吉林省长春市第二十九中学2019-2020学年高一下学期期中考试数学试题 Word版含解析

www.ks5u.com吉林省长春市第二十九中学2019-2020学年高一下学期期中考试数学试题数学试卷

一.选择题（每小题5分，共60分，将答案填在答题卡内，否则不给分）

1.设向量，，则等于（    ）

A. 1 B. 2 C. 3 D. 4

【答案】B

【解析】

【分析】

由向量数量积的坐标公式直接代入求得.

【详解】解：

故选：C

【点睛】本题考查向量数量积的坐标公式应用，属于容易题.

2.在△ABC中∠A，∠B，∠C所对的边分别为a，b，c.若a＝，b＝1，∠A＝60°，则∠B＝（    ）

A. 45° B. 30° C. 60° D. 90°

【答案】B

【解析】

【分析】

利用正弦定理，解出，从而求出角B的值，再根据边的大小关系确定B的唯一性，从而得出结果.

【详解】解：由正弦定理可知：，所以，则或，又因为，所以，所以.

故选：B.

【点睛】本题考查正弦定理的应用，已经边长求角，考查大边对大角的知识点，属于基础题.

3.若等差数列，且，，则的值为（    ）

A. 21 B. 63 C. 13 D. 57

【答案】D

【解析】

【分析】

根据等差数列的通项公式，先计算的值，再通过基本量计算结果.

【详解】解：为等差数列，且，，所以，所以.

故选：D.

【点睛】本题考查等差数列的通项公式，考查等差数列基本量的计算，属于基础题.

4.函数（x＞0）的最小值是（    ）

A. 2 B. 4 C. 6 D. 8

【答案】B

【解析】

【分析】

直接利用基本不等式即可求解.

【详解】函数，直接利用基本不等式求解即可，

当时，，当且仅当时成立，

此时，，，故函数（x＞0）的最小值是4.

故选：B

【点睛】本题考查基本不等式的应用，属于基础题.

5.已知向量，，且，则实数的值为

A. 1 B.  C.  D. 2

【答案】C

【解析】

【分析】

直接利用向量共线的坐标表示列方程求解即可.

【详解】因为，，且，

所以，

解得，故选C.

【点睛】利用向量的位置关系求参数是出题的热点，主要命题方式有两个：（1）两向量平行，利用解答；（2）两向量垂直，利用解答.

6.在中所对的边分别是，若，则（    ）

A. 37 B. 13 C.  D.

【答案】D

【解析】

【分析】

直接根据余弦定理求解即可．

【详解】解：∵，

∴，

∴，

故选：D．

【点睛】本题主要考查余弦定理解三角形，属于基础题．

7.关于x的不等式的解集是（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】D

【解析】

【分析】

根据一元二次不等式的解集与二次方程的根、二次函数的性质求解．

【详解】两根为1和－1，函数是开口向上的抛物线，∴原不等式的解集为．

故选：D．

【点睛】本题考查解一元二次不等式，掌握“三个二次”之间的关系是解题关键．

8.在数列中，，，则（    ）

A.  B.

C.  D.

【答案】A

【解析】

【分析】

根据题意，为等比数列，用基本量求解即可.

【详解】因为，故是首项为1，公比为2的等比数列，

故.

故选：A.

【点睛】本题考查等比数列的定义，属基础题.

9.一个球的内接正方体的表面积为54，则球的表面积为（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】A

【解析】

【分析】

球的内接正方体的对角线就是球的直径，正方体的棱长为a，球的半径为r，则，求出正方体棱长，再求球半径即可

【详解】解：设正方体的棱长为a，球的半径为r，

则，所以．

又因为

所以

所以

故选：A

【点睛】考查球内接正方体棱长和球半径的关系以及球表面积的求法，基础题.

10.已知，则下列不等式正确的是（ ）

A.  B.  C.  D.

【答案】C

【解析】

试题分析：取a=-2,b=-1,代入到各个选项中得到正确答案为C．

考点：赋值法．不等式的性质．

11.如图所示，在中，点D是边的中点，则向量（    ）

A.  B.

C.  D.

【答案】D

【解析】

【分析】

根据向量线性运算法则可求得结果.

【详解】为中点   

本题正确选项：

【点睛】本题考查根据向量线性运算，用基底表示向量的问题，属于常考题型.

12.已知一个简单几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为

A.  B.  C.  D.

【答案】A

【解析】

由三视图知，该几何体有四分之一圆锥与三棱锥构成，故体积为，故选A.

二.填空题（共20分，每小题5分）

13.若实数满足约束条件，则的最大值为__________.

