湖南省长沙市长郡中学2023届高三二模数学试题

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长郡中学2023届模拟试卷（二）数学注意事项：1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上．2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．写在本试卷上无效．3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效．4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．第Ⅰ卷一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1. 已知集合，集合，则（    ）A.  B.  C.  D. 2. 设复数满足，则的虚部是（    ）A.  B. 3 C.  D. 43. 设O为正方形ABCD的中心，在O，A，B，C，D中任取3点，则取到的3点共线的概率为（    ）A.  B. C.  D. 4. 蹴鞠（如图所示），又名蹴球、蹴圆、筑球、踢圆等，蹴有用脚蹴、踢、蹋的含义，鞠最早系外包皮革、内实米糠的球．因而蹴鞠就是指古人以脚蹴、蹋、踢皮球的活动，类似于今日的足球．2006年5月20日，蹴鞠作为非物质文化遗产经国务院批准已列入第一批国家非物质文化遗产名录．已知某鞠（球）的表面上有四个点，平面，则该鞠（球）的表面积为（    ）  A.  B.  C.  D. 5. 如图甲是第七届国际数学家大会（简称ICME-7）的会徽图案，会徽的主题图案是由图乙的一连串直角三角形演化而成的.已知为直角顶点，设这些直角三角形的周长从小到大组成的数列为，令为数列的前项和，则（    ）A. 8 B. 9 C. 10 D. 116. 函数恒有，且在上单调递增，则值为（    ）A.  B.  C.  D. 或7. 已知函数f（x）＝（mx﹣1）ex﹣x2，若不等式f（x）＜0解集中恰有两个不同的正整数解，则实数m的取值范围（　　）A  B. C.  D. 8. 已知双曲线的左右焦点分别为F1，F2，点M是双曲线右支上一点，满足，点N是F1F2线段上一点，满足．现将△MF1F2沿MN折成直二面角，若使折叠后点F1，F2距离最小，则为（    ）A.  B.  C.  D. 二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9. 已知实数满足，则下列说法正确的是（    ）A  B. C.  D. 10. 已知函数（）是奇函数，且，是的导函数，则（    ）A.  B. 的一个周期是4 C. 是偶函数 D. 11. 已知圆，恒过点的直线与圆交于两点．下列说法正确的是（    ）A. 的最小值为 B. C. 的最大值为 D. 过点作直线的垂线，垂足为点，则点的运动轨迹在某个定圆上12. 随着时代与科技的发展，信号处理以各种方式被广泛应用于医学、声学、密码学、计算机科学、量子力学等各个领域.而信号处理背后的“功臣”就是正弦型函数，的图象就可以近似的模拟某种信号的波形，则下列说法正确的是（    ）A. 函数的图象关于直线对称B. 函数的图象关于点对称C. 函数为周期函数，且最小正周期为D. 函数的导函数的最大值为4第Ⅱ卷三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13. 二项式的展开式中所有二项式系数和为，则展开式中的常数项为，则_____14. 已知函数的导函数为，且满足，则函数在点（2，）处的切线方程为________________．15. 在正四棱柱中，，E 为中点，为正四棱柱表面上一点，且，则点的轨迹的长为_____.16. 意大利数学家傲波那契在研究兔子繁殖问题时发现了数列1，1，2，3，5，8，13，…，数列中的每一项被称为斐波那契数，记作Fn.已知，，（，且n>2）.（1）若斐波那契数Fn除以4所得的余数按原顺序构成数列，则___________.（2）若，则___________.四、解答题（共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17. 在数列中，（I）设，求数列的通项公式（II）求数列的前项和18. 已知向量，，且函数.（1）求的最小正周期及对称中心；（2）在中，内角，，的对边分别为，，，角为锐角，，若，且的面积为.求的周长.19. 如图，在三棱柱中，是边长为2的等边三角形，，平面平面ABC．（1）证明：；（2）若E为的中点，直线与平面所成的角为45°，求直线与平面所成的角的正弦值．20. 已知圆是圆上任意一点，线段的垂直平分线与半径相交于点，当点运动时，点的轨迹为曲线．（1）求曲线的方程；（2）过点的直线与曲线相交于点，与轴相交于点，过点的另一条直线与相交于两点，且的面积是面积的倍，求直线的方程．21. 人工智能（AI）是一门极富挑战性的科学，自诞生以来，理论和技术日益成熟.某校成立了两个研究性小组，分别设计和开发不同的AI软件用于识别音乐的类别.记两个研究性小组的软件每次能正确识别音乐类别的概率分别为.为测试软件的识别能力，计划采取两种测试方案.方案一：将100首音乐随机分配给两个小组识别，每首音乐只被一个软件识别一次，并记录结果；方案二：对同一首歌，两组分别识别两次，如果识别的正确次数之和不少于三次，则称该次测试通过.（1）若方案一的测试结果如下：正确识别的音乐数之和占总数的；在正确识别的音乐数中，组占；在错误识别的音乐数中，组占.（i）请根据以上数据填写下面的列联表，并通过独立性检验分析，是否有的把握认为识别音乐是否正确与两种软件类型有关？ 正确识别错误识别合计A组软件   B组软件   合计  100（ii）利用（i）中的数据，视频率为概率，求方案二在一次测试中获得通过的概率；（2）研究性小组为了验证软件有效性，需多次执行方案二，假设，问该测试至少要进行多少次，才能使通过次数的期望值为16？并求此时的值.附：，其中.0.1000.0500.0100.0050.0012.7063.8416.6357.87910.828 22. 已知函数，．（1）当时，求函数的最小值；（2）当时，不等式恒成立，求实数a的取值范围．