重庆市西南大学附属中学校2022-2023学年九年级上学期12月月考数学试题

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重庆西南大学附属中学2022-2023学年上学期九年级12月
月考试题
一、选择题：（每小题3分，共36分）
1. 下列标志中，是轴对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据轴对称图形的定义：如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，那么这样的图形就叫做轴对称图形，进行判断即可．
【详解】解：A、不是轴对称图形，故不符合题意；
B、不是轴对称图形，故不符合题意；
C、是轴对称图形，故符合题意；
D、不是轴对称图形，故不符合题意．
故选：C
【点睛】本题考查了轴对称图形的识别，解本题的关键在寻找对称轴，使图形两部分沿对称轴折叠后可重合．
2. 下列调查中，适宜采用普查方式的是（　　）
A. 调查全国中学生心理健康现状
B. 调查一片试验田里五种大麦的穗长情况
C. 要查冷饮市场上冰淇淋的质量情况
D. 调查你所在班级的每一个同学所穿鞋子的尺码情况
【答案】D
【解析】
【详解】分析：根据普查得到的调查结果比较准确，但所费人力、物力和时间较多，而抽样调查得到的调查结果比较近似判断即可．
详解：A、了解全国中学生心理健康现状调查范围广，适合抽样调查，故A错误；
B、了解一片试验田里五种大麦的穗长情况调查范围广，适合抽样调查，故B错误；
C、了解冷饮市场上冰淇淋的质量情况调查范围广，适合抽样调查，故C错误；
D、调查你所在班级的每一个同学所穿鞋子的尺码情况，适合全面调查，故D正确；
故选D．
点睛：本题考查的是抽样调查和全面调查的区别，选择普查还是抽样调查要根据所要考查的对象的特征灵活选用，一般来说，对于具有破坏性的调查、无法进行普查、普查的意义或价值不大．
3. 如图是由4个相同的小正方体组成的立体图形，它的主视图是（　　）

A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】找到从正面看所得到的图形即可，注意所有的看到的棱都应表现在主视图中．
【详解】解：从正面看易得第一层有3个正方形，第二层右上有1个正方形.
故选B.
【点睛】本题考查了三视图的知识，主视图是从物体的正面看得到的视图
4. 若y轴负半轴上的点P到x轴的距离为2，则点P的坐标为（　　）
A. （0，2） B. （2，0） C. （﹣2，0） D. （0，﹣2）
【答案】D
【解析】
【分析】点P在y轴上则该点横坐标为0，据此解答即可．
【详解】∵y轴负半轴上的点P到x轴的距离为2，
∴点P的坐标为（0，﹣2）．
故选：D．
【点睛】本题考查了点的坐标，解决本题的关键是掌握好坐标轴上的点的坐标的特征，y轴上的点的横坐标为0．
5. 为了了解某市参加中考的名学生的体重情况，抽查了其中1600名学生的体重进行统计分析．下列叙述正确的是（ ）
A. 名学生是总体 B. 名学生的体重是总体的一个样本
C. 每名学生是总体的一个个体 D. 样本容量是名
【答案】B
【解析】
【分析】根据总体、个体、样本、样本容量的概念进行逐项判断即可．
【详解】解：A、名学生的体重是总体，原叙述错误，不符合题意；
B、名学生的体重是总体的一个样本，原叙述正确，符合题意；
C、每名学生的体重是总体的一个个体，原叙述错误，不符合题意；
D、样本容量是，原叙述错误，不符合题意，
故选：B．
【点睛】本题考查总体、个体、样本、样本容量的概念，理解总体是指考查对象的全体，个体是总体中的每一个考查的对象，样本是总体中所抽取的一部分个体，而样本容量则是指样本中个体的数目．解决此类问题的关键是明确考查的对象，总体、个体、样本的考查对象是相同的，所不同的是范围的大小，样本容量是样本中包含的个体的数目，不能带单位．
6. 已知点，，点C在y轴上，且的面积为9，则点C的坐标为（ ）
A. B. 或 C. D. 或
【答案】B
【解析】
【分析】根据、两点的坐标，求出线段的长度，根据点特征设出点坐标，然后利用面积列出一个方程，从而求得点的坐标．
【详解】解：如图，设．

