2023年重庆市育才中学校九年级下学期第一次自主作业数学试题

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重庆育才中学教育集团初2023届初三（下）第一次自主作业
数学试题
参考公式：抛物线（）的顶点坐标为，对称轴为直线．
一、选择题（本大题12个小题，每小题4分，共48分）在每个小题的下面，都给出了代号为A、B、C、D的四个答案，其中只有一个是正确的，请将答题卷上题号右侧正确答案所对应的方框涂黑．
1. 下列各数中的无理数是（ ）
A. B. C. 0 D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据无理数的三种形式：①开方开不尽的数；②含的代数式；③无限且不循环的小数，进行判断即可得到答案．
【详解】解：A．=2是有理数，故不符合题意；
B．是无理数，故符合题意；
C．0是有理数，故不符合题意；
D．是有理数，故不符合题意；
故选：B．
【点睛】本题主要考查了无理数的定义，熟记无理数的定义是解题的关键．
2. 在以下绿色食品、回收、节能、节水四个标志中，是轴对称图形的是（　　）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据轴对称图形的概念求解．如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴．
【详解】A．轴对称图形，故A符合题意；
B．不是轴对称图形，故B不符合题意；
C．不是轴对称图形，故C不符合题意；
D．是轴对称图形，故D不符合题意．
故选：A．
【点睛】本题主要考查轴对称图形的知识点．确定轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．

3. 计算正确的结果是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】直接利用积的乘方运算法则计算得出答案．
【详解】解：．
故选：C．
【点睛】此题主要考查了积的乘方运算，正确掌握运算法则是解题关键．
4. 如图，与是以原点O为位似中心的位似图形，且位似比为，若点B的坐标为，则点的坐标为（ ）

A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据位似变换的性质计算，得到答案．
【详解】解：∵△OAB与是以点O为位似中心的位似图形，相似比为1：2，点B的坐标为（-1，-2），
∴点C的坐标为（(-1)×(-2)，(-2)×(-2)），即点C的坐标为（2，4），
故选D．
【点睛】本题考查的是位似变换的概念和性质、坐标与图形性质，在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或-k．
5. 估计的值在（ ）
A. 1到2之间 B. 2到3之间 C. 3到4之间 D. 4到5之间
【答案】B
【解析】
【分析】根据二次根式的混合计算解答即可．
【详解】解：=
∵，
∵，
∴，
∴，
∴的值在2到3之间，
故选：B
【点睛】本题考查了估算无理数的大小，根据二次根式的混合计算解答是解题的关键．
6. 下列命题正确的是（ ）
A. 过一点有且只有一条直线与已知直线平行 B. 同旁内角互补
C. 凸多边形的外角和都等于360° D. 平分弦的直径垂直于弦
【答案】C
【解析】
【分析】根据平行的性质、凸多边形的外角和、垂径定理等知识对各项进行分析即可．
【详解】A. 过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，原说法错误，本项不符合题意；
B. 两直线平行，同旁内角互补，原说法错误，本项不符合题意；
C. 凸多边形的外角和都等于360°，正确；
D. 平分弦（该弦不是圆的直径）的直径垂直于弦，原说法错误，本项不符合题意；
故答案为：C．
【点睛】本题考查了判断命题真假的问题，掌握平行的性质、凸多边形的外角和、垂径定理等知识是解题的关键．
7. 如图，是的直径，C、D是上的点，，过点C作的切线交的延长线于点E，则等于（ ）

A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】连接，由为的切线，根据切线的性质得到，即为直角三角形，再由同弧所对的圆心角等于所对圆周角的2倍，由圆周角的度数，求出圆心角的度数，在中，利用直角三角形的两锐角互余，即可求出的度数．
【详解】解：连接，如图所示：

∵圆心角与圆周角都对，
∴，
又，
∴，
又∵为的切线，
∴，即，
则．
故选：B．
【点睛】此题考查了切线的性质，圆周角定理，以及直角三角形的性质，遇到直线与圆相切，连接圆心与切点，利用切线的性质得垂直，根据直角三角形的性质来解决问题．熟练掌握性质及定理是解本题的关键．
8. 我国古代数学名著《孙子算经》中记载了一道题，大意是：150匹马恰好拉了210片瓦，已知1匹大马能拉3片瓦，3匹小马能拉1片瓦，问有多少匹大马、多少匹小马？若设大马有x匹，小马有y匹，那么可列方程组为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】结合题意，根据二元一次方程组的性质分析，即可得到答案．
【详解】∵150匹马恰好拉了210片瓦，已知1匹大马能拉3片瓦，3匹小马能拉1片瓦，
∴
故选：D．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的知识；解题的关键是熟练掌握二元一次方程组的性质，从而完成求解．
9. 下列图形都是由同样大小的圆按一定的规律组成，其中，第①个图形中一共有2个圆；第②个图形中一共有7个圆；第③个图形中一共有16个圆；第④个图形中一共有29个圆，…，则第⑦个图形中圆的个数为（　　）

