2023年山东省枣庄市台儿庄区中考三模数学试题（含解析）

这是一份2023年山东省枣庄市台儿庄区中考三模数学试题（含解析），共25页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

2023年山东省枣庄市台儿庄区中考三模数学试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一、单选题
1．以下计算正确的是（    ）
A． B．
C． D．
2．如图，AB∥CD，EF与AB，CD分别交于点G，H，∠CHG的平分线HM交AB于点M，若∠EGB＝50°，则∠GMH的度数为（　　）

A．50° B．55° C．60° D．65°
3．下列各式从左到右的变形属于因式分解的是（   ）
A． B．
C． D．
4．如图，菱形对角线交点与坐标原点重合，点，则点的坐标为（    ）

A． B． C． D．
5．将直线向上平移2个单位，相当于（    ）
A．向左平移2个单位 B．向左平移1个单位
C．向右平移2个单位 D．向右平移1个单位
6．若关于x的方程无解，则m的值为（    ）
A．0 B．4或6 C．6 D．0或4
7．正整数a、b分别满足，，则（    ）
A．4 B．8 C．9 D．16
8．如图，在半径为的中，弦与交于点，，，则的长是（　　）

A． B． C． D．
9．二次函数的图象如图所示，有如下结论：①；②；③；④（m为实数）．其中正确结论的个数是（ ）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
10．如图，点P是矩形ABCD的对角线AC上一点，过点P作EF∥BC，分别交AB，CD于E、F，连接PB、PD．若AE=2，PF=8．则图中阴影部分的面积为（　　）

A．10 B．12 C．16 D．18

二、填空题
11．已知，，则________.
12．从不等式组所有整数解中任取一个数，它是偶数的概率是 _____．
13．已知⊙O的直径AB长为2，弦AC长为，那么弦AC所对的圆周角的度数等于_____．
14．如图，在四边形中，，平分．若，，则______．

15．按一定顺序排列的一列数叫做数列，如数列：，，，，…，则这个数列前2023个数的和为__．
16．如图，矩形中，，是的中点，线段在边上左右滑动；若，则的最小值为____________．


三、解答题
17．已知，求下列各式的值：
(1)；
(2)．
18．为了加强心理健康教育，某校组织七年级（1）（2）两班学生进行了心理健康常识测试（分数为整数，满分为10分），已知两班学生人数相同，根据测试成绩绘制了如下所示的统计图．
  
(1)求（2）班学生中测试成绩为10分的人数；
(2)请确定下表中a，b，c的值（只要求写出求a的计算过程）；
统计量
平均数
众数
中位数
方差
（1）班
8
8
c
1.16
（2）班
a
b
8
1.56
(3)从上表中选择合适的统计量，说明哪个班的成绩更均匀．
19．某景区A、B两个景点位于湖泊两侧，游客从景点A到景点B必须经过C处才能到达．观测得景点B在景点A的北偏东30°，从景点A出发向正北方向步行600米到达C处，测得景点B在C的北偏东75°方向．

(1)求景点B和C处之间的距离；（结果保留根号）
(2)当地政府为了便捷游客游览，打算修建一条从景点A到景点B的笔直的跨湖大桥．大桥修建后，从景点A到景点B比原来少走多少米？（结果保留整数．参考数据：≈1.414，≈1.732）
20．如图，在平面直角坐标系xOy中，菱形ABCD的对角线AC与BD交于点P（-1，2），AB⊥x轴于点E，正比例函数y=mx的图像与反比例函数的图像相交于A，P两点．
（1）求m，n的值与点A的坐标；
（2）求证：∽
（3）求的值

21．在数的学习过程中，我们总会对其中一些具有某种特性的数充满好奇，如学习自然数时，我们发现一种特殊的自然数——“好数”．
定义：对于三位自然数n，各位数字都不为0，且百位数字与十位数字之和恰好能被个位数字整除，则称这个自然数n为“好数”．
例如：426是“好数”，因为4，2，6都不为0，且4+2=6，6能被6整除；
643不是“好数”，因为6+4=10，10不能被3整除．
（1）判断312，675是否是“好数”？并说明理由；
（2）求出百位数字比十位数字大5的所有“好数”的个数，并说明理由．
22．如图，用四根木条钉成矩形框，把边固定在地面上，向右推动矩形框，矩形框的形状会发生改变（四边形具有不稳定性）．