【答案】

【解析】

【分析】

先根据约束条件画出可行域，再利用几何意义求最值，表示直线在轴上截距的，只需求出直线在轴上的截距最小值即可.

【详解】解：不等式组表示的平面区域如图所示，

当直线过点时，
在轴上截距最小，又，
此时.
故答案为：.

【点睛】本题主要考查了简单的线性规划，以及利用几何意义求最值，属于基础题.

14.底面半径为2，母线长为4的圆柱，则圆柱的表面积为____

【答案】

【解析】

【分析】

计算出侧面积和底面积相加即得．

【详解】由题意．

故答案为：．

【点睛】本题考查圆柱的表面积，掌握基本几何体的表面积公式是解题关键．

15.记等差数列的前n项和为，已知，，则__________．

【答案】36；

【解析】

【分析】

利用等差数列的前项和公式求出首项与公差，再利用前项和公式即可求解.

【详解】由，，

则，解得，，

所以.

故答案为：36

【点睛】本题主要考查了等差数列的前项和公式，需熟记公式，属于基础题.

16.已知，，，则夹角________.

【答案】

【解析】

【分析】

利用向量的运算律和数量积公式直接求解即可.

【详解】设夹角为，则，得，

，

故答案为：

【点睛】本题考查向量的数量积及其运算律并求向量的夹角，属于基础题.

三.解答题：(本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)

17.设锐角的内角，，的对边分别为，，，且

（1）求角的大小；

（2）若，求的面积.

【答案】（I）（II）

【解析】

【分析】

（1）根据条件及正弦定理得到，于是可得所求角的大小．（2）先由余弦定理得到，然后再根据正弦定理求出三角形外接圆的半径，进而可得圆的面积．

【详解】（1）由正弦定理及条件得，

∵，

∴，

又三角形为锐角三角形，

∴．

（2）在中由余弦定理得，

∴．

设外接圆的半径为，

则，

∴，

∴外接圆的面积为．

【点睛】考查用正余弦定理解三角形的应用，解题时注意正弦定理中的比值与三角形外接圆半径间的关系，属于基础题．

18.已知平面向量，，

（1）若，求的值；

（2）若，与共线，求实数的值.

【答案】（1）；（2）4.

【解析】

【分析】

（1）结合已知求得：，利用平面向量的模的坐标表示公式计算得解.

（2）求得：，利用与共线可列方程，解方程即可.

【详解】解：（1），

所以.

（2），

因为与共线，所以，解得.

【点睛】本题主要考查了平面向量的模的坐标公式及平面向量平行的坐标关系，考查方程思想及计算能力，属于基础题．

19.已知等差数列满足．

（1） 求的通项公式；

（2） 设等比数列满足,求的前项和．

【答案】（1）（2）

【解析】

【分析】

（1）根据基本元的思想，将已知条件转化为的形式，列方程组，解方程组可求得的值.并由此求得数列的通项公式.（2）利用（1）的结论求得的值，根据基本元的思想，，将其转化为的形式，由此求得的值，根据等比数列前项和公式求得数列的前项和.

【详解】解：（1）设的公差为，则由得,

故的通项公式，即．

（2）由（1）得．

设的公比为，则，从而，

故的前项和．

【点睛】本小题主要考查利用基本元思想解有关等差数列和等比数列的问题，属于基础题.

20.中，内角A、B、C的对边分别为a、b、c，a=2，

（1）若b=4，求的值；

（2）若的面积为4，求b，c的值.

【答案】（1）；（2），

【解析】

【分析】

（1）用正弦定理求出；

（2）由三角形面积公式直接求出，然后用余弦定理求得．

【详解】（1）由题意，

由得；

（2）

．

【点睛】本题考查正弦定理和余弦定理，考查三角形面积公式，属于基础题．

21.已知数列的前项和为.

（1）求的通项公式；

（2）求使得最小时的值.

【答案】（1）；（2）或3

【解析】

【分析】

（1）根据，分别讨论，两种情况，即可求出结果；

（2）根据等差数列前项和的函数特征，即可得出结果.

【详解】（1）因为，

所以当时，；

当时，；

显然是，也满足，

所以；

(2) 因为，

又，所以当或时，取得最小值.

【点睛】本题主要考查由等差数列的前项和求通项，以及前项和取最值的问题，属于基础题型.

22.数列满足=，则数列的前2020项和为_______.

【答案】

【解析】

【分析】

由等差数列前项和公式求得后，用裂项相消法求的前2020项和

详解】由已知，

，

所以，

故答案为：．

【点睛】本题考查等差数列的前项和公式，考查裂项相消法求和，在数列求和中一些特殊方法需掌握：错位相减法，裂项相消法，分组（并项）求和法，倒序相加法等．