2023年辽宁省营口市第一中学中学三模数学试题（含解析）

这是一份2023年辽宁省营口市第一中学中学三模数学试题（含解析），共30页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．下列交通标志是轴对称图形的是（ ）
A．B．C．D．
2．在，1，，中，最小的实数是（ ）
A．B．1C．D．
3．下列运算正确的是（ ）
A．x2+x＝x3B．（﹣3x）2＝6x2
C．3y•2x2y＝6x2y2D．（x﹣2y）（x+2y）＝x2﹣2y2
4．从班上13名排球队员中，挑选7名个头高的参加校排球比赛．若这13名队员的身高各不相同，其中队员小明想知道自己能否入选，只需知道这13名队员身高数据的（ ）
A．平均数B．中位数C．最大值D．方差
5．若关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
6．十一期间，几名同学共同包租一辆中巴车去红海滩游玩，中巴车的租价为480元，出发时又有4名学生参加进来，结果每位同学比原来少分摊4元车费．设原来游玩的同学有x名，则可得方程（ ）
A．B．
C．D．
7．已知，是一次函数图象上的两点，若的最小值为，则a的值为（ ）
A．B．9C．或9D．9或11
8．如图，在中，，以为直径的与，分别交于点，，连接，，若，，则阴影部分的面积为（ ）

A．B．C．D．
9．如图所示，在菱形中，对角线与相交于点，过点作交的延长线于点，下列结论不一定正确的是（ ）
A．B．是直角三角形
C．D．
10．二次函数 的图象如图所示，对于下列结论：①；②；③；④对于任意的实数m，总有；其中正确的个数是（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
二、填空题
11．我国南水北调中线一期工程自年月全面通水以来，截止目前，直接受益人口超，成为余座大中城市名副其实的供水“生命线”，将数据用科记数法表示为__________．
12．使代数式有意义的x的取值范围是_______．
13．一个角的补角比这个角大，则这个角的度数是___________．
14．在中，，，将绕点逆时针旋转得到，旋转角为，点的对应点落在边上时，旋转角的度数为__________.

15．如图，在平面直角坐标系中，的边在x轴上，顶点A在y轴的正半轴上，点D在第一象限，将沿y轴翻折，使点B落在x轴上的点E处，，与交于点F．若图象经过点D，且，则k的值为______．

16．如图，在中，以点为圆心，以2为半径画弧，交边于点，交边于点，分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在内部交于点，画射线与边交于点，过作的平行线恰好经过点，则的值为__________．

三、解答题
17．先化简，再求值，其中
18．某中学为了解学生体育科目训练情况，从该校九年级学生中随机抽取了部分学生进行了一次测试（测试结果分为四个等级，A：优秀：B：良好；C：及格；D：不及格）并将测试结果绘成如下两幅不完整的统计图，请根据统计图中信息解答下列问题：

(1)本次抽样测试中，一共抽测了__________名学生；图1中度数是__________；
(2)将图2中条形统计图补充完整；
(3)该校九年级共人，如果全部参加测试，请估计不及格的人数为__________人；
(4)测试老师想从4名同学（分别记为E、F、G、H，其中E为小明）中，随机选择两位同学了解平时训练情况，请用列表或画树状图法求出选中小明的概率．
19．如图，在菱形中，点分别是边上的点，．连接，延长交线段的延长线于点．
(1)求证：；
(2)若，则的长是___________．
20．如图，和是同一水平地面上的两座楼房，已知楼的高为米，在楼的楼顶点测得楼的楼顶的仰角为，楼底的俯角为，求楼的高．（结果保留根号，参考数据：）
21．如图，正比例函数 y kx（k为常数）的图像与反比例函数（x>0）的图像交于点 A（a，3）．点 B 为 x 轴正半轴上一动点，过点 B 作 x 轴的垂线交反比例函数的图像于点 C，交正比例函数的图像于点 D.
(1)求 a 的值及正比例函数 y  kx 的表达式；
(2)若CD=，求线段 OB 的长．
22．铁岭“荷花节”举办了为期15天的“荷花美食”厨艺秀．小张购进一批食材制作特色美食，每盒售价为50元，由于食材需要冷藏保存，导致成本逐日增加，第x天（1≤x≤15且x为整数）时每盒成本为p元，已知p与x之间满足一次函数关系；第3天时，每盒成本为21元；第7天时，每盒成本为25元，每天的销售量为y盒，y与x之间的关系如下表所示：
（1）求p与x的函数关系式； （2）若每天的销售利润为w元，求w与x的函数关系式，并求出第几天时当天的销售利润最大，最大销售利润是多少元？
（3）在“荷花美食”厨艺秀期间，共有多少天小张每天的销售利润不低于325元？请直接写出结果．
23．如图，是的直径，点C是弧的中点，过点C作于点E，连接．

