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备战2024年高考总复习一轮（数学）第2章 函数的概念与性质 第3节 函数的奇偶性与周期性课件PPT
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这是一份备战2024年高考总复习一轮（数学）第2章 函数的概念与性质 第3节 函数的奇偶性与周期性课件PPT，共46页。PPT课件主要包含了内容索引，强基础固本增分，研考点精准突破，函数的奇偶性等内容，欢迎下载使用。
微思考1奇函数、偶函数的定义域有什么特点?
微思考2如果一个奇函数f(x)在原点处有定义,f(0)有什么特点?
提示:设函数的定义域为I,由奇函数、偶函数的定义知,对任意的x∈I,都有-x∈I,所以奇函数、偶函数的定义域关于原点对称.定义域关于原点对称是成为奇、偶函数的必要条件.
提示:f(0)有意义,由奇函数定义,知f(-0)=-f(0),所以一定有f(0)=0.
2.函数的周期性(1)周期函数对于函数f(x),如果存在一个非零常数T,使得当x取定义域内的每一个值时,都有f(x+T)=f(x),那么函数f(x)就叫做周期函数,非零常数T叫做这个函数的周期.(2)最小正周期如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数,那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期. 并不是所有周期函数都有最小正周期,如f(x)=5
常用结论1.奇偶性的4个重要结论(1)如果函数f(x)是偶函数,那么f(x)=f(-x)=f(|x|).(2)既是奇函数又是偶函数的函数只有一种类型,即f(x)=0,x∈D,其中定义域D是关于原点对称的非空数集.(3)在函数f(x),g(x)公共定义域内有:奇±奇=奇,偶±偶=偶,奇×奇=偶,偶×偶=偶,奇×偶=奇.(4)偶函数在关于原点对称的区间上有相同的最大(小)值;奇函数在关于原点对称的区间上的最值互为相反数.
2.周期性的4个常用结论设函数y=f(x),x∈R,a>0.(1)若f(x+a)=f(x-a),则函数的周期为2a;(2)若f(x+a)=-f(x),则函数的周期为2a;
3.对称性的3个常用结论(1)若函数y=f(x+a)是偶函数,即f(a-x)=f(a+x),则函数y=f(x)的图象关于直线x=a对称;(2)若对于R上的任意x都有f(2a-x)=f(x)或f(-x)=f(2a+x),则y=f(x)的图象关于直线x=a对称;(3)若函数y=f(x+b)是奇函数,即f(-x+b)+f(x+b)=0,则函数y=f(x)关于点(b,0)中心对称.
例1判断下列函数的奇偶性:
(3)因为当x>0时,f(x)=-x2+2x+1,-x<0,f(-x)=(-x)2+2(-x)-1=x2-2x-1=-f(x);当x<0时,f(x)=x2+2x-1,-x>0,f(-x)=-(-x)2+2(-x)+1=-x2-2x+1=-f(x),所以f(x)为奇函数.
规律方法 判断函数奇偶性的3种常用方法
[注意]分段函数奇偶性的判断,要分别从x>0或x<0来寻找等式f(-x)=f(x)或f(-x)=-f(x)成立,只有当对称的两个区间上满足相同关系时,分段函数才具有确定的奇偶性.
对点训练1(1)(2021全国乙,文9)设函数f(x)= ,则下列函数中为奇函数的是( )A.f(x-1)-1B.f(x-1)+1C.f(x+1)-1D.f(x+1)+1(2) 已知f(x),g(x)分别为定义在R上的奇函数和偶函数,则下列为奇函数的是( )A.f(g(x))B.g(f(x))C.f(f(x))D.g(g(x))
答案:(1)B (2)C 解析:(1)(方法1)函数f(x)= ,故该函数图象的对称中心的坐标为(-1,-1).将该函数图象向右平移1个单位长度,再向上平移1个单位长度后得到的图象对应的函数解析式为g(x)=f(x-1)+1,其图象关于坐标原点对称,即为奇函数,故选B.