A. 67 B. 92 C. 113 D. 121
【答案】B
【解析】
【分析】分两部分：第①个图形为：，第②个图形为：，第③个图形为：，第④个图形为：，…，由此得出规律即可求解．
【详解】第①个图形为：，
第②个图形为：，
第③个图形为：，
第④个图形为：，…，
一般地，第⑦个图形为：，
故选：B．
【点睛】本题是图形规律探索问题，由特殊出发得出一般规律是解题的关键．
10. 如图，在边长为8的正方形ABCD中，点P是对角线BD上一点，连接AP并延长交CD于点F，过点P作PE⊥AF交BC于点E，连接AE；若，则AE的长为（ ）

A. 10 B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】过P作，交AD于点M，交BC于点N，根据正方形性质及求得．再证明，得到，，最后在中，运用勾股定理，求得AE的长．
【详解】解：如图，过P作，交AD于点M，交BC于点N，

∵在正方形ABCD中，点P是对角线BD上一点，
∴，
∵在正方形ABCD中，，
∴，
∵，，
∴．
∵正方形ABCD，，
∴，
∴四边形MDCN是矩形，
∴．
∵PE⊥AF，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴．
∵在正方形ABCD中，
∴，
∵矩形MDCN，
∴，
∴，
∵，
∴，即．
在与中，
∵
∴，
∴，
∵，
∴．
∵，
∴．
∵正方形ABCD，边长为8，
∴，，
∵，
∴．
故选：C．
【点睛】本题考查了正方形的性质，通过构造全等三角形和勾股定理，求得AE的长度，其中作适合的辅助线构造全等三角形，是解题的关键．
11. 如果关于x的不等式组的解集为，且关于y的分式方程有非负整数解，则符合条件的整数m的值的和是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】先分别求出两个不等式的解集，再根据不等式组的解集得到；再解分式方程，根据分式方程有非负整数解得到且，进而确定符合题意的m的值即可得到答案．
【详解】解：解不等式得，
解不等式得，
∵关于x的不等式组的解集为，
∴；

去分母得：，
去括号得：，
移项得：，
合并同类项得：，
系数化为1得：，
∵关于y的分式方程有非负整数解，
∴且，
∴且，
综上所述，且，
∴符合题意的m的值可以为，
，
故选C．
【点睛】本题主要考查了根据不等式组的解集情况求参数，根据分式方程解的情况求参数，正确解分式方程和解不等式组确定m的取值范围，进而确定m的值是解题的关键．
12. 已知点在二次函数上，其中，，……，，令，，……，；为的个位数字（n为正整数），则下列说法：
①；②；③；④的最小值为，此时；⑤的个位数字为6．
正确的有（ ）个
A. 2 B. 3 C. 4 D. 5
【答案】A
【解析】
【分析】根据题意可得，由此得，利用两个式子可判断①②，将变形为，可计算出解果进而判断③，由得，根据二次函数的性质及n为正整数可判断其最值，进而判断④，由为的个位数字，且，计算出，，，，，，，，，，……找其规律可判断⑤．
【详解】解：，则当时，，
∴，即：
当时，，故①错误；





，故②正确；
∵
∴



，故③正确；
，
当时，，当时，，
即当时，随的增大而增大，当时，随的增大而减小，
又∵为整数，
∴取得最小值，此时或，故④错误；
∵为的个位数字，且，
由此可知，，，，，，，，，，……分别为：
2，6，2，0，0，2，6，2，0，0，……
即的规律为以2，6，2，0，0，五次一循环，且这五个数相加为10，
则的个位0，且也是五次一循环，
∵，
∴，，
∴的个位为，故⑤错误；
故选：A
【点睛】本题考查了二次函数图象上的点的坐标特征及二次函数的性质，找出数字的规律是解题的关键．
二、填空题：（本大题4个小题，每小题4分，共16分）在每个小题中，请将正确答案书写在答题卡（卷）中对应的位置上．
13. 计算：_________．
【答案】1
【解析】
【分析】根据零指数幂，负整数指数幂，特殊角的三角函数值的计算方法依次计算即可．
【详解】解：