(1)判断与的位置关系，并证明；
(2)若，，求的半径．
24．如图1，和均为等边三角形，连接BD，CE．
(1)直接写出BD与CE的数量关系为_________，直线BD与CE所夹锐角为__________度；
(2)将绕点A逆时针旋转至如图2，取BC，DE的中点M，N，连接MN，试问：的值是否随图形的旋转而变化？若不变，请求出该值；若变化，请说明理由；
(3)若，当图形旋转至B，D，E三点在一条直线上时，请画出图形，并直接写出MN的值为_______
25．如图，抛物线交轴于点，交轴于点，将线段绕点逆时针旋转得到线段，点在抛物线上，连接并延长交轴于点．
(1)求抛物线的解析式．
(2)将以每秒1个单位长度的速度沿方向平移，当点与点重合时停止运动．设平移的时间为秒，与重叠部分的面积为，求与之间的函数解析式．
(3)在坐标平面内存在一点，使得以为顶点的三角形与全等，直接写出点的坐标．
第x天
1≤x≤6
6＜x≤15
每天的销售量y/盒
10
x+6
参考答案：
1．B
【分析】根据轴对称图形的概念求解，只要寻找对称轴，沿对称轴折叠后可重合即是轴对称图形．
【详解】根据轴对称图形的概念选项A、C、D不是轴对称图形．
故选：B
【点睛】本题考查了轴对称图形的概念，沿着一条直线对折后，直线两旁的部分能够完全重合的图形叫轴对称图形．
2．D
【分析】根据负数小于0小于正数，负数的绝对值大的反而小，进行判断即可．
【详解】解：∵，
∴；
∴最小的实数是；
故选D．
【点睛】本题考查实数大小比较．熟练掌握负数小于0小于正数，负数的绝对值大的反而小，是解题的关键．
3．C
【分析】根据各个选项中的式子，可以计算出正确的结果，从而可以解答本题．
【详解】解：A、x2与x不是同类项，不能合并，该选项不符合题意；
B、（﹣3x）2=9x2原计算错误，该选项不符合题意；
C、3y•2x2y=6x2y2正确，该选项符合题意；
D、（x﹣2y）（x+2y）=x2﹣4y2原计算错误，该选项不符合题意；
故选：C．
【点睛】本题考查的是合并同类项，积的乘方，同底数幂的除法，平方差公式，掌握以上知识是解题的关键．
4．B
【分析】根据题意，只要知道13名队员身高数据的中位数即可判断小明是否入选．
【详解】解：入选规则是个头高则入选，则需要将13名队员的身高进行降序排序，取前7名进行参赛，根据中位数的概念，知道第7名的成绩，即中位数即可判断小明是否入选；
故选：B．
【点睛】本题主要考查中位数的概念，掌握中位数的概念是解本题的关键．
5．B
【分析】根据一元二次方程根的情况即可列出不等式，从而求出m的取值范围．
【详解】解：∵关于x的一元二次方程有实数根，
∴，
解得：．
故选：B．
【点睛】此题考查的是根据一元二次方程根的情况，求参数的取值范围，掌握一元二次方程根的情况与判别式的关系是解决此题的关键．
6．D
【详解】解：由题意得：，故选D．
7．C
【分析】根据是一次函数图象上的点，得出，设，则，根据的最小值为，得出，求出，分两种情况求出a的值即可．
【详解】解：∵是一次函数图象上的点，
∴，
设，则，
∵的最小值为，
∴，
解得：，
当时，一次函数为，
把代入得：；
当时，一次函数为，
把代入得：；
综上分析可知，a的值为或9，故C正确．
故选：C．
【点睛】本题主要考查了一次函数与二次函数的综合应用，解题的关键是根据二次函数的最值，求出b的值．
8．A
【分析】连接，，过点作于，根据圆周角定理和等腰三角形的性质可判定，，再根据圆周角定理算出，求出的半径，进而求出，从而得解．
【详解】连接，，过点作于，