(2)由题意知f(x),g(x)分别为定义在R上的奇函数和偶函数,故满足f(x)=-f(-x),g(x)=g(-x),对于A,f(g(-x))=f(g(x)),则f(g(x))为偶函数;对于B,g(f(-x))=g(-f(x))=g(f(x)),则g(f(x))为偶函数;对于C,f(f(-x))=f(-f(x))=-f(f(x)),则f(f(x))为奇函数;对于D,g(g(-x))=g(g(x)),则g(g(x))为偶函数.故选C.
例2(1)(2021新高考Ⅰ,13)已知函数f(x)=x3(a·2x-2-x)是偶函数,则a= . (2)(2023河南模拟预测)已知函数f(x)=ax3+bsin x+3,x∈R,若f(m)=1,则f(-m)=( )A.-1B.2C.5D.7
答案:(1)1 (2)C (3)- ln 2解析:(1)∵函数f(x)=x3(a·2x-2-x)是偶函数,整理得,a·2x-2-x=-(a·2-x-2x),即(a-1)·2x+(a-1)·2-x=0.(a-1)(2x+2-x)=0.∴a=1.(2)设g(x)=f(x)-3=ax3+bsin x,x∈R,则g(-x)=a(-x)3+bsin(-x)=-ax3-bsin x=-g(x),即函数g(x)是奇函数,f(x)=g(x)+3,则f(m)+f(-m)=g(m)+3+g(-m)+3=6,而f(m)=1,所以f(-m)=5.故选C.
规律方法 与函数奇偶性有关的问题及解题策略
对点训练2(1)(2022江苏连云港调研)已知函数 是偶函数,则m的值是( )A.-2B.-1C.1D.2(2)已知f(x)是定义在R上的奇函数.当x>0时,f(x)=x2-4x,那么不等式f(x)>x的解集为 .
答案:(1)A (2)(-5,0)∪(5,+∞)
例3(1)(2022山西长治名校模拟)若函数f(x)满足对其定义域内的任意x,有f(x+2)=f(x),则f(x)可以是( )A.f(x)=(x-1)2B.f(x)=|x-2|C.f(x)=sin( x)D.f(x)=tan( x)(2)(2022全国乙,理12)已知函数f(x),g(x)的定义域均为R,且f(x)+g(2-x)=5, g(x)-f(x-4)=7.若y=g(x)的图象关于直线x=2对称,g(2)=4,则A.-21B.-22C.-23D.-24
答案:(1)D (2)D解析:(1)∵f(x+2)=f(x),∴函数f(x)的周期为2.对于A:∵f(1)=0,f(3)=4,∴f(1)≠f(3),函数的周期不是2,故选项A错;对于B:∵f(2)=0,f(4)=2,∴f(2)≠f(4),函数的周期不是2,故选项B错;
(2)由g(x)的图象关于直线x=2对称,可知g(2-x)=g(2+x).∵f(x)+g(2-x)=5,∴f(-x)+g(2+x)=5.又g(2-x)=g(2+x),∴f(x)=f(-x).∵g(x)-f(x-4)=7,∴g(4-x)-f(-x)=7.又g(x)=g(4-x),∴f(x-4)=f(-x)=f(x).∴f(x)的周期为4.当x=0时,f(0)+g(2)=5,∴f(0)=5-g(2)=1,∴f(4)=f(0)=1.当x=2时,g(2)-f(-2)=7,∴f(-2)=g(2)-7=-3,∴f(2)=f(-2)=-3.当x=1时,f(1)+g(1)=5,g(1)-f(-3)=7,又f(-3)=f(1),∴g(1)-f(1)=7,∴f(1)=-1,∴f(-1)=f(1)=-1,∴f(3)=f(-1)=-1.
规律方法 函数周期性的判定与应用(1)判定:判断函数的周期性只需证明对函数f(x)定义域内的任意x,都有f(x+T)=f(x)(T≠0)便可证明函数是周期函数,且周期为T.(2)应用:根据函数的周期性,可以由函数局部的性质得到函数的整体性质,在解决具体问题时,要注意结论:若T是函数的周期,则kT(k∈Z且k≠0)也是函数的周期.
