精品解析：陕西省商洛市镇安中学2023届高三下学期模拟考文科数学试题（解析版）

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2023届高三模考·文科数学试卷考生注意：1.本试卷共150分､考试时间120分钟.2.请将试卷答案填在答题卷上.3.本试卷主要考试内容：高考全部内容.一､选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知为虚数单位，则（    ）A.  B.  C.  D. 【答案】D【解析】【分析】根据复数除法法则直接计算.【详解】由题意得，.故选：D2. 已知集合，则（    ）A.  B. C.  D. 【答案】B【解析】【分析】解集合对应不等式可化简集合A，后由集合并集定义可得答案.【详解】由题意得，则.故选：B3. 已知，则（    ）A.  B.  C.  D. 【答案】A【解析】【分析】 先通过诱导公式解出，然后通过二倍角公式即可解.【详解】由，知，则.故选：A4. 已知向量，且，则（    ）A.  B.  C.  D. 【答案】A【解析】【分析】利用平面向量的坐标运算，即可计算出答案.【详解】，又，知，即.故选：A5. 自1950年以来，每年于4月7日庆祝世界卫生日，旨在引起世界各国人民对卫生､健康工作的关注，提高人们对卫生领域的素质和认识，强调健康对于劳动创造和幸福生活的重要性.为了让大家了解更多的健康知识，某中学组织三个年级的学生进行日常卫生知识竞赛，经统计，得到前200名学生分布的饼状图（如图1）和前200名学生中高一学生排名分布的频率条形图（如图2），则下列说法错误的是（    ）  A. 成绩在前200名的学生中，高一人数比高二人数多30B. 成绩在第1~50名的学生中，高三最多有32人C. 高一学生成绩在第101~150名的人数一定比高三学生成绩在第1~50名的人数多D. 成绩在第51~100名的学生中，高二人数比高一人数多【答案】D【解析】【分析】由饼状图可计算出高一年级共90人，高二年级共60人，高三年级共50人，再由高一学生排名分布的频率条形图可计算出各排名段中高一年级学生的人数，由此即可判断出答案.【详解】由饼状图可知，成绩在前200名的学生中，高一人数比高二人数多，A正确；成绩在第名的学生中，高一人数为，因此高三最多有32人，B正确；由条形图知高一学生的成绩在第名的人数为，而高三的学生成绩在第名的人数最多为人，故高一学生的成绩在第名的人数一定比高三的学生成绩在第名的人数多，C正确；成绩在第名的学生中，高一人数为，高二成绩在第名的人数最多为，即成绩在第51~100名的学生中，高一的人数一定比高二的人数多，错误.故选：D6. “”是“”的（    ）A. 必要不充分条件 B. 充分不必要条件C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件【答案】B【解析】【分析】利用命题的充分性和必要性进行判断即可.【详解】当时，，即，充分性成立；当时，，必要性不成立.故“”是“”的充分不必要条件.故选：B7. 已知是两个不同的平面，是三条不同的直线，下列说法正确的是（    ）A. 若，则B. 若，则C. 若，则D. 若，则【答案】D【解析】【分析】利用线面平行的性质定理，面面平行的判定定理，线面垂直的判定定理和性质定理即可逐个选项判断.【详解】对于A项，若，则直线可以平行，也可以异面，所以A错误；对于B项，若，可以得到平行或异面或相交，所以B错误；对于C项，若，与可以平行，也可以相交，所以C错误；对于D项，若，则直线与平面内的所有直线都垂直，又与平面内的所有直线都垂直，根据线面垂直的定义可得，故D正确.故选：D8. 若且，且，则（    ）A. 2 B.  C. 3 D. 【答案】A【解析】【分析】根据题意写出，并利用对数换底公式进行化简计算，再计算即可.【详解】由题意得，所以.故选：A.9. 某市数学考试试卷解答题评阅采用“双评+仲裁”方式，规则如下：两名老师独立评分，称为“一评”和“二评”，当两者所评分数之差的绝对值小于或等于1时，取两者平均分为该题得分；当两者所评分数之差的绝对值大于1时，再由第三位老师评分，称之为“仲裁”，取仲裁分数和一､二评中与之接近的分数的平均分为该题得分；当一､二评分数和仲裁分数差值的绝对值相同时，取仲裁分数和前两评中较高的分数的平均分为该题得分.如图，分别为某题的一评分､二评分和仲裁分，P为该题的最终得分，则在①②处应填的语句为（    ）    A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】根据题意，结合算法与框图相关知识进行求解.【详解】根据程序，应当先输入一评和二评的分数，并且将其中较高的分数记为，较低的分数记为，由于最后输出的为和的平均值，则和中必有仲裁分数，且根据题中“仲裁分数和一､二评中与之接近的分数的平均分为该题得分”，可得①处得到与仲裁分数更加接近，最终需要将与仲裁分数取平均值，此时需要将取为仲裁分数，即①处应填的语句为，同理，②处应填的语句为.