(1)通过观察分析，我们发现图中线段存在等量关系，如线段由旋转得到，所以．我们还可以得到＝ ， ＝ ；
(2)进一步观察，我们还会发现∥，请证明这一结论；
(3)已知，若 恰好经过原矩形边的中点 ，求与之间的距离．
23．定义：对角线互相垂直且相等的四边形叫做垂等四边形．
（1）下面四边形是垂等四边形的是____________（填序号）
①平行四边形；②矩形；③菱形；④正方形
（2）图形判定：如图1，在四边形中，∥，，过点D作BD垂线交BC的延长线于点E，且，证明：四边形是垂等四边形．
（3）由菱形面积公式易知性质：垂等四边形的面积等于两条对角线乘积的一半．应用：在图2中，面积为24的垂等四边形内接于⊙O中，．求⊙O的半径．

24．已知抛物线经过A（－1，0）、B（0、3）、 C（3，0）三点，O为坐标原点，抛物线交正方形OBDC的边BD于点E，点M为射线BD上一动点，连接OM ，交BC于点F

(1)求抛物线的表达式；
(2)求证：∠BOF＝∠BDF ：
(3)是否存在点M使△MDF为等腰三角形？若不存在，请说明理由；若存在，求ME的长

参考答案：
1．D
【分析】利用积的乘方判断A，利用同类项与合并同类项法则判断B，利用积的乘方，单项式与单项式相乘法则判断C，单项式乘以多项式法则判断D即可．
【详解】，故A选项错误；
不能合并同类项，故B选项错误；
，故C选项错误；
，故D选项正确．
故选择：D．
【点睛】本题考查整式的运算；熟练掌握积的乘方，同类项定义与合并同类项法则，单项式乘以单项式法则，单项式乘以多项式法则是解题的关键．
2．D
【分析】由AB∥CD，利用“两直线平行，内错角相等”可得出∠EHD的度数，利用邻补角互补可求出∠CHG的度数，结合角平分线的定义可求出∠CHM的度数，由AB∥CD，利用“两直线平行，内错角相等”可得出∠GMH=∠CHM=65°，此题得解．
【详解】解：∵AB∥CD，
∴∠EHD＝∠EGB＝50°，
∴∠CHG＝180°﹣∠EHD＝180°﹣50°＝130°．
∵HM平分∠CHG，
∴∠CHM＝∠GHM＝∠CHG＝65°．
∵AB∥CD，
∴∠GMH＝∠CHM＝65°．
故选D．
【点睛】本题考查了平行线的性质，牢记“两直线平行，内错角相等”是解题的关键．
3．D
【分析】由题意根据因式分解的概念，对选项进行逐一判断即可.
【详解】解：因式分解是把一个多项式化为几个整式的积的形式，
A. ，不是几个整式的积的形式，故选项A错误；
B. ，不是几个整式的积的形式，故选项B错误；
C. ，右边含有分式，不是几个整式的积的形式，故选项C错误；
D. ，为完全平方式，故选项D正确.
故选：D.
【点睛】本题考查因式分解的概念，熟练掌握和理解因式分解的概念是解题关键．
4．B
【分析】根据菱形的中心对称性，A、C坐标关于原点对称，利用横反纵也反的口诀求解即可．
【详解】∵菱形是中心对称图形，且对称中心为原点，
∴A、C坐标关于原点对称，
∴C的坐标为，
故选C．
【点睛】本题考查了菱形的中心对称性质，原点对称，熟练掌握菱形的性质，关于原点对称点的坐标特点是解题的关键．
5．B
【分析】函数图象的平移规律：左加右减，上加下减，根据规律逐一分析即可得到答案．
【详解】解：将直线向上平移2个单位，可得函数解析式为：
直线向左平移2个单位，可得 故A不符合题意；
直线向左平移1个单位，可得 故B符合题意；
直线向右平移2个单位，可得 故C不符合题意；
直线向右平移1个单位，可得 故D不符合题意；
故选B
【点睛】本题考查的是一次函数图象的平移，掌握一次函数图象的平移规律是解本题的关键．
6．D
【分析】先将分时方程化为整式方程，再根据方程无解的情况分类讨论，当时，当时，或，进行计算即可．
【详解】方程两边同乘，得，
整理得，
原方程无解，
当时，；
当时，或，此时，，
解得或，
当时，无解；
当时，，解得；
综上，m的值为0或4；
故选：D．
【点睛】本题考查了分式方程无解的情况，即分式方程有增根，分两种情况，分别是最简公分母为0和化成的整式方程无解，熟练掌握知识点是解题的关键．
7．D
【分析】根据a、b的取值范围，先确定a、b，再计算．
【详解】解：，，
，，
．
故选：D．
【点睛】本题主要考查无理数的估值，掌握立方根，平方根的意义，并能根据a、b的取值范围确定的值是解题的关键．
8．C
【分析】过点作于点，于，连接，由垂径定理得出，得出，由勾股定理得出，证出是等腰直角三角形，得出，求出，由直角三角形的性质得出，由勾股定理得出，即可得出答案．
【详解】解：过点作于点，于，连接，如图所示：
则，
∴，
在中，，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴，，
∵，
∴，
∴，
在中，，
∴；
故选C．