，，
，轴，
，
或，
或．
故选：．
【点睛】本题考查三角形的面积，坐标与图形性质，三角形的面积等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题，属于中考常考题型．
7. 如果一组数据6，7，，9，5的平均数是，那么这组数据的中位数为（ ）
A. 3 B. 7 C. 5 D. 6
【答案】D
【解析】
【分析】直接利用平均数的求法，得出一元一次方程，解出即可得出的值，再利用中位数的定义求出答案．
【详解】解：∵一组数据6，7，，9，5的平均数是，
∴，
解得：，
则从大到小排列为：3，5，6，7，9，
∴这组数据的中位数为：．
故选：D．
【点睛】本题考查了中位数以及平均数，正确得出的值是解本题的关键．
8. 如图，如果外一点O满足，，，那么的大小是（ ）

A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据等腰三角形等边对等角和三角形的内角和定理求得即可．
【详解】解：∵，，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵在中，，
∴，
∴，
∴．
故选：C．
【点睛】本题考查等腰三角形的性质、三角形的内角和定理，熟练掌握等腰三角形的等边对等角性质是解答的关键．
9. 估计的值应在（ ）
A. 10和11之间 B. 9和10之间 C. 8和9之间 D. 7和8之间
【答案】A
【解析】
【分析】先根据二次根式的运算法则，进行计算，再根据估算，进行判断即可．
【详解】解：
；
∵
∴，；
故选A．
【点睛】本题考查二次根式的混合运算，以及无理数的估算．熟练掌握二次根式的运算法则，是解题的关键．
10. 如图，△ABC和△DCE都是等边三角形，点B、C、E在同一条直线上，BC=1，CE=2，连接BD，则BD的长为（　　）

A. 3 B. 2 C. 2 D.
【答案】D
【解析】
【分析】作DF⊥CE于F，构建两个直角三角形，运用勾股定理逐一解答即可．
【详解】过D作DF⊥CE于F，根据等腰三角形的三线合一，得：CF=1，
在直角三角形CDF中，根据勾股定理，得：DF2=CD2-CF2=22-12=3，
在直角三角形BDF中，BF=BC+CF=1+1=2，
根据勾股定理得：BD=，
故选D.

【点睛】本题考查了等边三角形的性质，勾股定理等，正确添加辅助线、熟练应用相关的性质与定理是解题的关键.
11. 若实数使关于的分式方程有正整数解，且使关于的不等式组无解，则满足条件的所有整数的和是（ ）
A. 0 B. 3 C. 5 D. 8
【答案】C
【解析】
【分析】首先解出分式方程，得出，再根据分式有意义的条件，得出，再根据题意，得出且，然后分别解出不等式，再根据关于的不等式组无解，得出，解出即可得出，综合得出且，再根据为正整数，得出取、、，然后相加即可得出答案．
【详解】解：
分式两边同乘以，可得：，
移项、合并同类项，可得：，
系数化为1，可得：，
∵，
∴，
∵分式方程有正整数解，
∴，且，
∴且，
，
解不等式，可得：，
解不等式，可得：，
∵关于的不等式组无解，
∴，
解得：，
∴综合可得：且，
又∵为正整数，
∴取、、，
∴满足条件的所有整数的和是．
故选：C
【点睛】本题考查了解一元一次不等式组，解分式方程，考核学生的计算能力，解分式方程时一定要检验．
12. 如图，在中，和的平分线，相交于点，交于，交于，过点作于，下列几个结论：
①平分 ② ③当时，；
④若，，则．其中正确的有（ ）

