精品解析：北京市第一零九中学2022-2023学年高二下学期期中考试数学试题（解析版）

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2022-2023学年一零九中学高二下学期期中数学考试卷注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2．请将答案正确填写在答题卡上一、单选题1. 已知数列满足，则（    ）A.  B.  C.  D. 【答案】C【解析】【分析】根据递推关系即可逐一代入求值.【详解】.故选:C2. 若数列的前4项分别是，则该数列的一个通项公式为（    ）A.  B.  C.  D. 【答案】D【解析】【分析】利用观察归纳法求出通项公式.【详解】因为数列的前4项分别是，正负项交替出现，分子均为1，分母依次增加1，所以对照四个选项，正确.故选：D3. 已知数列的前n项和，则等于（    ）A. 22 B. 30 C. 36 D. 42【答案】B【解析】【分析】转化为求得解.【详解】∵数列的前n项和，∴，∴，，∴，故选：B．4. 在展开式中，的系数为（    ）A.  B.  C.  D. 【答案】B【解析】【分析】用二项式定理的通项公式展开，使得的系数为，可以确定的值，即可求得.【详解】因为的通项为，当时，.所以的系数为.故选：B5. 已知数列的通项公式为，则（    ）A. 4 B. 6 C. 8 D. 9【答案】B【解析】【分析】根据通项公式代入计算可得.【详解】因为，所以.故选：B6. 已知函数，则的值为（    ）A  B.  C.  D. 【答案】D【解析】【分析】根据导数公式求出，进而可以求出结果.【详解】..故选:D7. 、、、四人并排站成一排，如果与相邻，那么不同的排法种数是（    ）A. 24种 B. 12种 C. 48种 D. 23种【答案】B【解析】【分析】利用捆绑法求解相邻问题．【详解】由题意，因为与相邻，将与放在一起，共有种排法，将与看成一个整体，与、进行全排列，共有种排法，综上共有种排法，故选：B．8. 某单位安排甲、乙、丙、丁四人去、、三个劳动教育基地进行社会实践，每个人去一个基地，每个基地至少安排一个人，则乙被安排到基地的排法总数为（    ）A.  B.  C.  D. 【答案】B【解析】【分析】对基地安排的人数进行分类讨论，利用分类加法计数原理可得结果.【详解】分以下两种情况讨论：若基地只安排乙一人，将其余人分为组，人数分别为、，此时不同的排法种数为种；若基地安排两人，则需从甲、丙、丁中再选择一人安排至基地，此时不同的排法种数为.综上所述，乙被安排到基地的排法总数为种.故选：B.9. 如图是函数的导函数的图象，则下列判断正确的是（    ）A. 在区间上，是增函数B. 当时，取到极小值C. 在区间上，是减函数D. 在区间上，增函数【答案】D【解析】【分析】对于ACD,根据导数的正负和原函数单调性之间的联系进行判断即可;对于B，根据极值点处左右两边的单调性进行判断.【详解】由导函数图象知，在时，，递减，A错；时，取得极大值（函数是先增后减），B错；时，，递增，C错；时，，递增，D正确．故选：D.10. 垃圾分类的目的是提高垃圾的资源价值和经济价值，减少垃圾处理量和处理设备的使用，降低处理成本，减少土地资源的消耗，具有社会、经济和生态等多方面的效益．为配合垃圾分类在学校的全面展开，某学校举办了一次垃圾分类知识比赛活动．高一、高二、高三年级分别有名、名、名同学获一等奖．若将上述获一等奖的名同学排成一排合影，要求同年级同学排在一起，则不同的排法共有（    ）A. 种 B. 种 C. 种 D. 种【答案】A【解析】【分析】将各年级的学生进行捆绑，然后考虑三个“大元素”之间的顺序及各“大元素”内部之间的顺序，结合分步乘法计数原理可得结果.【详解】将三个年级的学生分别捆绑，形成三个“大元素”，考虑三个“大元素”之间的顺序及各“大元素”内部之间的顺序，由分步乘法计数原理可知，不同的排法种数为种.故选：A.二、填空题11. 在等比数列{an}中，，且，则＝___________．【答案】8【解析】【分析】利用求解.【详解】，又an＞0，则故答案为：8.12. 已知{an}是单调递增的等比数列，a4+a5=24，a3a6=128，则公比q的值是___________.【答案】2【解析】【分析】利用等比数列性质得到，再解方程组即可.【详解】由等比数列性质知，联立,解得或，因为是单调递增的等比数列,所以，即.故答案为：2.13. 的展开式中的常数项为___________.【答案】【解析】【分析】利用二项式定理得到展开式通项公式，求出常数项.【详解】的展开式通项公式为，令，解得，故，所以展开式中常数项为.故答案为：14. 已知某质点的位移s（单位：米）与时间t（单位：秒）的运动方程为，则该质点在秒时的瞬时速度为__________米/秒．【答案】0【解析】【分析】根据导数的物理意义，该质点的瞬时速度即为某点关于位移的导数，求导然后代入即可.【详解】根据导数的物理意义，对运动方程求导得;，令 解得；即该质点在秒时的瞬时速度为0，故答案为：015. 