【点睛】考核知识点：垂径定理.利用垂径定理和勾股定理解决问题是关键.
9．D
【分析】由抛物线的对称轴公式即可对②进行判断；由抛物线的开口方向可判断a，结合抛物线的对称轴可判断b，根据抛物线与y轴的交点可判断c，进而可判断①；由图象可得：当x=3时，y＞0，即9a+3b+c＞0，结合②的结论可判断③；由于当x=1时，二次函数y取最小值a+b+c，即（m为实数），进一步即可对④进行判断，从而可得答案．
【详解】解：∵抛物线的开口向上，∴a＞0，
∵抛物线的对称轴是直线x=1，∴，
∴b＜0，，故②正确；
∵抛物线与y轴交于负半轴，∴c＜0，
∴，故①正确；
∵当x=3时，y＞0，∴9a+3b+c＞0，
∵，∴，
整理即得：，故③正确；
∵当x=1时，二次函数y取最小值a+b+c，
∴（m为实数），即（m为实数），故④正确．
综上，正确结论的个数有4个．
故选：D．
【点睛】本题考查了二次函数的图象与性质、二次函数与其系数间的关系等知识，属于常考题型，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键．
10．C
【分析】首先根据矩形的特点，作PM⊥AD于M，交BC于N，可以得到S△ADC=S△ABC，S△AMP=S△AEP，S△PFC=S△PCN，最终得到S矩形EBNP= S矩形MPFD ,即可得S△PEB=S△PFD，从而得到阴影的面积．
【详解】解：作PM⊥AD于M，交BC于N．

则有四边形AEPM，四边形DFPM，四边形CFPN，四边形BEPN都是矩形，
∴S△ADC=S△ABC，S△AMP=S△AEP，S△PFC=S△PCN
∴S矩形EBNP= S矩形MPFD ,
又∵S△PBE= S矩形EBNP，S△PFD=S矩形MPFD，
∴S△DFP=S△PBE=×2×8=8，
∴S阴=8+8=16，
故选：C．
【点睛】本题考查矩形的性质、三角形的面积等知识，解题的关键是证明S△PEB=S△PFD．
11．12
【分析】将式子变形为，再代入计算即可．
【详解】解：∵，，
∴，
故答案为：12．
【点睛】本题考查同底数幂的逆运算，积的乘方，幂的乘方，正确变形是解题的关键．
12．/0.6
【分析】首先求得不等式组的所有整数解，然后由概率公式求得答案．
【详解】解：，
由①得：x≤6，
由②得：x＞1，
∴不等式组的解集为：1＜x≤6，
∴整数解有：2，3，4，5，6；
∴它是偶数的概率是，
故答案为：．
【点睛】本题考查了概率公式的应用以及不等式组的解集，解题的关键是掌握这些知识点．
13．45°或135°
【分析】直径所对圆周角是直角，勾股定理求出BC，证得△ABC为等腰直角三角形
即可解得．
【详解】解：如图