A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
【答案】D
【解析】
【分析】过分别作交于点、交，根据角平分线的性质得到 ，证明即可判定①正确；由角平分线的定义、三角形的内角和定理得与的关系，判定②正确；在上取一点，使，证，得，再证，得，判定③正确；过作于点，于点，由三角形的面积证得④正确；即可得出结论．
【详解】解：①过分别作交于点、交，

，
平分， 平分，
，，
，
，，
（HL），
，
平分，故①正确；
②和平分线相交于点，
，，
故②正确；
③，
，
，分别是与的平分线，
，
，
，
，
如图，在上取一点，使，连接，

是的角平分线，
，
在和中，
，
，
，
，
，
在和中，
，
，
，
，故③正确；
④过作于点，于点，

和的平分线相交于点，
点在的平分线上，
，

，故④正确．
故选：D．
【点睛】本题考查了三角形内角和定理，角平分线的定义与性质，三角形外角的性质，三角形全等的判定与性质以及角平分线的性质与判定等知识，正确作出辅助线证得是解题的关键．
二、填空题：（每小题3分，共18分）
13. 的算术平方根是 _____．
【答案】2
【解析】
【分析】根据算术平方根的运算法则，直接计算即可.
【详解】解：∵，的算术平方根是2，
∴的算术平方根是2．
故答案为：2
【点睛】此题考查了求一个数的算术平方根，这里需注意：的算术平方根和的算术平方根是完全不一样的；因此求一个式子的平方根、立方根和算术平方根时，通常需先将式子化简，然后再去求，避免出错．
14. 在平面直角坐标系中，点向右平移3个单位再向下平移5个单位后得到点，已知点在第一象限，则的取值范围为__________．
【答案】
【解析】
【分析】先根据点的平移规则，确定的坐标，再根据第一象限的点的符号特征：，列出不等式组，进行求解即可．
【详解】解：点向右平移3个单位再向下平移5个单位后得到点
则：，即：，
∵点在第一象限，
∴，解得：；
故答案为：．
【点睛】本题考查坐标系下点的平移，象限点的符号特征，以及解一元一次不等式组．熟练掌握坐标系下点的平移规律：左减右加，纵不变；上加下减，横不变，是解题的关键．
15. 现有四张正面分别标有数字﹣1，1，2，3的不透明卡片，它们除数字外其余完全相同，将它们背而面朝上洗均匀，随机抽取一张，记下数字后放回，背面朝上洗均匀，再随机抽取一张记下数字，前后两次抽取的数字分别记为m，n，则点P（m，n）在第二象限的概率为__________．
【答案】
【解析】
【分析】画树状图展示所有16种等可能的结果数，利用第二象限内点的坐标特征确定点P（m，n）在第二象限的结果数，然后根据概率公式求解．
【详解】解：画树状图为：

共有16种等可能结果数，其中点P（m，n）在第二象限的结果数为3，
所以点P（m，n）在第二象限的概率＝．
故答案为：．
【点睛】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后利用概率公式计算事件A或事件B的概率．也考查了点的坐标．
16. 如图，在矩形ABCD中，AB＝5，AD＝3，动点P满足3S△PAB＝S矩形ABCD，则点P到A、B两点距离之和PA＋PB的最小值为________．

【答案】
【解析】
【分析】根据3S△PAB＝S矩形ABCD求出三角形的高，确定点P的范围，在用“将军饮马”的解题思想进行解答即可．
【详解】，
设△ABP的高为h，
∵3S△PAB＝S矩形ABCD，
∴，即：，
∴，

在AD上确定点M，使AM=2，在BC上确定点N，使BN=2，连接MN，则点P在MN上．
作点A关于MN的对称点，连接，交MN于点P，此时PA+PB最小．
∵点A和点关于MN对称，
∴PA=，AM==2，则，
∴PA+PB=+PB=，
在中，由勾股定理得：，
∴PA+PB最小值为，
故答案为：
【点睛】本题主要考查了勾股定理和轴对称的性质，熟练地掌握轴对称的性质，构建直角三角形并用勾股定理求解是解题的关键．
17. 如图，在中，，，．点是上的点，且，点和点分别是边和边上的两点，连接．将沿折叠，使得点恰好落在上的点处，与交于点，则的长为__________．

