湖北省武汉市黄陂区第六中学2019-2020学年高一下学期期中考试数学试题 Word版含解析

www.ks5u.com数学试卷

考试时间：4月25日  上午8：00----10：00

一、选择题(本题包括12小题，每小题5分，共60分).

1.在等差数列中，若，则（    ）

A. 360 B. 300 C. 240 D. 200

【答案】B

【解析】

【分析】

利用等差数列的下标和性质计算可得；

【详解】解：因为，

所以

故选：B

【点睛】本题考查等差数列的下标和性质的应用，属于基础题.

2.若且，则下列不等式成立是(    )

A.  B.  C.  D.

【答案】D

【解析】

【分析】

利用不等式的性质对四个选项逐一判断.

【详解】选项A: ，符合，但不等式不成立，故本选项是错误的；

选项B:当符合已知条件，但零没有倒数，故不成立 ，故本选项是错误的；

选项C:当时，不成立，故本选项是错误；

选项D:因为，所以根据不等式的性质，由能推出，故本选项是正确的，因此本题选D.

【点睛】本题考查了不等式的性质，结合不等式的性质，举特例是解决这类问题的常见方法.

3.中，若，则的形状为（ ）

A. 直角三角形 B. 等腰三角形

C. 等边三角形 D. 锐角三角形

【答案】B

【解析】

【分析】

通过三角形的内角和，以及两角和的正弦函数，化简方程，求出角的关系，即可判断三角形的形状．

【详解】因为sinC=2sinAcosB，所以sin（A+B）=2sinAcosB，

所以sinAcosB-sinBcosA=0，即sin（A-B）=0，

因为A，B，C是三角形内角，所以A=B．

三角形的等腰三角形．

故答案为B．

4.三角形所在平面内一点P满足，那么点P是三角形的（    ）

A. 重心 B. 垂心 C. 外心 D. 内心

【答案】B

【解析】

【分析】

先化简得，即得点P为三角形的垂心.

【详解】由于三角形所在平面内一点P满足，

则

即有，

即有，

则点P为三角形的垂心.

故选：B.

【点睛】本题主要考查向量的运算和向量垂直的数量积，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.

5.若关于的不等式的解集为，其中，为常数，则不等式的解集是

A.  B.  C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】

首先由解集为计算出的值，然后再求一元二次不等式的解集.

【详解】因为的解集为，所以，解得，所以，所以，解得，

故选B.

【点睛】本题考查一元二次不等式的解法，难度较易.若一元二次不等式的解集为，则一元二次方程的两个根为.

6.若锐角满足，则的值为（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】C

【解析】

【分析】

化简得到，故，得到答案.

【详解】，故.

故，故.

锐角，，故.

故选：.

【点睛】本题考查了三角恒等变换，意在考查学生的计算能力和转化能力.

7.在中，已知的三边a、b、c成等比数列，且c=2a，则等于（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】D

【解析】

【分析】

由三边a、b、c成等比数列，且，得，然后直接套入余弦定理，即可得到本题答案.

【详解】因为三边a、b、c成等比数列，所以，又，则，

所以.

故选：D

【点睛】本题主要考查等比数列与余弦定理的综合应用，考查学生的运算求解能力.

8.在中，已知面积，则角的度数为（        ）

A.  B.  C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】

由面积公式和余弦定理化简条件可得，从而得解.

【详解】由，得，解得，

又角为的内角，所以.

故选B.

【点睛】本题主要考查了余弦定理及面积公式求解三角形，属于基础题.

9.在矩形中，，点在边上，若，则的值为（   ）

A. 0 B.  C. -4 D. 4

【答案】C

【解析】

分析】

先建立平面直角坐标系，求出B,E,F坐标，再根据向量数量积坐标表示得结果.

【详解】如图所示，．以为原点建立平面直角坐标系，为轴，为轴，则，因此，故选C.

【点睛】平面向量数量积的类型及求法

(1)求平面向量数量积有三种方法：一是夹角公式；二是坐标公式；三是利用数量积的几何意义.

(2)求较复杂的平面向量数量积的运算时，可先利用平面向量数量积的运算律或相关公式进行化简.