故答案为：1．
【点睛】本题考查了零指数幂，负整数指数幂，特殊角三角函数值等知识点，是一道综合计算题，也是各地中考题中常见的计算题型．
14. 一个不透明的口袋中有四个完全相同的小球，上面分别标有数字，0，2，3，随机摸取一个小球后不放回，再随机摸取一个小球，则两次取出的小球上的数字之积为正数的概率为______．
【答案】
【解析】
【分析】根据随件事件的概率，先把可能出现的结果表示出来，再用数字之积为正的结果数除以总的结果数，由此即可求出答案．
【详解】解：可能出现的结果如表所示，
第一次抽到的数

0
2

第二次抽到的数
0
2


2


0


0
2
总共有种结果，两数为正的结果有四种，分别是，，
∴，
故答案是：．
【点睛】本题主要考查的是列表法或树状图法求随机事件的概率，解题的关键是要找出所需要结果的数量与所有可能出现的结果数之间的比值．
15. 如图，以AD为直径的半圆O经过Rt△ABC的斜边AB的两个端点，交直角边AC于点E．B、E是半圆弧的三等分点，弧BE的长为，则图中阴影部分的面积为_____．

【答案】
【解析】
【分析】连接BD，BE，BO，EO，由的长为，可求出圆的半径，然后根据图中阴影部分的面积为：S△ABC-S扇形BOE，即可求解.
【详解】解：连接BD，BE，BO，EO，

∵B，E是半圆弧的三等分点，
∴∠EOA=∠EOB=∠BOD=60°，
∴∠BAC=∠EBA=30°，
∴BE∥AD，
∵的长为，
∴，解得R=2.
∴AB=ADcos30°=2，
∴BC=AB=,


∵△BOE和△ABE同底等高，
∴△BOE和△ABE面积相等，
∴图中阴影部分的面积为：S△ABC-S扇形BOE=，
故答案为：.
【点睛】本题考查扇形的面积公式，解直角三角形，勾股定理，圆周角定理的推论，添加辅助线，利用割补法求面积是关键.
16. 对任意一个四位数m，如果m各个数位上的数字都不为零且互不相同，满足个位与千位的和等于十位与百位的和，那么称这个数为“镜面数”，将一个“镜面数”个位与千位两个数位对调后得到一个新的四位数，将它的十位与百位两个数位对调后得到另一个新四位数，记．例如，对调个位与千位上的数字得到，对调十位与百位上的数字得到，这两个四位数的和为，所以．若s，t都是“镜面数”，其中，（，，，x，y，e，f都是正整数），规定：，当时，k的最大值为______．
【答案】
【解析】
【分析】根据定义得到，，由可知当取最大值，取最小值时，有最大值，当时，取最大值，此时，又由，得到，即可得到答案．
【详解】解：∵，
∴，，
∴，
，
∵，
∴，，
∴，
∴，
由可知当取最大值，取最小值时，有最大值，
当时，取最大值，
此时，
∵，
∴，
即，
则，
∵e，f都是正整数，，
∴只有当时，上式成立，
综上可知，k的最大值为．
故答案为：
【点睛】此题考查了二元一次方程和列代数式的应用，读懂题意和准确计算是解题的关键．
三、解答题（本大题7个小题，其中第23小题14分，剩余每小题10分，共74分）
17. 计算：
（1）；
（2）．
【答案】（1）
（2）
【解析】
分析】（1）根据单项式乘以多项式法则，平方差公式计算即可；
（2）根据分式混合运算顺序、运算法则计算即可．
【小问1详解】
解：原式
；
【小问2详解】
解：原式



．
【点睛】本题考查了整式的混合运算，分式的化简，掌握相关运算法则是解题的关键．
18. 如图，已知线段与直线平行，是的平分线，交直线于点E．

（1）尺规完成以下基本作图：作的垂直平分线，交于点F，连接并延长交直线于点G，（保留作图痕迹，不写作法）：
（2）在（1）的条件下，某学习小组讨论发现线段，，之间存在一定的数关系，请你根据该兴趣小组的思路完成下面的填空：
解：，理由如下，如图所示，
，
平分，① ，
② ，
在和中，