解析:(1)令y=1,得f(x+1)+f(x-1)=f(x)·f(1)=f(x),即f(x+1)=f(x)-f(x-1).从而f(x+2)=f(x+1)-f(x),f(x+3)=f(x+2)-f(x+1).消去f(x+2)和f(x+1),得到f(x+3)=-f(x),从而f(x+6)=f(x),故f(x)的周期为6.令x=1,y=0,得f(1)+f(1)=f(1)·f(0),得f(0)=2,f(2)=f(1)-f(0)=1-2=-1,f(3)=f(2)-f(1)=-1-1=-2,f(4)=f(3)-f(2)=-2-(-1)=-1,f(5)=f(4)-f(3)=-1-(-2)=1,f(6)=f(5)-f(4)=1-(-1)=2,
考向1奇偶性与周期性的综合应用例4(1)(2022江苏七市调研)已知f(x)是定义域为R的偶函数,f(5.5)=2,g(x)=(x-1)f(x).若函数g(x+1)是偶函数,则g(-0.5)=( )A.-3B.-2C.2D.3(2)(2021全国甲,理12)设函数f(x)的定义域为R,f(x+1)为奇函数,f(x+2)为偶函数,当x∈[1,2]时,f(x)=ax2+b.若f(0)+f(3)=6,则 =( )
答案:(1)D (2)D解析:(1)由g(x+1)是偶函数,则g(x)的图象关于直线x=1对称,即g(x)=g(2-x),即(x-1)f(x)=(1-x)f(2-x),即f(x)+f(2-x)=0,又f(x)是偶函数,∴f(x)=-f(2-x)=-f(x-2)=f[2-(x-2)]=f(4-x),∴f(x+4)=f[4-(x+4)]=f(-x)=f(x).∴函数f(x)的周期为4.f(5.5)=f(1.5)=f(-2.5)=f(2.5)=2,∴g(-0.5)=g(2.5)=1.5f(2.5)=3.
(2)∵f(x+1)是奇函数,∴f(-x+1)=-f(x+1).∴f(x+2)=f(x+1+1)=-f(-x).∴f(2-x)=f(1-x+1)=-f(x).∵f(x+2)是偶函数,∴f(x+2)=f(2-x),∴-f(-x)=-f(x),即f(-x)=f(x),∴f(x)是偶函数.∵f(x+4)=f[(x+2)+2]=f[-(x+2)+2]=f(-x)=f(x),∴函数f(x)的周期为4,∴f(3)=f(1)=0.∵f(0)=f(-1+1)=-f(1+1)=-f(2),∴f(0)=-f(2).∵当x∈[1,2]时,f(x)=ax2+b,∴由f(1)=0得a+b=0.∵f(0)+f(3)=6,∴f(0)=6,∴f(2)=-6.
考向2单调性与奇偶性的综合应用例5(1) 已知定义在R上的奇函数f(x)在(-∞,0)上单调递减,且f(-1)=0,若a=f(-lg38),b=f(-2),c=f ,则a,b,c的大小关系是( )A.c
答案:B 解析:∵f(x)为奇函数且f(x-4)=-f(x),∴f(x-4)=-f(4-x)=-f(x),∴f(4-x)=f(x),且f(x-8)=-f(x-4)=f(x),∴函数y=f(x)的图象关于x=2对称,并且是周期为8的周期函数.∵函数f(x)在[0,2]上是增函数,∴函数f(x)在[-2,2]上是增函数,在[2,6]上为减函数,据此可画出函数y=f(x)在[-8,8]上的图象(令x1
(3) 已知奇函数f(x)的定义域为R,若f(x+2)为偶函数,且f(1)=1,则f(2 020)+f(2 021)= .(4)已知函数f(x)是定义在R上的奇函数,且当x>0时,f(x)=-x2+ax-1-a,若函数f(x)为R上的减函数,则a的取值范围是 .
答案:(1)D (2)C (3)-1 (4)[-1,0] 解析:(1)根据题意可得函数f(x)在(0,+∞)上为增函数.因为f(x)是定义在R上的奇函数,所以由f(-1)=f(2)=1可得f(1)=f(-2)=-1,
微思考1奇函数、偶函数的定义域有什么特点?
