江苏省淮安市高中教学协作体2019-2020学年高一下学期期中考试数学试题 Word版含解析

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一、单项选择题（本大题共有8小题，每题5分，共40分）

1.已知直线l：x，则直线l的倾斜角为（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】

根据题意，由直线l的方程分析可得直线l是与x轴垂直的直线，据此可得答案.

【详解】根据题意，直线l：x，是与x轴垂直的直线，其倾斜角为.

故选：B.

【点睛】本题考查直线的斜率与倾斜角的关系，注意直线l是与x轴垂直的直线，属于基础题.

2.在空间直角坐标系中，已知点与点，若在轴上有一点满足，则点坐标为（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】A

【解析】

【分析】

根据题意，设的坐标，由空间两点间距离公式可得，解可得的值，即可得答案.

【详解】已知点与点，若在轴上有一点满足

设的坐标，

若，则有

解得：

即的坐标为

故选：A.

【点睛】本题考查空间中两点间距离的计算，注意轴上点的坐标的特点，考查了分析能力和计算能力，属于基础题.

3.若坐标原点在圆的内部，则实数的取值范围是（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】D

【解析】

【分析】

将原点坐标代入圆的方程得到不等式，解不等式得到结果.

【详解】把原点坐标代入圆的方程得:

解得：

本题正确选项：

【点睛】本题考查点与圆的位置关系的问题，属于基础题.

4.在△ABC中，若b＝8，c＝5，A＝120°，则a＝（    ）

A.  B.  C. 8 D.

【答案】D

【解析】

【分析】

利用余弦定理即可得出.

【详解】由余弦定理可得：a2＝82+52﹣2×8×5×cos120°＝129.

解得a.

故选：D.

【点睛】本题考查了余弦定理，考查了推理能力与计算能力，属于基础题.

5.点关于点的对称点的坐标是（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】A

【解析】

【分析】

根据题意，设的坐标为，分析可得为的中点，由中点坐标公式可得，解可得、的值，即可得答案.

【详解】根据题意，设的坐标为，

点与关于点的对称，

为的中点，

根据中点坐标公式可得：，

解可得，

即的坐标为

故选：A.

【点睛】本题考查中点坐标公式的应用，注意分析点为中点，考查了分析能力和计算能力，属于基础题.

6.斜率为1的直线l被圆x2+y2＝4x截得的弦长为4，则l的方程为（    ）

A. y＝x﹣3 B. y＝x+3 C. y＝x﹣2 D. y＝x+2

【答案】C

【解析】

【分析】

先由题设条件求得圆心的坐标及半径，再由弦长得出直线经过圆心这一结论，然后写出直线的方程.

【详解】由题设知圆心的坐标为（2，0），半径r＝2，又弦长为4＝2r，

所以直线l过圆心（2，0），且斜率为1，

∴直线l的方程为y＝x﹣2.

故选：C.

【点睛】本题主要考查如何由圆中的弦长求弦所在的直线方程，属于基础题.

7.△ABC中，若，则该三角形一定是（    ）

A. 等边三角形

B. 直角三角形

C. 等腰三角形或直角三角形

D. 等腰直角三角形

【答案】C

【解析】

【分析】

根据正弦定理把等式acosA＝bcosB的边换成角的正弦，再利用倍角公式化简整理得sin2A＝sin2B，进而推断A＝B，或A+B＝90°答案可得.

【详解】根据正弦定理可知

∵bcosB＝acosA，

∴sinBcosB＝sinAcosA

∴sin2A＝sin2B

∴A＝B，或2A+2B＝180°即A+B＝90°，

所以△ABC为等腰或直角三角形.

故选：C.

【点睛】本题主要考查了正弦定理的应用，考查计算能力，属基础题.