连接BC，
∵⊙O的直径AB
∴∠ACB=90°
根据勾股定理得

∴
∴△ABC为等腰直角三角形
∴∠ABC=45°
=135°
∴弦AC所对的圆周角的度数等于45°或者135°
【点睛】此题考查了求圆周角，解题的关键是构造直角三角形．
14．
【分析】过点作的垂线交于，证明出四边形为矩形，为等腰三角形，由勾股定理算出，，即可求解．
【详解】解：过点作的垂线交于，


，
四边形为矩形，
，
，
平分，
，
，
，
∴∠CDB=∠CBD
，
，
，
，

，
，
故答案为：．
【点睛】本题考查了锐角三角函数、矩形、等腰三角形形、勾股定理、平行线的性质，解题的关键是构造直角三角形求解．
15．
【分析】根据数列得出第n个数为，据此可得前2023个数的和为，再用裂项求和计算可得．
【详解】由数列知：第n个数为，
则前2023个数的和为



，
故答案为：．
【点睛】本题考查了规律题、有理数的加减混合运算等，熟练掌握有理数混合运算的法则以及得出第n个数为是解题的关键．
16．
【分析】如图，作G关于AB的对称点G'，在CD上截取CH=1，然后连接HG'交AB于E，在EB上截取EF=1，此时GE+CF的值最小，可得四边形EFCH是平行四边形，从而得到G'H=EG'+EH=EG+CF，再由勾股定理求出HG'的长，即可求解．
【详解】解：如图，作G关于AB的对称点G'，在CD上截取CH=1，然后连接HG'交AB于E，在EB上截取EF=1，此时GE+CF的值最小，

∴G'E=GE，AG=AG'，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AB∥CD，AD=BC=2
∴CH∥EF，
∵CH=EF=1，
∴四边形EFCH是平行四边形，
∴EH=CF，
∴G'H=EG'+EH=EG+CF，
∵AB=4，BC=AD=2，G为边AD的中点，
∴AG=AG'=1
∴DG′=AD+AG'=2+1=3，DH=4-1=3，
∴，
即的最小值为．
故答案为：
【点睛】此题主要考查了利用轴对称求最短路径问题，矩形的性质，勾股定理等知识，确定GE+CF最小时E，F位置是解题关键．
17．(1)
(2)47

【分析】（1）利用完全平方公式的变形求解即可；
（2）利用完全平方公式的变形求解即可．
【详解】（1）∵





∴；
（2）∵
∴
∴
∴
∴
∴
∴．
【点睛】本题主要考查通过对完全平方公式的变形求值．熟练掌握完全平方公式并能灵活运用是解答本题的关键．
18．(1)（2）班学生中测试成绩为10分的人数是6人
(2)a，b，c的值分别为8，9，8
(3)（1）班成绩更均匀

【分析】（1）根据条形图求出人数，根据扇形统计图求出所占百分比，即可得出结论；
（2）根据（1）中数据分别计算a，b，c的值即可；
（3）根据方差越小，数据分布越均匀判断即可．
【详解】（1）解：由题意知，（1）班和（2）班人数相等，为：5+10+19+12+4＝50（人），
∴（2）班学生中测试成绩为10分的人数为：50×（1﹣28%﹣22%﹣24%﹣14%）＝6（人），
答：（2）班学生中测试成绩为10分的人数是6人；
（2）由题意知：
a＝＝8；
∵9分占总体的百分比为28%是最大的，
∴9分的人数是最多的，
∴众数为9分，即b＝9；
由题意可知，（1）班的成绩按照从小到大排列后，中间两个数都是8，
∴c＝＝8；
答：a，b，c的值分别为8，9，8；
（3）∵（1）班的方差为1.16，（2）班的方差为1.56，且1.16＜1.56，
∴根据方差越小，数据分布越均匀可知（1）班成绩更均匀．
【点睛】本题主要考查统计的知识，根据方差判断稳定性，熟练根据统计图得出相应的数据是解题的关键．
19．(1)
(2)205m