为直径
，
，
，
，，
，
，
，
，
，
．
故选：A．
【点睛】本题主要考查了圆周角定理，等腰三角形性质和扇形面积公式，正确作出适当的辅助线是解本题的关键．
9．D
【分析】由菱形的性质可知，，由两直线平行，同位角相等可以推出，再证明，得出，，由直角三角形斜边中线等于斜边一半可以得出．现有条件不足以证明．
【详解】解：∵在菱形中，对角线与相交于点，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴是直角三角形，故B选项正确；
∵，，
∴，
∴，
∴，，故A选项正确；
∴BC为斜边上的中线，
∴，故C选项正确；
现有条件不足以证明，故D选项错误；
故选D．
【点睛】本题考查菱形的性质，平行线的性质，相似三角形的判定与性质以及直角三角形斜边中线的性质，难度一般，由菱形的性质得出，是解题的关键．
10．C
【分析】由开口方向、对称轴及抛物线与y轴的交点位置可判断结论①；把代入抛物线对称轴公式可判断结论②；由抛物线的对称性的值可判断结论③；由时，函数y取得最大值可判断结论④．
【详解】解：∵抛物线开口向下、对称轴在y轴右侧、抛物线与y轴交于正半轴，
∴，，，
∴，故①错误；
∵对称轴为直线，
∴，即，故②正确；
∵对称轴为直线，抛物线与x轴的交点在点右侧，
∴抛物线与x轴的另一个交点在左侧，
∴当时，，
∴，故③正确；
∵当时，，当时，，
∵当时，函数值最大，
∴，
∴，故④正确；
故选：C．
【点睛】本题考查了二次函数图象与系数之间的关系，熟练掌握二次函数的开口方向，对称轴，图象与y轴交点，函数增减性并会综合运用是解决本题的关键．
11．
【分析】利用科学记数法的定义解决．科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．
【详解】解：．
故答案为：．
【点睛】此题考查科学记数法的定义，关键是理解运用科学记数法．
12．
【分析】根据二次根式被开方数必须是非负数的条件，要使在实数范围内有意义，必须，从而可得答案．
【详解】解：代数式有意义，


故答案为：
13．
【分析】设这个角的度数为x，则这个角的补角为，根据补角的定义列方程计算即可．
【详解】解：设这个角的度数为x，则这个角的补角为，根据题意得：
，
解得：，
即这个角的度数为．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了一元一次方程的应用，熟练掌握补角的定义，是解题的关键．
14．/36度
【分析】根据等腰三角形的性质和三角形的内角和可求出，根据旋转的性质和等腰三角形的性质可得，再次利用三角形的内角和定理求出即可.
【详解】解：∵，，
∴，
∵将绕点逆时针旋转得到，点的对应点落在边上，
∴，
∴，
∴；
故答案为：.
【点睛】本题考查了旋转的性质、等腰三角形的性质和三角形的内角和定理，正确理解题意、熟练掌握上述知识、明确即为旋转角是解题的关键.
15．6
【分析】先证，得到，进而求出，再求出，即可求得，即可得到，即可求出值．
【详解】解：如图，连接，，