故选：A10. 若函数在区间上单调递减，则正数的取值范围为（    ）A.  B. C.  D. 【答案】A【解析】【分析】由题意知，可得大致范围，由此可得的取值范围，再由的单调递减区间列出不等式组，即可解出答案.【详解】根据函数在区间上单调递减，得，可得，又由，必有，可得.故选：A11. 已知抛物线的焦点为，过点的直线与抛物线及其准线分别交于两点，，则直线的斜率为（    ）A.  B.  C.  D. 【答案】C【解析】【分析】过P点作PH⊥准线，根据抛物线的定义及向量的线性关系求出，再转化为求，即可得直线斜率.【详解】如图，  过点作准线，垂足为点，则，由，得，则，则，则，根据抛物线的对称性可得直线的斜率为.故选：C12. 已知函数，，记函数，若函数恰有三个不同的零点，且，则的最大值为（    ）A.  B.  C.  D. 【答案】C【解析】【分析】根据已知条件画出函数图像，得到与的交点的横坐标一个在上，另一个在上，转化为研究，的最值问题，利用导数研究即可解决.【详解】由的解析式，可知在上单调递增，且值域为，在上单调递增，且值域为，函数的图像如图所示，所以在的值域上，任意函数值都有两个值与之对应，在值域上，任意函数值都有一个值与之对应.要使恰有三个不同的零点，则与的交点的横坐标一个在上，另一个在上，由的图像开口向上且对称轴为，易知，此时，且，结合的图像及，得，则，所以，且，令，，则.当时，单调递增；当时，单调递减.所以，故的最大值为.【点睛】思路点睛：本题考查函数与导数的综合问题.复合函数要层层分析，通过图像加以辅助，多变量问题要寻找变量之间的关系，实现消元，从而解答.二､填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13. 写出一个离心率为2且焦点在y轴上的双曲线的标准方程为___________．【答案】（答案不唯一，符合条件即可）【解析】【分析】根据题意，由双曲线的离心率公式可得，即，双曲线的焦点在轴上，假设，求出双曲线的标准方程，即可得答案．【详解】设所求双曲线方程为，设为焦距，因为，所以，假设，可得，所以，所以，故双曲线方程可以为．故答案：14. 函数在___处取得极小值，且极小值为___.【答案】    ① 2    ②. ##【解析】【分析】利用导数求得的单调性，进而依据函数极值的定义求得极小值点和极小值.【详解】，则，当时，，单调递减；当时，，单调递增，则时取得极小值，且极小值为故答案为：2，15. 在中，角的对边分别为，若，则外接圆的面积为______.【答案】【解析】【分析】首先利用正弦定理，边化角，再结合三角恒等变换，以及余弦定理，求得和角，即可求得三角形外接圆的半径和面积.【详解】由正弦定理得，因为，所以，即，可得.因为，所以，得，解得.，化简得，由正弦定理､余弦定理，得，化简得，由正弦定理可得，得，因此外接圆的面积为.故答案为：16. 在三棱锥中，为等边三角形，平面，若，则三棱锥外接球的表面积的最小值为___.【答案】##【解析】【分析】先求得三棱锥外接球的半径，进而得到该外接球的表面积的表达式，利用二次函数的性质即可求得该外接球的表面积的最小值.【详解】设，则，取正三角形的外心为，设四面体的外接球球心为，连接，则平面，又平面，则，则平面截球所得截面为大圆，又，则又底面外接圆的半径，所以三棱锥外接球的半径.当时，有最小值，所以三棱锥外接球的表面积的最小值为.  故答案为：三､解答题：共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22､23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分.17. 已知公差为正数的等差数列的前项和为，且成等比数列.（1）求和.（2）设，求数列的前项和.【答案】（1），    （2）【解析】【分析】（1）根据条件设出等差数列的公差，结合等比数列的性质列式求出公差，然后根据等差数列通项公式和求和公式即可得到答案；（2）根据（1）中所求写出数列通项公式，然后结合裂项相消法进行求和.【小问1详解】设等差数列的公差为，因为，成等比数列，所以，即，得，解得或（舍），所以，所以，.【小问2详解】由（1）得，，所以.18. 第18届亚足联亚洲杯足球赛将在卡塔尔举行，某足球兴趣协会为了解会员对该项赛事的关注度，随机抽查了男､女各100人，得到下面的2×2列联表.已知女性中有的人表示不关注，且所有不关注的人中，男性占 关注不关注总计男   女   总计    （1）将列联表补充完整，并且回答能否有以上的把握认为对亚洲杯足球赛的关注程度与性别有关？（2）若被调查的人中有5名外国人，其中3人表示将会去现场观看比赛，2人表示不会去现场观赛，现在从这5人中随机抽取2人，求恰好抽到一个将要去现场观赛的人的概率.