【分析】（1）过点C作CD⊥AB于点D，分别在Rt△ACD和Rt△CDB中，解直角三角形即可求得BC的长；
（2）由题意可得AC+BC及AB的长，则计算AC+BC−AB即可求得结果．
【详解】（1）过点C作CD⊥AB于点D，
由题意得，∠A＝30°，∠BCE＝75°，AC＝600m，
在Rt△ACD中，∠A＝30°，AC＝600，
∴CD＝AC＝300（m），
AD＝AC＝300（m），
∵∠BCE＝75°＝∠A+∠B，
∴∠B＝75°﹣∠A＝45°，
∴CD＝BD＝300（m），
BC＝CD＝300（m），

故景点B和C处之间的距离为300m；
（2）由题意得：AC+BC＝（600+300）m，
AB＝AD+BD＝（300+300）m，
AC+BC﹣AB＝（600+300）﹣（300+300）
≈204.6
≈205（m），
即大桥修建后，从景点A到景点B比原来少走约205m．
【点睛】本题是解直角三角形的实际应用，关键理解方位角，并通过作辅助线把非直角三角形转化为直角三角形是解题的关键．对于非直角三角形问题，常常作垂线转化为直角三角形问题解决．
20．（1），，点的坐标是；（2）见解析；（3）.
【分析】（1）根据点P的坐标，利用待定系数法可求出m，n的值，利用正、反比例函数图象的对称性结合点P的坐标找出点A的坐标即可解答；
（2）由菱形的性质可得出AC⊥BD，AB∥CD，利用平行线的性质可得出∠DCP=∠OAE，结合AB⊥x轴可得出∠AEO=∠CPD=90°，进而即可证出△CPD∽△AEO；
（3）由点A的坐标可得出AE，OE，AO的长，由相似三角形的性质可得出∠CDP=∠AOE，再利用正弦的定义即可求出sin∠CDB的值．
【详解】解：（1）∵正比例函数，反比例函数均经过点，
∴，，
解得：，.
∴正比例函数，反比例函数.
又正比例函数与反比例函数均是中心对称图形，则其两个交点也成中心对称点，
∵，
∴点的坐标是.
（2）证明：∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，AB∥CD，
∴∠DCP=∠BAP，即∠DCP=∠OAE．
∵AB⊥x轴，
∴∠AEO=∠CPD=90°，
∴△CPD∽△AEO．
（3）∵点的坐标是.
∴，，
∴，
∵，
∴△CPD∽△AEO，
∴.
【点睛】本题考查了待定系数法求一次函数解析式、待定系数法反比例函数解析式、一次函数图象上点的坐标特征、反比例函数图象上点的坐标特征、菱形的性质、相似三角形的判定与性质以及解直角三角形，熟练掌握是解题的关键.
21．（1）312是“好数”，675不是“好数”，理由见解析；（2）611，617，721，723，729，831，941．理由见解析．
【分析】（1）根据“好数”的定义进行判断即可；
（2）设十位数字为x，个位数字为y，则百位数字为（x+5）．根据题意判断出x、y取值，根据“好数”定义逐一判断即可．
【详解】（1）∵3，1，2都不为0，且3+1=4，4能被2整除，∴312是“好数”．
∵6，7，5都不为0，且6+7=13，13不能被5整除，∴675不是“好数”；
（2）设十位数字为x，个位数字为y，则百位数字为（x+5）．其中x，y都是正整数，且1≤x≤4，1≤y≤9.十位数字与个位数字的和为：2x+5．
当x=1时，2x+5=7，此时y=1或7，“好数”有：611，617
当x=2时，2x+5=9，此时y=1或3或9，“好数”有：721，723，729
当x=3时，2x+5=11，此时y=1，“好数”有：831
当x=4时，2x+5=13，此时y=1，“好数”有：941
所以百位数字比十位数字大5的所有“好数”的个数是7．
【点睛】本题为“新定义”问题，理解好“新定义”，并根据已有数学知识和隐含条件进行分析，转化为所学数学问题是解题关键．
22．(1)CD，AD；
(2)见解析；
(3)EF于BC之间的距离为64cm．