③

（ASA），④ ，
，，．
【答案】（1）见详解 （2）①，②，③，④
【解析】
【分析】（1）以A为圆心，为半径，画弧交于一点M，连接，交于点F，连接，并延长交于点G，
（2）按照题中给出的思路证明即可．
【小问1详解】
以A为圆心，为半径，画弧交于一点M，连接，交于点F，即为的垂直平分线，连接，并延长交于点G，如图，

即为的垂直平分线；
证明：，
，
平分，
，

，
根据作图可知：，
，
，
，
，
，
为的垂直平分线；
【小问2详解】
，理由如下，如图所示，
，
，
平分，
①，
，
②，
在和中，，③，
（ASA），④，
，，
．
故答案为：①，②，③，④．
【点睛】本题考查了基本作图，平行线分线段成比例，垂直平分线的判定与性质，全等三角形的判定与性质等知识，掌握平行线分线段成比例，垂直平分线的判定与性质，是解答本题的关键．
19. 2月，我校初2023届学生进行了一次体育机器模拟测试．测试完成后，为了解初2023届学生体育训练情况，在初2023届的学生中随机抽取了20名男生，20名女生的本次体育机考的测试成绩，对数据进行整理分析，并给出了下列信息：
①20名女生的测试成绩统计如下：44，47，48，45，50，49，45，50，48，49，50，50，44，50，43，50，44，50，49，45．
②抽取的20名男生的测试成绩扇形统计图如图：

性别
平均数
中位数
众数
女生
47.5
48.5
c
男生
47.5
b
49
③抽取的20名男生成绩得分用x表示，共分成五组：A：；B：；C：；D：；E：．其中，抽取的20名男生的测试成绩中，D组的成绩如下：47，48，48，47，48，48．
④抽取男生与女生的学生的测试成绩的平均数、中位数、众数如表所示：
（1）根据以上信息可以求出：a=______，b=______，c=______；
（2）结合以上的数据分析，针对本次的体育测试成绩中，你认为此次的体有测试成绩男生与女生谁更好？请说明理由（理由写出一条即可）；
（3）若初2023届学生中男生有800人，女生有750人，（规定49分及以上为优秀）请估计该校初2023届参加此次体育测试的学生中成绩为优秀的学生人数．
【答案】（1）15；48；50
（2）女生更好，理由见解析
（3）该校初2023届参加此次体育测试的学生中成绩为优秀的学生为人．
【解析】
【分析】（1）根据扇形统计图中各部分百分比之和为1可以得到a的值，求出男生每组人数，然后根据D组分数及中位数的意义可得b的值，把女生成绩从低到高排序，然后根据众数的意义可得c的值；
（2）比较男生成绩、女生成绩的平均数、中位数和众数可以得解；
（3）分别用全校男生人数和女生人数乘以各自抽测人数中的优秀占比并相加即可得解．
【小问1详解】
由题意可得：，
∴，
由已知可得男生各组人数分别如下：
A、B、C三组总人数为：，D：，E：，
∴男生成绩按照从低到高排序，排在第10和第11位的都为48，
∴，
把女生成绩从低到高排序为：43，44，44，44，45，45，45，47，48，48，49，49，49，50，50，50，50，50，50，50，
∴根据众数的意义可得，
故答案为15；48；50；
【小问2详解】
∵在本次测试中，男生成绩和女生成绩的平均数相同，女生成绩的中位数与众数都比男生成绩的中位数与众数较高，
∴此次的体育测试成绩女生更好；
【小问3详解】
由题意可得：
（人），
∴该校初2023届参加此次体育测试的学生中成绩为优秀的学生为人．
【点睛】本题考查数据处理的应用，熟练掌握平均数、中位数和众数的意义和求法、扇形统计图中各部分百分比的意义和性质、扇形统计图中部分与总体的关系、根据样本数量估计总体数量的方法是解题关键．
20. 小李从A地出发去相距4.5千米的B地上班，他每天出发的时间都相同．第一天步行去上班结果迟到了5分钟．第二天骑自行车去上班结果早到10分钟．已知骑自行车的速度是步行速度的1.5倍：
（1）求小李步行的速度和骑自行车的速度分别为多少千米每小时；
（2）有一天小李骑自行车出发，出发1.5千米后自行车发生故障．小李立即跑步去上班（耽误时间忽略不计）为了至少提前5分钟到达．则跑步的速度至少为多少千米每小时？
【答案】（1）小李步行的速度为6千米/小时，则骑自行车的速度为9千米/小时
（2）为了至少提前5分钟到达．则跑步的速度至少为千米/小时
【解析】
【分析】（1）设小李步行的速度为x千米/小时，则骑自行车的速度为千米/小时，由题意：小李从A地出发去相距4.5千米的B地上班，他每天出发的时间都相同．第一天步行去上班结果迟到了5分钟．第二天骑自行车去上班结果早到10分钟，列出分式方程，解方程即可；
（2）设小李跑步的速度为m千米/小时，由题意：出发1.5千米后自行车发生故障．小李立即跑步去上班（耽误时间忽略不计）为了至少提前5分钟到达，列出一元一次不等式，解不等式即可．
【小问1详解】
解：设小李步行的速度为x千米/小时，则骑自行车的速度为千米/小时，
由题意得：，
解得：，
经检验，是原方程的解，
则，
答：小李步行的速度为6千米/小时，则骑自行车的速度为9千米/小时；
【小问2详解】
解：小李骑自行车出发1.5千米所用的时间为（小时），
小李每天出发的时间都相同，距离上班的时间为：（小时），
设小李跑步的速度为m千米/小时，由题意得：，
解得：，
答：为了至少提前5分钟到达．则跑步的速度至少为千米/小时．
【点睛】本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，列出分式方程；（2）找出数量关系，列出一元一次不等式．
21. 如图，一货船从港口A出发，以40海里/小时的速度向正北方向航行，经过1小时到达B处，测得小岛C在B的东北方向，且在点A的北偏东方向．（参考数据：，，，，）