【答案】
【解析】
【分析】根据勾股定理，得出，再根据，，得出，再根据勾股定理，得出，再根据折叠的性质，得出，，，然后设，则，再根据勾股定理，得出，解出即可得出，再根据勾股定理，即可得出的长．
【详解】解：∵，，，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
在中，
，
∵沿折叠，使得点恰好落在上的点处，
∴，，，
设，则，
在中，
∵，
∴，
解得：，
∴，
在中，
．
故答案为：
【点睛】本题考查了勾股定理、折叠的性质，解本题的关键在应用勾股定理列出方程解决问题．
18. 双期间，超市以元/袋、元/袋、元/袋的价格购进板栗、核桃、腰果三种干果若干袋．计划分别以元/袋、元/袋、元/袋的价格售出．第一天三种干果都卖出了若干袋；第二天卖出的板栗数量是第一天板栗数量的3倍，卖出的核桃数量是第一天的4倍，卖出的腰果数量是第一天的2倍；第三天卖出的板栗数量是前两天卖出板栗总数量的，卖出的核桃数量和第一天一样多，卖出的腰果是三天卖出腰果总数的．若第三天三种干果的销售额比第一天多2250元，三天共盈利2920元，则超市购进这一批干果共用______元．
【答案】
【解析】
【分析】设第一天三种干果板栗、核桃、腰果的销售量分别为，，，根据题意，分别用，，表示出后两天的三种干果的销售量，然后列出关于，，的方程组，再由，，都是正整数分别求得，，值即可解答．
【详解】解：设第一天三种干果板栗、核桃、腰果的销售量分别为，，，则第二天销售量分别为，，，第三天销售量分别为，，，
根据题意，得：
整理，得，
由①得：，代入②中，
得，即，
∵，，是正整数，
∴，，，
∴超市购进这一批干果共用（元），
故答案为：．
【点睛】本题考查三元一次方程组的应用，理解题意，正确列出方程组，利用，，为正整数求解是解答的关键．
三、解答题（共96分）
19. 计算
（1）
（2）
（3）
（4）
【答案】（1）
（2）
（3）
（4）
【解析】
【分析】（1）首先把除法转化为乘法，再根据乘法运算律，结合二次根式的乘法法则，计算即可；
（2）根据有理数的乘方、绝对值和去括号法则化简各式，然后合并即可；
（3）首先根据负整数指数幂的法则、二次根式的性质、绝对值的意义化简各式，然后利用平方差公式对分母有理化，再进行合并即可；
（4）根据平方差公式变形，然后再利用完全平方公式展开，再去括号计算即可．
【小问1详解】
解：





；
【小问2详解】
解：

；
【小问3详解】
解：



；
【小问4详解】
解：




．
【点睛】本题考查了二次根式的混合运算、有理数的乘方、绝对值、完全平方公式、平方差公式，解本题的关键在熟练掌握二次根式的运算法则．
20 计算
（1）
（2）
（3）
（4）
【答案】（1）
（2）
（3）
（4）
【解析】
【分析】（1）首先根据二次根式的加减法法则计算即可；
（2）首先根据二次根式的乘法运算法则计算即可；
（3）首先根据二次根式的乘法法则计算即可；
（4）根据二次根式的乘除法法则计算即可．
【小问1详解】
解：