8.如图，长方体ABCD－A1B1C1D1中，AA1＝AB＝2，AD＝1，E，F，G 分别是DD1，AB，CC1的中点，则异面直线A1E与GF所成角为( )

A.  B.  C.  D.

【答案】D

【解析】

【详解】如图，连接B1G,B1F ．

则异面直线A1E与GF所成角为∠B1GF．

△B1GF中，得∠B1GF=

所以选D

考点：异面直线所成角的算法．

二、多项选择题（本大题共有4小题，每题5分，共20分）

9.已知A，B，C表示不同的点，L表示直线，α，β表示不同的平面，则下列推理错误的是(　　)

A. A∈L，A∈α，B∈L，B∈α⇒L⊂α

B. A∈α，A∈β，B∈α，B∈β⇒α∩β＝AB

C. L⊄α，A∈L⇒A∉α

D. A∈α，A∈L，L⊄α⇒L∩α＝A

【答案】C

【解析】

A为公理一，判断线在面内的依据，故正确；

B为公理二，判断两个平面相交的依据，正确；

C中l⊄α分两种情况：l与α相交或l∥α，l与α相交时，若交点为A，则C错误；

D A∈α，A∈L，说明直线与平面有公共点，又L⊄α，所以L∩α＝A，正确.

故选C

10.在中，若，则可能为（    ）

A  B.  C.  D.

【答案】AD

【解析】

【分析】

根据正弦定理“边化角”，求得，结合范围，即可求得的值.

【详解】由正弦定理可得：，

则，，

故：，

由

则或.

故选：AD.

【点睛】本题考查正弦定理的应用，解题关键是掌握正弦定理：，考查了分析能力和计算能力，属于基础题.

11.平行于直线x+2y+1＝0且与圆x2+y2＝4相切的直线的方程可能是（    ）

A. x+2y+5＝0 B. x+2y+20 C. 2x﹣y+5＝0 D. x+2y﹣20

【答案】BD

【解析】

【分析】

根据题意，设要求直线x+2y+m＝0，分析圆的圆心与半径，由直线与圆相切的性质可得d2，解可得m的值，将m的值代入即可得直线的方程，即可得答案.

【详解】根据题意，设要求直线x+2y+m＝0，

圆x2+y2＝4的圆心为（0，0），半径r＝2，

则有d2，解可得：m＝±2，

即要求直线的方程为x+2y±20；

故选：BD.

【点睛】本题考查直线与圆相切的性质，涉及直线平行的性质，属于基础题.

12.下列说法正确的是（    ）

A. 点（2，0）关于直线y＝x+1的对称点为（﹣1，3）

B. 过（x1，y1），（x2，y2）两点直线方程为

C. 经过点（1，1）且在x轴和y轴上截距都相等的直线方程为x+y﹣2＝0或x﹣y＝0

D. 直线x﹣y﹣4＝0与两坐标轴围成的三角形的面积是8

【答案】ACD

【解析】

【分析】

通过对称性判断A；两点式方程的体积判断B；截距式方程判断C，三角形的面积判断D；

【详解】点（2，0）与（﹣1，3）的中点（，）

满足直线y＝x+1，并且两点的斜率为﹣1，

所以点（2，0）关于直线y＝x+1的对称点为（﹣1，3），

所以A正确；

当x1≠x2，y1≠y2时，过（x1，y1），（x2，y2），

两点的直线方程为，所以B不正确；

经过点（1，1）且在x轴和y轴上截距都相等的直线方程

为x+y﹣2＝0或x﹣y＝0，所以正确；

直线x﹣y﹣4＝0，当x＝0时，y＝﹣4，当y＝0时，x＝4，

所以直线与两坐标轴围成的三角形的面积是：8，所以D正确；

故选：ACD.

【点睛】本题考查命题的真假的判断，直线方程的求法，直线的位置关系的判断，是基本知识的考查.

三、填空题（本大题共有4小题，每题5分，共20分）

13.在△ABC中，A＝60°，AB＝2，AC＝6，则△ABC的面积等于_____.

【答案】3

【解析】

【分析】

利用三角形面积计算公式即可得出.

【详解】解：由已知可得： 2×6sin60°＝3.

故答案为：3.

【点睛】本题考查了三角形面积计算公式，重点考查了计算能力，属于基础题.

14.圆与圆的公切线有_____条.

【答案】

【解析】

【分析】

求出两个圆的圆心与半径，判断两个圆的位置关系，然后判断公切线的条数.