设，则，，，
四边形是平行四边形，
，
，
，
，
，
，则，
，
，
，
，
．
故答案为：6．
【点睛】本题考查了反比例函数系数k的几何意义，折叠的性质，平行四边形的性质以及相似三角形的判定和性质，正确的作出辅助线是解题的关键．
16．4
【分析】由作图知，是的平分线，再根据，推出，得到，设，，证明，由相似三角形的性质即可求解．
【详解】解：由作图知，是的平分线，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
设，，
∴，，
∵，
∴，
∴，即，
∴，
∴，即，
故答案为：4．
【点睛】本题考查了作图-基本作图，相似三角形的判定和性质．解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题．
17．，
【分析】先算括号内的减法，再将除法变成乘法进行计算，然后根据锐角三角函数，负指数幂求出a，最后代入计算．
【详解】解：
；
∵，
∴原式．
【点睛】本题考查了分式的化简求值，锐角三角函数，负指数幂的性质，熟练掌握运算法则是解题的关键．
18．(1)，
(2)见解析
(3)
(4)
【分析】（1）根据级的人数是，所占的百分比是，据此即可求得总人数；利用乘以对应的百分比即可求得的值；
（2）利用百分比的意义求得级的人数，进而补全直方图；
（3）利用样本估计总体的方法知，全校总人数乘以级所占的比例，可得答案；
（4）利用树状图法列举出所有可能的结果，然后利用概率公式即可求解．
【详解】（1）解：∵级的人数是，所占的百分比是，
∴（人），
∴本次抽样测试的学生人数是人，
的度数是：，
故答案为：；．
（2）级人数为：（人），
把条形统计图补充完整，如图所示：

（3）（人），
∴估计不及格的人数为人．
故答案为：．
（4）根据题意画树形图如下：

共有种等可能情况，选中小明的有种，
∴选中小明的概率为：．
【点睛】本题考查用列表法或树状图法求概率，条形统计图和扇形统计图的综合应用．树状图法与列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；注意概率＝所求情况数与总情况数之比．掌握用列表法或树状图法求概率是解题的关键．
19．(1)见解析
(2)
【分析】（1）根据菱形的性质可得，，根据，，可得，利用即可证明；
（2）根据菱形的性质可证明，根据相似的性质可求得的长度，进而可求．
【详解】（1）证明：四边形为菱形，
，，
，，
，
在和中，
，
，
（2）四边形为菱形，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
．
【点睛】本题考查了菱形的性质，全等三角形的判定，相似三角形的判定和性质，通过菱形的性质得到是关键．
20．米
【分析】在两个直角三角形中，知道已知角和其邻边，只需根据正切值求出对边后相加即可．
【详解】解：延长过点的水平线交于点，则有，四边形是矩形，
∴米，
∴在中，（米），
∴米，
∴在中，（米），
∴米，
答：楼的高是米．
【点睛】本题考查的是解直角三角形的应用—仰角俯角问题，特殊角的三角函数值，矩形的性质，熟知以上知识是解答此题的关键．
21．(1)
(2)4
【分析】（1）把点A（a，3）代入反比例函数关系式可求出a的值，确定点A的坐标，进而求出正比例函数的关系式；
（2）设点B的坐标为（b，0），代入函数表达式中，得到C和D的坐标，根据CD的长度列出方程，求出b值即可．
【详解】（1）解：把点A（a，3）代入反比例函数（x＞0）得，
a=2，
∴点A（2，3），代入y=kx得，k=，
∴正比例函数的关系式为；
（2）解：设点B的坐标为（b，0），
将x=b代入和中，得
，，
∴C（b，），D（b，），
∵CD=，
∴，
解得：b=-1（舍）或b=4，
∴OB的长度为4．
【点睛】本题考查反比例函数与一次函数的交点问题、一次函数图象上点的坐标特征，掌握图象上点的坐标适合解析式是关键．
22．（1）p=x+18；（2）第13天时当天的销售利润最大，最大销售利润是361元； （3）第7、8、9、10、11、12、13天共7天销售利润不低于325元．
【详解】试题分析：（1）设p=kx+b（k≠0），然后根据第3天和第7天的成本利用待定系数法求一次函数解析式解答即可；
（2）根据销售利润=每盒的利润×盒数列出函数关系式，再根据一次函数的增减性和二次函数的最值问题求解；
（3）根据（2）的计算以及二次函数与一元二次方程的关系求解．
试题解析：（1）设p=kx+b（k≠0），∵第3天时，每盒成本为21元；第7天时，每盒成本为25元，∴，解得：，所以p=x+18；
（2）1≤x≤6时，w=10[50﹣（x+18）]=﹣10x+320，6＜x≤15时，w=[50﹣（x+18）]（x+6）=﹣x2+26x+192，所以，w与x的函数关系式为，
当1≤x≤6时，∵﹣10＜0，∴w随x的增大而减小，∴当x=1时，w最大为﹣10+320=310，6＜x≤15时，w=﹣x2+26x+192=﹣（x﹣13）2+361，∴当x=13时，w最大为361，
综上所述，第13天时当天的销售利润最大，最大销售利润是361元；
（3）w=325时，﹣x2+26x+192=325，x2﹣26x+133=0，解得x1=7，x2=19，所以，7≤x≤13时，即第7、8、9、10、11、12、13天共7天销售利润不低于325元．
23．(1)与相切，证明见详解
(2)5
【分析】（1）连接，由题意易得，，则有，然后可得，进而问题可求证；
（2）连接，由题意易得，然后设，进而问题可求解．
【详解】（1）解：与相切，理由如下：
连接，如图所示：