；
【小问2详解】
解：



；
【小问3详解】
解：


；
【小问4详解】
解：





．
【点睛】本题考查了二次根式的混合运算，解本题的关键在熟练掌握二次根式的运算法则．
21. 解方程
（1）
（2）
【答案】（1）
（2），
【解析】
【分析】（1）首先移项、方程两边同乘以，然后方程两边开立方，计算即可；
（2）首先去分母、移项，然后方程两边开平方，计算即可．
【小问1详解】
解：
移项、可得：，
方程两边同乘以，可得：，
方程两边开立方，可得：，
∴；
【小问2详解】
解：
去分母，可得：，
移项，可得：，
方程两边开平方，可得：，
于是得：或，
∴，．
【点睛】本题考查了解一元二次方程、立方根定义、平方根的定义，根据方程的特点灵活运用合适的方法求解是解本题的关键．解一元二次方程的基本思路是：将二次方程转化为一次方程，即降次．
22. 化简求值，其中，．
【答案】，
【解析】
【分析】先计算括号内的分式的减法运算，再把除法转化为乘法运算，约分后得到化简的结果，再将a、b的值代入，利用分式除法计算即可．
【详解】解：




，
∵，，
∴原式．
【点睛】本题考查了分式的化简求值、分式除法，解本题的关键是根据分式混合运算法则，正确化简分式．
23. 在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC于点D．
（1）尺规作图：作边AB的垂直平分线EF，分别与线段AB、AC，AD交于点E、F，G，（不写作法，保留作图痕迹）
（2）连接BG、CG，若AG＝1，∠BAC＝45°，求BGC的面积．

【答案】（1）作图见详解；（2）S△BGC=．
【解析】
【分析】（1）以A、B两点为圆心，大于为半径画弧，两弧交于两点，过两弧的交点作直线EF，交AB于E，交AC于F，交AD于G，则直线EF为AB的垂直平分线；
（2）由AB＝AC，AD⊥BC于点D，可得AD为BC的垂直平分线，由EF为AB的垂直平分线，可得点G为△ABC的外接圆的圆心，作以点G为圆心，AG为半径作辅助圆，可得AG=BG=CG=1，由∠BAC＝45°，圆周角定理得∠BGC=2∠BAC＝2×45°=90°，可求S△BGC=．
【详解】解：（1）以A、B两点为圆心，大于为半径画弧，两弧交于两点，过两弧的交点作直线EF，交AB于E，交AC于F，交AD于G，则直线EF为AB的垂直平分线；

（2）∵AB＝AC，AD⊥BC于点D，
∴AD为BC的垂直平分线，
又∵EF为AB的垂直平分线，
∴点G为△ABC的外接圆的圆心，
以点G为圆心，AG为半径作辅助圆，
∴AG=BG=CG=1，
∵∠BAC＝45°，
∴∠BGC=2∠BAC＝2×45°=90°，
∴△BGC为等腰直角三角形，
S△BGC=．

【点睛】本题考查等腰三角形的性质，线段垂直平分线的性质，三角形外接圆，圆周角定理，等腰直角三角形的判定与面积，掌握等腰三角形的性质，线段垂直平分线的性质，三角形外接圆，圆周角定理，等腰直角三角形的判定与面积是解题关键．
24. 为引导学生知史爱党、知史爱国，西南大学附属中学组织全校学生进行“党史知识”竞赛，该校学生处随机抽取部分学生的竞赛成绩进行统计，将成绩分为四个等级：优秀、良好、一般、不合格，并绘制成两幅不完整的统计图．

根据以上信息，解答下列问题：
（1）学生处一共随机抽取了_______名学生的竞赛成绩；在扇形统计图中，表示“一般”的扇形圆心角的度数为__________；
（2）将条形统计图补充完整：
（3）该校共有2400名学生，估计该校大约有多少名学生在这次竞赛中成绩优秀？
（4）学生处决定从本次竞赛成绩前四名学生甲、乙、丙、丁中，随机抽取2名同学参加全市“党史知识”竞赛，请用树状图或列表法求恰好选中甲和乙的概率．
【答案】（1）40，
（2）估计该校大约有600名学生在这次竞赛中成绩优秀
（3）见解析 （4）
【解析】
【分析】（1）根据良好学生数与比例可得抽取的学生人数；利用抽取总数减去各个等级的人数可得成绩“一般”的人数，然后除以抽取总人数乘以即可得；
（2）根据（1）中计算可得“一般”的学生人数为12名，补充完整条形统计图即可；
（3）用总人数乘以优秀学生在抽取学生数中的比例即可；
（4）根据列树状图的方法，作出图象，然后求概率即可．
【小问1详解】
学生处一共随机抽取的学生人数为：（名），
则在条形统计图中，成绩“一般”的学生人数为：（名），
∴在扇形统计图中，成绩“一般”的扇形圆心角的度数为：，
故答案为：40，；
【小问2详解】
把条形统计图补充完整如下；
【小问3详解】
（名），
答：估计该校大约有600名学生在这次竞赛中成绩优秀；
【小问4详解】
画树状图如图：

