为616或656；
，此时三位数为848；
,此时三位数为960；
，此时三位数为920．
综上所述，满足条件的所有三位数有424，616，656，848,920，960．
【点睛】此题考查了约数与倍数，因式分解和平方差公式的内容，根据连续平方差数的特点是解题的关键．
24. 如图1，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点B，与y轴交于点C，其对称轴是直线．

（1）求抛物线解析式；
（2）如图2，P是直线BC下方抛物线上一动点，连接PC、PB，当四边形ACPB面积最大时，y轴上有一点Q，使得的值最大，求出的最大值与此时的Q点坐标；
（3）如图3，抛物线上有一点，在（2）的条件下，将抛物线沿射线AP平移2个单位长度得到新抛物线，点D是新抛物线上一点，点F在直线CP上，是否存在以点A，D，E，F为顶点的平行四边形？若存在，请直接写出点D的横坐标，若不存在，请说明理由，
【答案】（1）
（2）的最大值为，
（3）0或或或
【解析】
【分析】（1）用待定系数法可得抛物解析式为；
（2）过P作轴交于K，作A关于y轴的对称点，连接交y轴于Q，由可得：，，即知四边形面积最大即是最大，由，知直线解析式为，设，则，可得，故当时，最大为，此时，由，A与关于y轴对称得，知，为的最大值，由可得，直线解析式是，即可得到答案；
（3）由得，由得直线解析式为，即可得，由得直线解析式为
，设，分三种情况：①以为对角线，，得或，②以为对角线，，方程组无实数解；③以为对角线，，解得或．
【小问1详解】
∵抛物线与x轴交于点，对称轴是直，
∴
解得，
∴抛物解析式；
【小问2详解】
过P作轴交于K，作A关于y轴的对称点，连接交y轴于Q，如图：

由可得：
∴为定值，四边形面积最大，即是最大，
由知直线BC解析式为，
设，则，
∴
∴，
∵，
∴当时，最大为，
此时，
由，A与关于y轴对称得，
此时为|的最大值，
由可得，直线解析式是，
∴的最大值为，
在中，令得，
∴，
答：的最大值为，；
【小问3详解】
存在以点A，D，E，F为顶点的平行四边形，理由如下：
在中，令得，
∴，
由得直线解析式为，
∴将抛物线沿射线移2个单位长度相当于把抛物线向右平移个单位，再向下平移1个单位，
∴，
由得直线解析式为，
设，又，
①以 为对角线，则中点重合，
∴，
解得或，
②以为对角线，同理得，
方程组无实数解；
③以为对角线，
∴，
解得或，
综上所述，点D的横坐标为0或或或．
【点睛】本题考查二次函数的综合应用，涉及待定系数法，三角形面积，平行四边形的性质及应用，抛物线的平移变换等，解题的关键是用含字母的代数式表示相关点的坐标和相关线段的长度，本题综合性较强，计算量较大．
25. 在等腰直角中，，，D是线段上一点，E是线段延长线上一点，连接、．

（1）如图1，若，，，求的长度；
（2）如图2，过点E作于点F，交于点G，取中点为M，过点A作交延长线于N，若平分，证明：；
（3）如图3，将点C绕点B逆时针旋转度得点P，连接、，当取最小值时，直线与交于点Q，将点Q绕点D顺时针旋转度得点，连接、．若D是中点，，，直接写出面积的最大值．
【答案】（1）；
（2）证明见解析； （3）
【解析】
【分析】（1）先根据等腰直角三角形性质与三角形内角和，得到，作，得到是等腰直角三角形，推出，，进而推出，，设，根据勾股定理求出的值，即可求出的长度；
（2）作交于点H，先证明，得到，再证明，进而得到，证明，得到，，最后由勾股定理得出，即可证明；
（3）取中点O，证明，得到，根据，从而得出点O、P、E共线时，最小，．
取中点F，连接，证明，得到，设，根据，，求得，作于H，延长至点，使得，此时即可求出面积的最大值
【小问1详解】
解：是等腰直角三角形，，
，，
，
，
，
，
，
作交于F，
，，
是等腰直角三角形，
，，
，
，
，
，
设，则，，，
由勾股定理得：，
，
解得：，（舍），
；
【小问2详解】
解：作交于点H，
，
，
是中点，
，
在和中，
，
，
，
，
，
，
，
，
平分，
，
，
，
，
，
，
，
，
在和中，
，
，
，，
，，
，
由勾股定理得：，
，
，
平分，，
，
，
即；
【小问3详解】
解：取中点O，连接，
是等腰直角三角形，
，
点C绕点B逆时针旋转度得点P，
，
，
为中点，
，
，
，
在和中，
，
，
，
，
，
点O、P、E共线时，最小，
取中点F，连接，
点D是中点，
，，
，
，
，
设，
，
，
，
，
，
，，
，
，
作于H，延长至点，使得，
，
，，
，
．

【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质等知识，作辅助线构造相似三角形是解题关键．