【分析】（1）由推动矩形框时，矩形ABCD的各边的长度没有改变，可求解；
（2）通过证明四边形BEFC是平行四边形，可得结论；
（3）由勾股定理可求BH的长，再证明△BCH∽△BGE，得到，代入数值求解EG，即可得到答案．
【详解】（1）解：∵ 把边固定在地面上，向右推动矩形框，矩形框的形状会发生改变（四边形具有不稳定性）．
∴由旋转的性质可知矩形ABCD的各边的长度没有改变，
∴AB＝BE，EF＝AD，CF＝CD，
故答案为：CD，AD；
（2）解：∵四边形ABCD是矩形，
∴ADBC，AB＝CD，AD＝BC，
∵AB＝BE，EF＝AD，CF＝CD，
∴BE＝CF，EF＝BC，
∴四边形BEFC是平行四边形，
∴EFBC，
∴EFAD；
（3）解：如图，过点E作EG⊥BC于点G，

∵DC＝AB＝BE＝80cm，点H是CD的中点，
∴ CH＝DH＝40cm，
在Rt△BHC中，∠BCH＝90°，
BH＝（cm），
∵ EG⊥BC，
∴∠EGB＝∠BCH＝90°，
∴CHEG，
∴ △BCH∽△BGE，
∴，
∴，
∴EG＝64，
∵ EFBC，
∴EF与BC之间的距离为64cm．
【点睛】此题考查了矩形的性质、平行四边形的判定和性质、勾股定理、相似三角形的判定和性质等知识，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键．
23．（1）④；（2）证明过程见解析；③4
【分析】（1）根据垂等四边形的性质对每个图形判断即可；
（2）根据已知条件可证明四边形ACED是平行四边形，即可得到AC=DE，再根据等腰直角三角形的性质即可得到结果；
（3）过点O作，根据面积公式可求得BD的长，根据垂径定理即可得到答案．
【详解】（1）①平行四边形的对角线互相平分但不垂直和相等，故不是；②矩形对角线相等但不垂直；③菱形的对角线互相垂直但不相等；④正方形的对角线互相垂直且相等，故正方形是垂等四边形；
（2）∵，，
∴AC∥DE，
又∵∥，
∴四边形ADEC是平行四边形，
∴AC=DE，
又∵，
∴△BDE是等腰直角三角形，
∴BD=DE，
∴BD=AC，
∴四边形是垂等四边形．
（3）如图，过点O作，

∵四边形是垂等四边形，
∴AC=BD，
又∵垂等四边形的面积是24，,根据垂等四边形的面积计算方法得：
，
又∵，
∴，
设半径为r，根据垂径定理可得：
在△ODE中，OD=r，DE=，
∴，
∴的半径为4．
【点睛】本题主要考查了四边形性质与圆的垂径定理应用，准确理解新定义的垂等四边形的性质是解题的关键．
24．(1)
(2)见解析
(3)存在，或

【分析】（1）设抛物线的表达式为，将A（－1，0）、B（0、3）、C（3，0）代入，直接利用待定系数法求解即可；
（2）由正方形的性质可得，即可证明，根据全等三角形的性质即可求证；
（3）分别讨论：当点M在线段BD的延长线上时，当点M在线段BD上时，依次用代数法和几何法求解即可．
【详解】（1）设抛物线的表达式为，
将A（－1，0）、B（0、3）、C（3，0）代入，
得，解得，
抛物线的表达式为；
（2）四边形OBDC是正方形，
，
，
，
；
（3）存在，理由如下：
当点M在线段BD的延长线上时，此时，
，
设，
设直线OM的解析式为，
，
解得，
直线OM的解析式为，
设直线BC的解析式为，
把B（0、3）、 C（3，0）代入，得，
解得，
直线BC的解析式为，
令，解得，则，
，
四边形OBDC是正方形，
，
，
，
，
，
解得或或，
点M为射线BD上一动点，
，
，
，
当时，解得或，
，
．
当点M在线段BD上时，此时，，

，
，
，
由（2）得，
四边形OBDC是正方形，
，
，
，
，
，
，
，
，
；
综上，ME的长为或．
【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，求一次函数解析式，正方形的性质，全等三角形的判定和性质，解直角三角形等，熟练掌握知识点是解题的关键．