共有12种等可能的结果，恰好选中甲和乙的结果有2种，
∴恰好选中甲和乙的概率为．
【点睛】题目主要考查条形及扇形统计图，通过树状图或列表法求概率，理解题意，熟练掌握这些知识点是解题关键．
25. 如果一个自然数N的个位数字不为0，且能分解成A×B，其中A与B都是两位数，A的十位数字比B的十位数字大2，A、B的个位数字之和为10，则称数N为“美好数”，并把数N分解成的过程，称为“美好分解”．例如：∵，61的十位数字比49的十位数字大2，且61、49的个位数字之和为10，∴2989是“美好数”；又如：∵，35的十位数字比19的十位数字大2，但个位数字之和不等于10，∴605不是“美好数”．
（1）判断525，1148是否是“美好数”？并说明理由；
（2）把一个大于4000的四位“美好数”N进行“美好分解”，即分解成，A的各个数位数字之和的2倍与B的各个数位数字之和的和能被7整除，求出所有满足条件的N．
【答案】（1）525是“美好数”，1148不是“美好数”，理由见解析
（2）或5561或7081
【解析】
【分析】（1）根据新定义进行判断即可求解；
（2）根据题意设，其中，x，y为整数，根据A的各个数位数字之和的2倍与B的各个数位数字之和的和能被7整除，得出或18，然后分类讨论列出二元一次方程，解方程即可求解．
【小问1详解】
∵．35的十位数字比15的十位数字大2．个位数学之和等于10
∴525是“美好数”；
∵．41的十位数字比28的十位数字大2，但个位数字之和不等于10
∴1148不是“美好数”．
【小问2详解】
∵N为大于4000的四位“美好数”
∴设．
其中，x，y为整数
由题意得被7整除
即为整数
∴为整数
∵
∴
∴或21
即或18．
①当时
∵．且x，y为整数
∴或
∴或
∴或556
②当时
∵，且x，y为整数
∴
∴
∴
综上所述：或5561或7081．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，理解新定义是解题的关键．
26. 已知∶如图1，点D在外，，，射线与的边交于点H，，垂足为E，．

（1）若，，求的长；
（2）求证：；
（3）如图2，若，，点F在线段上，且，点M、N分别是射线、上的动点，在点M、 N运动的过程中，请判断式子的值是否存在最小值，若存在，请求出这个最小值；若不存在，写出你的理由．
【答案】（1）2； （2）见详解；
（3）存在，的最小值是4；
【解析】
【分析】（1）先证明是直角三角形，然后由直角三角形的性质，即可求出的长度；
（2）作，证明，再证明四边形是正方形，进而命题得证；
（3）作点E关于的对称点V，作点F关于的对称点R，连接，交于N，于M，证明是等边三角形，进一步得出的最小值．
【小问1详解】
解：∵，，
∴，
∵，
∴，
∴是直角三角形，
∵，
∴；
【小问2详解】
证明：如图1，作于F，

在和中，
，
∴，
∴，，
∵，，
∴，
∴，
∴四边形是矩形，
∴矩形是正方形，
∴，
∴；
【小问3详解】
解：如图2，

作点E关于的对称点V，作点F关于 的对称点R，连接，交于N，于M，
∴，，，，，，
∴，
∴是等边三角形，
∴，
此时．
【点睛】本题考查了等腰三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，轴对称的性质等知识，解决问题的关键是熟练掌握“将军饮马”模型及变形模型．