微思考2如果一个奇函数f(x)在原点处有定义,f(0)有什么特点?
提示:设函数的定义域为I,由奇函数、偶函数的定义知,对任意的x∈I,都有-x∈I,所以奇函数、偶函数的定义域关于原点对称.定义域关于原点对称是成为奇、偶函数的必要条件.
提示:f(0)有意义,由奇函数定义,知f(-0)=-f(0),所以一定有f(0)=0.
2.函数的周期性(1)周期函数对于函数f(x),如果存在一个非零常数T,使得当x取定义域内的每一个值时,都有f(x+T)=f(x),那么函数f(x)就叫做周期函数,非零常数T叫做这个函数的周期.(2)最小正周期如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数,那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期. 并不是所有周期函数都有最小正周期,如f(x)=5
常用结论1.奇偶性的4个重要结论(1)如果函数f(x)是偶函数,那么f(x)=f(-x)=f(|x|).(2)既是奇函数又是偶函数的函数只有一种类型,即f(x)=0,x∈D,其中定义域D是关于原点对称的非空数集.(3)在函数f(x),g(x)公共定义域内有:奇±奇=奇,偶±偶=偶,奇×奇=偶,偶×偶=偶,奇×偶=奇.(4)偶函数在关于原点对称的区间上有相同的最大(小)值;奇函数在关于原点对称的区间上的最值互为相反数.
2.周期性的4个常用结论设函数y=f(x),x∈R,a>0.(1)若f(x+a)=f(x-a),则函数的周期为2a;(2)若f(x+a)=-f(x),则函数的周期为2a;
3.对称性的3个常用结论(1)若函数y=f(x+a)是偶函数,即f(a-x)=f(a+x),则函数y=f(x)的图象关于直线x=a对称;(2)若对于R上的任意x都有f(2a-x)=f(x)或f(-x)=f(2a+x),则y=f(x)的图象关于直线x=a对称;(3)若函数y=f(x+b)是奇函数,即f(-x+b)+f(x+b)=0,则函数y=f(x)关于点(b,0)中心对称.
例1判断下列函数的奇偶性:
(3)因为当x>0时,f(x)=-x2+2x+1,-x<0,f(-x)=(-x)2+2(-x)-1=x2-2x-1=-f(x);当x<0时,f(x)=x2+2x-1,-x>0,f(-x)=-(-x)2+2(-x)+1=-x2-2x+1=-f(x),所以f(x)为奇函数.
规律方法 判断函数奇偶性的3种常用方法
[注意]分段函数奇偶性的判断,要分别从x>0或x<0来寻找等式f(-x)=f(x)或f(-x)=-f(x)成立,只有当对称的两个区间上满足相同关系时,分段函数才具有确定的奇偶性.
对点训练1(1)(2021全国乙,文9)设函数f(x)= ,则下列函数中为奇函数的是( )A.f(x-1)-1B.f(x-1)+1C.f(x+1)-1D.f(x+1)+1(2) 已知f(x),g(x)分别为定义在R上的奇函数和偶函数,则下列为奇函数的是( )A.f(g(x))B.g(f(x))C.f(f(x))D.g(g(x))
答案:(1)B (2)C 解析:(1)(方法1)函数f(x)= ,故该函数图象的对称中心的坐标为(-1,-1).将该函数图象向右平移1个单位长度,再向上平移1个单位长度后得到的图象对应的函数解析式为g(x)=f(x-1)+1,其图象关于坐标原点对称,即为奇函数,故选B.
(2)由题意知f(x),g(x)分别为定义在R上的奇函数和偶函数,故满足f(x)=-f(-x),g(x)=g(-x),对于A,f(g(-x))=f(g(x)),则f(g(x))为偶函数;对于B,g(f(-x))=g(-f(x))=g(f(x)),则g(f(x))为偶函数;对于C,f(f(-x))=f(-f(x))=-f(f(x)),则f(f(x))为奇函数;对于D,g(g(-x))=g(g(x)),则g(g(x))为偶函数.故选C.