（1）求的距离（结果保留整数）；
（2）由于货船在B处突发故障，于是立即以30海里/小时的速度沿赶往小岛C维修，同时向维修站D发出信号，在D处的维修船接到通知后立即准备维修材料，之后以50海里/小时的速度沿前往小岛C，已知D在A的正东方向上，C在D的北偏西方向，通知时间和维修船准备材料时间一共6分钟，请计算说明维修船能否在货船之前到达小岛C．
【答案】（1）的距离为77海里
（2）维修船能在货船之前到达小岛C
【解析】
【分析】（1）过C作交延长线于M，由题意可得，设，则，通过勾股定理和三角函数进行列方程求解即可；
（2）结合三角函数和平行线的性质进行求解并比较即可得到解答．
【小问1详解】
过C作交延长线于M，

由题意得，海里，
由题意得，在中，，
∴，
设 ，则，
在中，，
∴，
解得，
∴海里，
在中，，
∴海里；
【小问2详解】
∵海里，
∴海里，
∵，
∴，
∴，
∴海里，
∵，，
∴，
∴，
∴海里，
货船从B到C用时：（小时），
∵6分钟小时，
∴（小时）
∴（海里），
∵（海里），
∴能在货船之前到达小岛C．
【点睛】本题考查了三角函数的综合、勾股定理的应用、分式方程的应用和平行线的性质，灵活运用所学知识求解是解决本题的关键．
22. 如图，矩形的周长为，将对角线绕点A顺时针方向旋转得到线段，连接，设边（），的面积为．

（1）求y与x的函数关系式：
（2）下表列出了部分点，先直接写出m的值为_______，并在图2中利用描点法画出此函数图象；
x
1
2
3
4
5
6
y
41
34
29
26
25
m

（3）结合图象，指出在x的变化过程中，y的最小值为_______；并写出在整个变化过程中，点E到直线的最小距离为_______．
【答案】（1）：
（2）26，图见解析 （3）25，
【解析】
【分析】（1）设边，由矩形的周长为求出，由勾股定理得到，由旋转性质得到，，即可得到y与x的函数关系式：
（2）由函数解析式即可得到m的值，用描点法画出函数图像即可；
（3）图象得到最低点的纵坐标即是y的最小值；作交的延长线于点H，先证明，则,由题意得到,则，即可得到点E到直线的最小距离．
【小问1详解】
解：∵矩形的周长为，
∴，
设边，则，
∴，
∵对角线绕点A顺时针方向旋转得到线段，
∴，，
∴的面积为，
即y与x的函数关系式为：
【小问2详解】
当时，，
即，
图像如下：

故答案为：26
【小问3详解】
解：由图象可知，在x的变化过程中，当时，y取得最小值为25，
如图，作交延长线于点H，则，

∵，,
∴，
∵，,
∴，
∴,
∵，
∴，
∵，
∴,
∴，
即点E到直线的最小距离为．
【点睛】此题考查了二次函数图象和性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理、矩形的性质、旋转的性质等知识，熟练掌握相关知识并灵活应用是解题的关键．
23. 如图1，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴分别交于A、B两点，与y轴交于点C，连接，其中，．