10.已知正数、满足，则的最小值为（    ）

A.  B. 4 C.  D.

【答案】C

【解析】

【分析】

由得，再将代数式与相乘，利用基本不等式可求出的最小值．

【详解】解：，所以，，

则，

所以，

当且仅当，即当时，等号成立，

因此，的最小值为，

故选：．

【点睛】本题考查利用基本不等式求最值，对代数式进行合理配凑，是解决本题的关键，属于中档题．

11.已知数列满足，，则的最小值为（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】C

【解析】

【分析】

由累加法，可得，然后借助函数的单调性，即可确定的最小值.

【详解】由题，得

，

所以，，

因为双勾函数在递减，在递增，

且，

所以的最小值为.

故选：C

【点睛】本题主要考查利用累加法求通项公式以及借助函数的单调性确定数列的最小项，考查学生的分析问题与解决问题的能力.

12.已知正项数列单调递增，则使得不等式对任意都成立的的取值范围是（   ）

A.  B.  C.  D.

【答案】D

【解析】

【分析】

解不等式可得；根据单调递增可知单调递减，则要保证恒成立只需，从而解得结果.

【详解】由可得：，即

单调递增    单调递减

对任意，有    的取值范围为：

本题正确选项：

【点睛】本题考查数列性质的应用，关键是能够通过解不等式得到恒成立的条件，再结合数列的单调性得到结果.

二、填空题(本题包括4个小题，每小题5分，共20分)

13.已知向量，，且，则实数______．

【答案】0

【解析】

【分析】

利用向量垂直的性质直接求解．

详解】解：向量，，且，

，

解得．

故答案为：．

【点睛】本题考查实数值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意向量垂直的性质的合理运用．

14.已知，，且，若恒成立，则实数的取值范围是____．

【答案】（-4，2）

【解析】

试题分析：因为当且仅当时取等号，所以

考点：基本不等式求最值

15.已知函数f(x)＝Acos(ωx＋φ)(A>0，ω>0，0<φ<π)为奇函数，该函数的部分图象如图所示，△EFG(点G是图象的最高点)是边长为2的等边三角形，则=______，f()＝________.

【答案】    (1).     (2).

【解析】

【分析】

根据奇函数得到，根据，得到，，故，代入计算得到答案.

【详解】，函数为奇函数且，故，故.

是边长为2的等边三角形，故，故，，故.

，故，.

故答案为：；.

【点睛】本题考查了三角函数图像，求解析式，意在考查学生的识图能力和计算能力.

16.正整数数列满足，已知，的前6项和的最大值为，把的所有可能取值从小到大排成一个新数列，所有项和为，则________.

【答案】62

【解析】

【分析】

根据分段数列和,倒过来依次分析的前5项,即可求出和,从而求出答案.

【详解】正整数数列满足,且,

所以或1,

再依次分析,

则可得的前6项分别为:

128,64,32,16,8,4;

或21,64,32,16,8,4;

或20,10,5,16,8,4;

或3,10,5,16,8,4;

或16,8,4,2,1,4;

或2,1,4,2,1,4;

因此,

,

,

故答案为:62

【点睛】本题考查分段数列的运用,考查学生的计算推理能力,有一定难度.

三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤.）

17.已知数列满足：，.

（1）求，及通项；

（2）设是数列的前n项和，则数列，，，…中哪一项最小？并求出这个最小值.

【答案】（1），，；（2）最小，为

【解析】

【分析】

（1）直接计算得到，判断数列为等差数列，计算得到答案.

（2），，故最小，根据公式计算得到答案.

【详解】（1），当时，，，，.

，故数列为首项是，公差为的等差数列，故.

（2），故，，故最小，

.

【点睛】本题考查了等差数列通项公式，和的最值，意在考查学生对于数列公式方法的灵活运用.

18.已知关于的不等式.

（1）当时，解关于的不等式；

（2）当时，解关于的不等式.

【答案】（1）；（2）详见解析

【解析】

【分析】

（1）将不等式化为即可求得结果；（2）将不等式化为；当时直接求得；当时，不等式变为，计算的两根，根据两根大小关系讨论不等式解集；当时，不等式变为，根据方程两根大小关系即可得到解集.