【详解】因为圆化为，它的圆心坐标，半径为.

圆化为，它的圆心坐标，半径为.

因为，即圆心距等于两个圆的半径和，

所以两个圆相外切，所以两个圆的公切线有条.

故答案为：.

【点睛】本题考查两个圆的位置关系，直线与圆的位置关系的应用，圆心距与两个圆的半径和与差的关系是解题的关键，考查计算能力.

15.如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E，F依次是A1D1和B1C1的中点，则异面直线AE与CF所成角的余弦值为_____.

【答案】

【解析】

【分析】

先推导出BF∥AE，从而∠BFC是异面直线AE与CF所成角（或所成角的补角），由此能求出异面直线AE与CF所成角的余弦值.

【详解】解：在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，

∵E，F依次是A1D1和B1C1的中点，

∴BF∥AE，∴∠BFC是异面直线AE与CF所成角（或所成角的补角），

设正方体ABCD﹣A1B1C1D1中棱长为2，则BF＝CF，

∴cos∠BFC.

∴异面直线AE与CF所成角的余弦值为.

故答案为：.

【点睛】本题考查异面直线所成角的余弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题.

16.已知直线l：y＝k（x﹣2）+4与圆C：x2+（y﹣1）2＝4相切于点P，那么直线l恒过定点M的坐标为_____，切线长PM＝_____.

【答案】    (1). （2，4）    (2). 3

【解析】

【分析】

由直线系方程求解直线l恒过定点M的坐标；画出图形，数形结合求解切线长PM.

【详解】解：由直线l：y＝k（x﹣2）+4，得k（x﹣2）+4﹣y＝0，

则，即.

∴直线l恒过定点M的坐标为（2，4）；

如图，

∵M（2，4），圆心C（0，1），

∴切线长PM＝.

故答案为：（2，4）；3.

【点睛】本题考查直线系方程的应用，考查直线与圆的位置关系，考查数形结合的解题思想方法，是中档题.

四、解答题（本大题共有6小题，第17题10分，其余每题12分，共70分）

17.已知平面内两点M（4，﹣2），N（2，4）.

（1）求MN的垂直平分线方程；

（2）直线l经过点A（3，0），且点M和点N到直线l的距离相等，求直线l的方程.

【答案】（1）x﹣3y＝0（2）x＝3或3x+y﹣9＝0

【解析】

【分析】

（1）求出线段MN中点坐标和直线MN的斜率，再求线段MN中垂线的斜率和直线方程；

（2）分别求出直线l与直线MN平行时和过MN的中点时的直线方程即可.

【详解】解：（1）平面内两点M（4，﹣2），N（2，4），所以MN中点坐标为（3，1），

又直线MN的斜率为，

所以线段MN的中垂线的斜率为，

线段MN的中垂线的方程为，

即x﹣3y＝0.

（2）当直线l与直线MN平行时，由（1）知，kMN＝﹣3，

所以此时直线l的方程为y＝﹣3（x﹣3），即3x+y﹣9＝0；

当直线l经过点（3，1）时，此时直线的斜率不存在，

所以直线方程为x＝3；

综上知，直线l的方程为x＝3或3x+y﹣9＝0.

【点睛】本题考查了直线方程的求法与应用问题，是基础题.

18.已知圆x2+y2＝4，直线y＝x﹣b，当b为何值时，

（1）圆与直线没有公共点；

（2）圆与直线只有一个公共点；

（3）圆与直线有两个公共点.

【答案】（1）b或b（2）b（3）b＜2

【解析】

【分析】

（1）由圆心到直线距离大于圆的半径求解即可；

（2）由圆心到直线的距离等于圆的半径求解即可；

（3）由圆心到直线的距离小于圆的半径求解即可.

【详解】解：由圆的方程x2+y2＝4可得，该圆的圆心O（0，0），半径r＝2，

圆心到直线y＝x﹣b的距离为d.

（1）当d＞r，即，即b或b时，直线与圆相离，无公共点；

（2）当d＝r，即，即b时，直线与圆相切，有一个公共点；

（3）当d＜r，即，即b＜2时，直线与圆相交，有两个公共点.