某集团第一年年初给下属企业甲制造厂投入生产资金万元，到年底资金增长了，以后每年资金年增长率与第一年相同.集团要求甲制造厂从投入生产资金开始，每年年底上缴资金万元，并将剩余资金全部投入下一年生产.设第年年底甲制造厂上缴资金后的剩余资金为万元，若，则正整数的最小值为_____________.（取，）【答案】【解析】【分析】根据与的关系可推导证得数列为等比数列，利用等比数列通项公式可得，进而解不等式可求得的范围.【详解】由题意知：；当时，，，又，数列是以为首项，为公比的等比数列，，则，令，则，，解得：，正整数的最小值为.故答案为：.三、解答题16. 已知等比数列满足，，为数列的前项和.（1）求数列的通项公式；（2）若，求的值【答案】（1）    （2）【解析】【分析】（1）利用等比数列通项公式可构造方程求得公比，进而得到；（2）利用等比数列求和公式可直接构造方程求得结果.【小问1详解】设等比数列的公比为，则，解得：，.【小问2详解】，，解得：.17. 在15件产品中，有3件不合格品，从中任取5件，问：（1）“恰有2件不合格品”的取法有多少种？（2）“没有不合格品”取法有多少种？（3）“至少有1件不合格品”的取法有多少种？【答案】（1）660    （2）792    （3）2211【解析】【分析】（1）因为取3件产品，恰有2件不合格品，即2件不合格品、一件合格品，利用组合数定义即可求到结果；（2）没有不合格品，即全是正品，利用组合数定义即可求到结果；（3）至多、至少问题，一般采用间接法求解.【小问1详解】（种）【小问2详解】（种）【小问3详解】（种）18. 已知数列是公差不为零的等差数列，且，，成等比数列.（1）求数列的通项公式；（2）设数列的前n项和为，在①，；  ②，；③，；这三个条件中任选一个，将序号补充在下面横线处，并根据题意解决问题.问题：若，且______，求数列的前n项和.
 （注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答给分.）【答案】（1）    （2）【解析】【分析】（1）设等差数列的公差为d，根据，，成等比数列，由求解； （2）选①，由，，得到时，求解；选②，由，，得到时，，两式相减求解；选③，由，，得到时，，两式相减求解.进而得到，再利用分组求和求解.【小问1详解】解：设等差数列的公差为d，因为，，成等比数列，所以，解得或（舍去）.  所以，.【小问2详解】选①，由，，当时，，当时等式也成立，所以，   选②，由，，①当时，，②②-①得，即，所以是首项为1，公比为2的等比数列，当时等式也成立，所以，选③，由，，①当时当时，，②②-①得 ，即，又 ，所以是首项为1，公比为2的等比数列，所以，        则，  ，19. 已知的数在处取得极值-14．（1）求a，b的值；（2）求曲线在点处的切线方程；（3）求函数在上的最值．【答案】（1）    （2）    （3）函数在上的最小值为，最大值为.【解析】【分析】（1）求导，利用在处的导数值为0，并且，解之检验即可求解；（2）结合（1）的结果，求出函数在处的导数值，利用导数的几何意义，代入即可求解；（3）结合（1）的结果，列出在时，随的变化，的变化情况，进而即可求解.【小问1详解】因为函数，所以，又函数在处取得极值.则有，即，解得：，经检验，时，符合题意，故.【小问2详解】由（1）知：则，，故.所以曲线在点处的切线方程为：，即【小问3详解】由（1）知：函数，则，令，解得：，在时，随的变化，的变化情况如下表所示：  单调递增单调递减单调递增由表可知：当时，函数有极大值；当时，函数有极小值；因为，，故函数在上的最小值为，最大值为.20. 设函数．（1）讨论的单调性；（2）若恒成立，求a的值．【答案】（1）答案见解析    （2）【解析】【分析】（1）利用导数的性质分类讨论进行求解即可；（2）根据（1）的结论，结合构造函数法进行求解即可.【小问1详解】的定义域为．．若，则，在上单调递增．若，则当时，，单调递减；当时，，单调递增；【小问2详解】由（1）知，若，则当时，，矛盾．因此．由（1）知此时．恒成立等价于恒成立．设，即恒成立，则，当时，单调递增，当时，单调递减，所以，显然函数在处有唯一零点，且．而恒成立，所以，所以．21. 已知函数为实常数）．（1）若，求证：在上是增函数；（2）当时，求函数在上的最大值与最小值及相应的值；（3）若存在，使得成立，求实数的取值范围．【答案】（1）见解析    （2）当时，函数有最小值为，当时，函数有最大值为.    （3）【解析】【分析】(1)利用导数大于零即可证明；(2)利用导数讨论函数的单调性即可求解给定区间内的最值；(3)利用导数讨论单调性与最值，即可解决能成立问题.【小问1详解】由题可知函数的定义域，因为,所以，所以，令解得， 所以在上是增函数.【小问2详解】因为,所以，所以，令解得，令解得，所以在上单调递减，在上单调递增，所以在上单调递减，在上单调递增，所以当时，函数有最小值为，因为，所以当时，函数有最大值为.【小问3详解】由得，即，因为，所以，所以，且当时，所以在恒成立，所以，即存在时，，令，，令，令，解得，令，解得，所以在单调递减，单调递增，所以，所以时，恒成立，所以，所以实数的取值范围是.