∵点C是弧的中点，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，即，
∴，
∵为的半径，
∴与相切；
（2）解：连接，如图所示：

∵，
∴，
∵是的直径，
∴，
设，则有：，
解得：（负根舍去），
∴，
∴的半径为5．
【点睛】本题主要考查圆周角定理、切线的判定及三角函数，熟练掌握圆周角定理、切线的判定及三角函数是解题的关键．
24．(1)，
(2)不变，
(3)图形见解析，或
【分析】（1）证明，利用全等三角形对应边相等和对应角相等进行计算．
（2）连接，，证明，利用相似三角形的相似比进行求解．
（3）根据题意作出，，三点共线的所有情况，借助勾股定理与（2）中的结论进行求解．
【详解】（1）与是等边三角形，
，，，
，．
在与中，
，
．
，．
，
即，
直线与所夹锐角为．
（2）解：不变，理由如下：
连接，．
、分别为、的中点，且与是等边三角形，
，，
，，
，
，，
，
，
．
（3）解：分两种情况讨论：
如图所示，连接．
由（2）得，，．
，，
，，
，
，
，即；
如图所示，连接．
由①得，，，
，
，即．
综上，的值为或．
【点睛】本题考查了相似三角形的性质与判定，勾股定理，等边三角形的性质，全等三角形的性质与判定，熟练掌握相关性质定理是解题的关键．
25．(1)
(2)
(3)，，，，
【分析】（1）通过证明三角形全等求得点C的坐标，然后利用待定系数法求函数解析式；
（2）结合三角形面积公式分点C位于x轴上方和下方两种情况讨论求解；
（3）根据全等三角形的判定方法分5情况讨论求解.
【详解】（1）解：在中，当时，，
∴，即，
又∵
∴在中，，
过点C作轴，交x轴于点T，
∴，
由旋转性质可得，，
∴，
∵，
∴，
∴
∴，
∴，
∴，
把，代入函数解析式可得，
解得，
∴抛物线的解析式为
（2）解：设直线的函数解析式为，
将，代入函数解析式可得，
解得，
∴直线的解析式为
在中，当时，，
∴，即
，
如图，当点平移至轴上方时，
∵，
∴，
∴，
此时与重叠部分的面积
∵，
∴
∴，即，
∴
当点平移至轴下方时，
∴，
又∵，
∴
∴
∴＝
综上，
（3）解：由（1）可得，
①在点A下方的y轴上截取，此时，
∵，
∴，
∴点，
②∵，
将绕点B顺时针旋转90°，即可得到与全等的，
此时，
∴点
③在中，，
，
∴，
∴
∵，
∴，
∴
，
∴
∴
∴
∴点，
④当点与点重合时，，此时；
⑤当和关于直线对称时，此时四边形是平行四边形，
∴，即
综上，符合条件的点Q的坐标为，，，，
【点睛】本题主要考查二次函数的综合应用，一次函数的应用，三角形的相似，勾股定理，题目有一定的难度，掌握相关知识正确构造辅助线是解题的关键．