【点睛】本题考查直线与圆位置关系的应用，考查点到直线距离公式的应用，是基础题.

19.△ABC中，BC＝7，AB＝4，且.

（1）求AC的长；

（2）求△ABC的面积.

【答案】（1）5（2）4

【解析】

【分析】

（1）由已知结合正弦定理即可求解AC，

（2）由已知结合余弦定理可求A，然后结合三角形的面积公式即可求解.

【详解】解：（1）△ABC中，BC＝7，AB＝4，且，

由正弦定理得：⇒⇒AC5.

（2）由余弦定理得：cosA，

因为A∈（0，π），

所以sinA.

所以△ABC的面积为AB•ACsinA4×54.

【点睛】本题主要考查了正弦定理，余弦定理及三角形的面积公式的简单应用，属于基础题.

20.已知圆C的方程为x2+y2﹣4x﹣12＝0，点P（3，1）.

（1）求该圆的圆心坐标及半径；

（2）求过点P的直线被圆C截得弦长最大时的直线l的方程；

（3）若圆C的一条弦AB的中点为P，求直线AB的方程.

【答案】（1）圆心C（2，0），半径r＝4（2）x﹣y﹣2＝0（3）x+y﹣4＝0

【解析】

【分析】

（1）由圆的标准方程得出圆心坐标以及半径；

（2）弦长最大即为直径，直线l为圆心C与点P的连线所在直线方程；

（3）弦AB中点与圆心连线与直线AB垂直，可得斜率，再由点P坐标可得直线AB的方程.

【详解】（1）由圆的方程为x2+y2﹣4x﹣12＝0，

则（x﹣2）2+y2＝16,

故圆心C（2，0），半径r＝4.

（2）因为直线被圆截得的弦长最大时是过圆心的直线，所以直线l过点C，

由过点P，C的斜率为，

所以直线l的方程为y﹣1＝x﹣3，

故直线l的方程为x﹣y﹣2＝0.

（3）由弦AB的中垂线为CP，则,

所以可得kAB＝﹣1，

故直线AB的方程为：y﹣1＝（﹣1）（x﹣3）,

故直线AB的方程为x+y﹣4＝0.

【点睛】本题考查圆的方程，直线的方程，以及直线与圆的位置关系，属于中档题.

21.已知△ABC的三个顶点分别为A(﹣2，0)，B(0，2)，C(2，﹣2)，求：

（1）AB边上的高所在直线的方程；

（2）△ABC的外接圆的方程.

【答案】（1）x+y＝0（2）

【解析】

【分析】

（1）求出直线AB的斜率和AB边上的高所在的直线斜率，由点斜式写出AB边上的高所在直线方程,即可得解；

（2）设出△ABC外接圆的方程，代入三点坐标即可求得对应系数,即可得解.

【详解】（1）由题意直线AB的斜率为，

所以AB边上的高所在直线斜率为k′＝1，

所以AB边上的高所在直线的方程为y+2＝(x2)，

即x+y＝0；

（2）设△ABC的外接圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F＝0，

由题意得，解得；

所以△ABC的外接圆的方程为.

【点睛】本题考查了直线与圆的方程的应用问题，考查了运算求解能力，属于基础题.

22.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c.若asinB＝8sinA，C，a2+c2﹣b2ac.

（1）求c的长；

（2）求的值.

【答案】（1）（2）

【解析】

【分析】

（1）由asinB＝8sinA利用正弦定理可求b，由a2+c2﹣b2ac用余弦定理可求B，利用正弦定理即可求c的长；

（2）由（1）结合三角恒等变换可求角A的三角函数值，再用差角的余弦公式即可得解.

【详解】（1）由asinB＝8sinA，结合正弦定理，得ab＝8a，所以b＝8，

因为，所以.

因0＜B＜π，所以，

由正弦定理，可得；

（2）在△ABC中，A+B+C＝π，所以A＝π﹣(B+C)，

于是，

又，，故，

因为0＜A＜π，所以.

因此.

【点睛】本题考查了三角恒等变换、正弦定理、余弦定理的综合应用，考查了运算求解能力，属于中档题.