重庆市南开中学校2022-2023学年高一下学期期末数学试题

重庆南开中学高2025级高一（下）期末考试

数学试题

本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分150分，考试时间120分钟.

第Ⅰ卷（选择题  共60分）

一、单项选择题：本题共8小题.每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.请将答案填写在答题卡相应的位置上.

1.直线的倾斜角是（    ）

A.30° B.60° C.120° D.150°

2.已知，均为单位向量，且与夹角为60°，则（    ）

A.3 B. C.2 D.

3.将按斜二测画法得到，如图所示，，，，则的面积（    ）

A.2 B. C.4 D.

4.过四棱锥任意两条棱的中点作直线，其中与平面平行的直线有（    ）

A.4条 B.5条 C.6条 D.7条

5.如图，在长方体中，，，，，，则直线与所成角的余弦值为（    ）

A. B. C. D.

6.在中，边上的高，且，则为（    ）

A.锐角 B.直角 C.钝角 D.无法确定

7.已知是边长为2的正三角形，动点P满足，且.若Q为的中点，则的最小值为（    ）

A. B. C. D.

8.《九章算术·商功》：“斜解立方，得两壍堵。斜解壍堵，其一为阳马，一为鳖臑。阳马居二，鳖臑居一，不易之率也。合两鳖臑三而一，验之棊，其形露矣。”即将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马，将四个面都为直角三角形的四面体称之为鳖臑。如图所示为鳖臑，平面，，E，F分别在棱，上，且，.若，则三棱锥外接球的体积为（    ）

A. B. C. D.

二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对得5分，部分选对得2分，有选错得0分.请将答案填写在答题卡相应的位置上.

9.下列四个命题中不正确的是（    ）

A.，，则 B.，则

C.，，则 D.，，，则

10.已知为虚数单位，复数，复数满足：，则可能的取值为（    ）

A.0 B. C.1 D.2

11.如图，正方体的梭长为4，F是侧面上的一个动点（含边界），点E在棱上，且，则下列结论正确的有（    ）

A.平面被正方体截得截面为等腰梯形

B.若，直线

C.若在上，的最小值为

D.若，点的轨迹长度为

12.在三棱锥中，.记二面角、、的大小分别为、、，V为三棱锥的体积，则下列结论正确的是（    ）

A. B.

C. D.

第Ⅱ卷（非选择题共90分）

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.请将答案填写在答题卡相应位置上.

13.______.

14.若两条平行直线：与：间的距离为2，则______.

15.若圆台的上、下底面圆半径分别为1、2，、分别为圆台上下底面圆心.若该圆台存在内切球，则该圆台的体积为______.

16.在中，若，则角的最大值为______.

四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.请将答案填写在答题卡相应的位置上.

17.已知、在直线上.

（1）求直线的方程；

（2）若直线倾斜角是直线倾斜角的2倍，且与的交点在轴上，求直线的方程.

18.在直三棱柱中，，，，，点D为的中点.

（1）求证：面；

（2）求三棱锥的体积.

19.在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，，且面积.

（1）若，求；

（2）若，求当取得最小值时的周长.

20.在四棱锥中，底面为直角梯形，，，，，E为棱上一点，且.

（1）求证：平面平面；

（2）若，求二面角的正弦值.

21.在锐角中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，.

（1）求A；

（2）若D为延长线上一点，且，求的取值范围.

22.我们把和两条异面直线都垂直相交的直线叫做两条异面直线的公垂线.如图，在菱形中，，将沿翻折，使点A到点P处.E，F，G分别为，，的中点，且是与的公垂线.

（1）证明：三棱锥为正四面体；

（2）若点M，N分别在，上，且为与的公垂线.

①求的值；

②记四面体的内切球半径为r，证明：.