【详解】（1）当时，不等式可化为：

不等式的解集为

（2）不等式可化为：，

（i）当时，，解得：    不等式解集为

（ii）当时，，

的根为：，

①当时，    不等式解集为

②当时，，不等式解集为

③当时，    不等式解集为

（iii）当时：

此时    不等式解集为或

【点睛】本题考查不含参数和含参数的一元二次不等式的求解问题；关键是能够根据一元二次不等式和二次函数、一元二次方程之间的关系，分别在参数不同范围的情况下讨论一元二次方程根的大小，从而得到解集；易错点是忽略了二次项系数为零的情况，导致情况不完整.

19.已知函数.

（1）求函数的单调递增区间；

（2）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若满足，，，求.

【答案】（1）；（2）

【解析】

【分析】

（1）化简得到，取，解得答案.

（2），解得，根据余弦定理得到，再用一次余弦定理解得答案.

【详解】（1）.

取，解得.

（2）,

因为， 故，.

根据余弦定理：，.

.

【点睛】本题考查了三角恒等变换，三角函数单调性，余弦定理，意在考查学生对于三角函数知识的综合应用.

20.合肥一中、六中为了加强交流，增进友谊，两校准备举行一场足球赛，由合肥一中版画社的同学设计一幅矩形宣传画，要求画面面积为，画面的上、下各留空白，左、右各留空白.

（1）如何设计画面的高与宽的尺寸，才能使宣传画所用纸张面积最小?

（2）设画面的高与宽的比为，且，求为何值时，宣传画所用纸张面积最小?

【答案】（1）画面的高，宽时所用纸张面积最小；（2）.

【解析】

【分析】

（1）设画面高为，宽为，纸张面积为，可得到，利用基本不等式可求得最小值，同时确定当时取最小值，从而得到结果；（2）画面高为，宽为，则，根据的范围可知，根据（1）中的表达式，结合对号函数图象可知时取最小值，从而得到结果.

【详解】（1）设画面高为，宽为，纸张面积为

则

当且仅当，即时取等号

即画面的高为，宽为时所用纸张面积最小，最小值为：.

（2）设画面高为，宽为，则

，又   

由（1）知：

由对号函数性质可知：在上单调递减

，即时，所用纸张面积最小

【点睛】本题考查建立合适的函数模型解决实际问题，重点考查利用基本不等式、对号函数单调性求解函数最值的问题；关键是能够建立起合适的函数模型，易错点是忽略了自变量的取值范围，造成最值求解错误.

21.已知向量，，函数．

（1）当时，求的值域；

（2）若对任意，，求实数的取值范围．

【答案】（1）（2）

【解析】

【分析】

（1）根据向量数量积，得到函数表达式，利用倍角公式、降幂公式，化简得，根据自变量x的范围，求的值域．

（2）利用换元法，令 ，转化成关于t的一元二次不等式．通过分离参数，结合基本不等式，求参数的取值范围．

【详解】（1）   

 当时，，，

所以值域为．     

（2）令，，由（1）得，问题等价于，恒成立，当时，；      

 当时，，恒成立，

因为，，当且仅当时，等号成立，

所以的最小值为2，故，综上，实数的取值范围为．

【点睛】本题考查了利用降幂公式、倍角公式对三角函数式化简、求值，利用换元法、基本不等式等、分离参数法等解不等式，综合性强，属于中档题．

22.已知数列满足我们知道当a取不同的值时，得到不同的数列，如当a＝1时，得到无穷数列：1，2，，…；当a＝时，得到有穷数列：，﹣1，0.

（1）求当a为何值时；

（2）设数列满足，求证a取数列中的任一个数，都可以得到一个有穷数列；

（3）若，求a的取值范围.

【答案】（1）；（2）见解析；（3）

【解析】

【分析】

（1）根据数列递推公式直接计算得到答案.

（2）变换得到，计算，故，得到，得到证明.

（3）根据题意计算得到，即，解得答案.

【详解】（1），故，，，，，

故.

（2），故，设，则.

，故，，故只能得到有穷数列.

（3），故，，解得.

故，，故，即，解得.

【点睛】本题考查了根据数列通项公式求项，证明数列是有穷数列，根据数列范围求参数，意在考查学生对于数列公式方法的综合应用.