（1）求抛物线的解析式：
（2）点P是直线上方抛物线上一点，过点P作轴交于点E，作轴交于点F，求的最小值，及此时点P的坐标；
（3）如图2，x轴上有一点，将抛物线向x轴正方向平移，使得抛物线恰好经过点Q，得到新抛物线y1，点D是新抛物线与原抛物线的交点，点E是直线上一动点，连接，当是以为腰的等腰三角形时，直接写出所有符合条件的点E的坐标．
【答案】（1）
（2）最小值为，点；
（3）或或或．
【解析】
【分析】（1）用待定系数法求函数解析式即可；
（2）设，则，，由题意可得，则，当时，最小，此时；
（3）先求平移后的抛物线解析式为，联立方程组，可得，设，分和两种情况，分别求解点E的坐标即可．
【小问1详解】
解：将，代入得，
，
解得：，
∴抛物线解析式为；
【小问2详解】
解：∵令中y＝0，
则解得：，，
∴，
∴，
设，代入，，
∴，
解得：，
∴，
设，则，，
∴，
∵轴，轴，
∴，，
∴，
∴，
∴，
而，
∵，，，
∴当时，最小，最小值为，
当时，，
∴点；
【小问3详解】
解：，
设平移后的抛物线解析式为，
∵平移后抛物线经过，
∴，
解得或（舍），
∴平移后的抛物线解析式为，
联立方程组，
解得，
，
设，
，
①当时，，
解得或，
当时，，
当时，，
∴点的坐标是或；
②当时，，
解得或，
当时，，
当时，，
∴点的坐标是或；
综上所述：E点坐标为或或或．
【点睛】本题考查二次函数的图象及性质、相似三角形的判定和性质、待定系数法、二次函数图象的平移、解一元二次方程、勾股定理等知识，分类讨论和数形结合是解题的关键．
四、解答题（本大题1个小题，12分）请把答案写在答题卷上对应的空白处，解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤．
24. 在中，，，D为上一点．

（1）如图1，过C作于E，连接．若AD平分，，求的长；
（2）如图2，以为直角边，点C为直角顶点，向右作等腰直角三角形，将绕点C顺时针旋转（），连接，取线段的中点N，连接．求证：；
（3）如图3，连接，将沿翻折至处，在上取点H，连接，过点F作交于点Q，交于点G，连接，若，，当取得最小值时，求的面积．
【答案】（1）
（2）见解析 （3）
【解析】
【分析】（1）过D作于F，根据角平分线的性质得出，证明是等腰直角三角形，求出，，BC的长度，也是等腰直角三角形，求出BE的长，再求出EF的长，用勾股定理求出DE即可；
（2）延长MC至点G，使得，连接AG，证明，，N是线段AM的中点，利用三角形的中位线的性质得出，即可证明．
（3）连接，过点F作于点P，交于点S，则垂直平分，再证明是等腰直角三角形，再证得，可得，从而得到，，可得得到是等边三角形，，
∴点G在以为直径的圆上，取的中点O，连接，交圆O于点G，则此时最小，过点G作于点T，则，再由等边三角形的性质和直角三角形的性质可得，，然后根据三角形的面积公式求出面积即可．
【小问1详解】
解：如图，过D作于F，

∵AD平分，，，，
∴，
∵中，，，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∵，
∴是等腰直角三角形，
∴，，
∴，
∵，，
∴是等腰直角三角形，
∴，，
∴，
∵在中，由勾股定理得，
∴．
【小问2详解】
解：延长至点G，使得，连接，

∵是等腰直角三角形，
∴，
∴，
∵，，
∴，
又∵，
∴，
∴，
又∵，N是线段AM的中点，
∴是的中位线，
∴，
∴．
【小问3详解】
解：如图，连接，过点F作于点P，交于点S，则垂直平分，

∵，即，
∴，
∴，
∵，，
∴，，
∴是等腰直角三角形，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
由折叠的性质得：，
∴，
∴，
∴，
∴是等边三角形，
∵，即，
∴点G在以为直径的圆上，
取的中点O，连接，交圆O于点G，则此时最小，过点G作于点T，则，

∴，
∴，，
∴，
∴，
∴的面积为．
【点睛】本题考查三角形的全等的判定和性质，三角形相似的判定和性质，等腰三角形的性质，图形翻折变换的性质，圆周角定理等，正确画出辅助线及熟练掌握几何相关知识点是解答本题的关键．