附：，其中.0.0500.0100.0013.8416.63510.828 【答案】（1）列联表见解析，有以上的把握认为对亚洲杯足球赛的关注程度与性别有关    （2）【解析】【分析】（1）根据题意有20名女性不关注亚洲杯比赛，且所有不关注比赛的人中，女性占，由此即可将列联表补充完整，根据列联表即可求出，再与比较即可得出结论；（2）利用枚举法，写出所有基本事件，再统计出恰好抽到一个将要去现场观赛的人的基本事件个数，即可得出答案.【小问1详解】由题意，有20名女性不关注亚洲杯比赛，且所有不关注比赛的人中，女性占，可将列联表补充完整， 关注不关注总计男955100女8020100总计17525200故有以上的把握认为对亚洲杯足球赛的关注程度与性别有关.【小问2详解】设这5人为，其中不去现场观赛的2人为，则任取2人的基本事件为，共10种情况，恰好抽到一个将要去现场观赛的人的事件为，共6种情况.恰好抽到一个将要去现场观赛的人的概率为.19. 已知分别为椭圆的左､右焦点，直线过点与椭圆交于两点，且的周长为.（1）求椭圆的离心率；（2）直线过点，且与垂直，交椭圆于两点，若，求四边形面积范围.【答案】（1）    （2）【解析】【分析】（1）设，由题的周长为，据此可得答案；（2）先讨论两直线中的一条直线的斜率不存在，另一条直线的斜率为0时，四边形的面积；再讨论两直线的斜率都存在，且都不为0时，分别联立直线与椭圆方程求得与，从而得到得关于的关系式，由此得解.【小问1详解】设，由椭圆的定义可知的周长为，所以，所以离心率.【小问2详解】由（1）可知，又，所以，所以椭圆的方程为.①当直线中的一条直线的斜率不存在，另一条直线的斜率为0时，四边形的面积.②当直线的斜率都存在，且都不为0时，设的方程为，由，可得，.所以.所以.设的方程为，同理可得.所以四边形的面积，因为，当且仅当时取等号.所以，即此时.由①②可知，四边形面积的范围为.  【点睛】20. 如图，在直三棱桂中，，且为的中点，为线段上一点，设.  （1）当时，求证：平面.（2）当三棱锥的体积为时，求的值.【答案】（1）证明见解析    （2）或【解析】【分析】（1）由题，取的中点，连接，通过证明四边形为平行四边形可证明结论；（2）注意到，为三棱锥的高，，则可得到的距离为到的距离的，据此可得答案.【小问1详解】当时，为的中点，取的中点，连接，有，且，在直三棱柱中，，所以.因为，所以且，所以四边形为平行四边形，所以.又平面平面，所以平面.【小问2详解】三棱锥的体积相当于三棱锥的体积，因为平面平面，所以，且.因为平面，所以平面，即为三棱锥的高.在平面中，的面积，那么三棱锥的体积，且这两个三棱锥的高相等，可得，可得到的距离为到的距离的，因此为的四等分点，即或.21. 设函数的图像在点处切线的斜率为.（1）求实数的值.（2）证明：.【答案】（1），    （2）证明见解析【解析】【分析】（1）通过函数图像切线，导数与斜率关系知识直接求解；（2）根据题意转化为证明，即，通过比较两个函数的最值即可证明.【小问1详解】因为点在曲线上，所以，所以，则，所以，所以【小问2详解】由（1）知，欲证，只需证，因为，所以只需证，令.因为，当时，，当时，，所以函数在上单调递减，在上单调递增，所以.因为，所以当时，；当时，.所以函数在上单调递增，在上单调递减，所以.因为，所以，即【点睛】思路点睛：本题考查导数与函数的综合运用.通过变形，将证明不等式问题转化为两个函数最值的比较问题即可.（二）选考题：共10分.请考生在第22､23两题中任选一题作答.若多做，则按所做的第一题计分.[选修4-4：坐标系与参数方程]22. 在直角坐标系中，以原点为极点，以轴的正半轴为极轴，曲线的直角坐标方程为.（1）将曲线的直角坐标方程化为极坐标方程；（2）过点作斜率为2的直线与曲线交于两点，试求的值.【答案】（1）    （2）【解析】【分析】（1）根据极坐标方程与普通方程的互化公式可求得答案；（2）由题意求出直线的参数方程，代入曲线的普通方程化简，利用根与系数的关系结合参数的向何意可求得结果.【小问1详解】将代入直角坐标方程，得，化简得所以曲线的极坐标方程为.【小问2详解】由题意知直线的参数方程为（为参数）.将其代入曲线的方程中得，，化简整理得，，设，则，所以.[选修4-5：不等式选讲]23. 已知函数.（1）解不等式；（2）若不等式对于恒成立，求的取值范围.【答案】（1）    （2）【解析】【分析】（1）分类讨论将函数的绝对值去掉.（2）依据绝对值函数的特殊性进行分类讨论，解出每种情况下参数的取值范围，最后求交集.【详解】解：（1），即，利用零点分区间法，对去绝对值，当时，由，得，所以，当时，成立，所以，当时，由，得，所以.综上可知，不等式的解集为.（2）由题意，可知，由（1）得当时，恒成立，因为，所以时不等式恒成立；当时，恒成立，所以时不等式恒成立；当时，恒成立，而，所以时不等式恒成立；当时，即恒成立，而，所以不等式恒成立.综上，满足要求的的取值范围为.【点睛】对于恒成立问题，若进行了分类讨论，则最后参数的取值范围必须是每种情况下取值范围的交集.