例2(1)(2021新高考Ⅰ,13)已知函数f(x)=x3(a·2x-2-x)是偶函数,则a= . (2)(2023河南模拟预测)已知函数f(x)=ax3+bsin x+3,x∈R,若f(m)=1,则f(-m)=( )A.-1B.2C.5D.7
答案:(1)1 (2)C (3)- ln 2解析:(1)∵函数f(x)=x3(a·2x-2-x)是偶函数,整理得,a·2x-2-x=-(a·2-x-2x),即(a-1)·2x+(a-1)·2-x=0.(a-1)(2x+2-x)=0.∴a=1.(2)设g(x)=f(x)-3=ax3+bsin x,x∈R,则g(-x)=a(-x)3+bsin(-x)=-ax3-bsin x=-g(x),即函数g(x)是奇函数,f(x)=g(x)+3,则f(m)+f(-m)=g(m)+3+g(-m)+3=6,而f(m)=1,所以f(-m)=5.故选C.
规律方法 与函数奇偶性有关的问题及解题策略
对点训练2(1)(2022江苏连云港调研)已知函数 是偶函数,则m的值是( )A.-2B.-1C.1D.2(2)已知f(x)是定义在R上的奇函数.当x>0时,f(x)=x2-4x,那么不等式f(x)>x的解集为 .
答案:(1)A (2)(-5,0)∪(5,+∞)
例3(1)(2022山西长治名校模拟)若函数f(x)满足对其定义域内的任意x,有f(x+2)=f(x),则f(x)可以是( )A.f(x)=(x-1)2B.f(x)=|x-2|C.f(x)=sin( x)D.f(x)=tan( x)(2)(2022全国乙,理12)已知函数f(x),g(x)的定义域均为R,且f(x)+g(2-x)=5, g(x)-f(x-4)=7.若y=g(x)的图象关于直线x=2对称,g(2)=4,则A.-21B.-22C.-23D.-24
答案:(1)D (2)D解析:(1)∵f(x+2)=f(x),∴函数f(x)的周期为2.对于A:∵f(1)=0,f(3)=4,∴f(1)≠f(3),函数的周期不是2,故选项A错;对于B:∵f(2)=0,f(4)=2,∴f(2)≠f(4),函数的周期不是2,故选项B错;
(2)由g(x)的图象关于直线x=2对称,可知g(2-x)=g(2+x).∵f(x)+g(2-x)=5,∴f(-x)+g(2+x)=5.又g(2-x)=g(2+x),∴f(x)=f(-x).∵g(x)-f(x-4)=7,∴g(4-x)-f(-x)=7.又g(x)=g(4-x),∴f(x-4)=f(-x)=f(x).∴f(x)的周期为4.当x=0时,f(0)+g(2)=5,∴f(0)=5-g(2)=1,∴f(4)=f(0)=1.当x=2时,g(2)-f(-2)=7,∴f(-2)=g(2)-7=-3,∴f(2)=f(-2)=-3.当x=1时,f(1)+g(1)=5,g(1)-f(-3)=7,又f(-3)=f(1),∴g(1)-f(1)=7,∴f(1)=-1,∴f(-1)=f(1)=-1,∴f(3)=f(-1)=-1.
规律方法 函数周期性的判定与应用(1)判定:判断函数的周期性只需证明对函数f(x)定义域内的任意x,都有f(x+T)=f(x)(T≠0)便可证明函数是周期函数,且周期为T.(2)应用:根据函数的周期性,可以由函数局部的性质得到函数的整体性质,在解决具体问题时,要注意结论:若T是函数的周期,则kT(k∈Z且k≠0)也是函数的周期.
解析:(1)令y=1,得f(x+1)+f(x-1)=f(x)·f(1)=f(x),即f(x+1)=f(x)-f(x-1).从而f(x+2)=f(x+1)-f(x),f(x+3)=f(x+2)-f(x+1).消去f(x+2)和f(x+1),得到f(x+3)=-f(x),从而f(x+6)=f(x),故f(x)的周期为6.令x=1,y=0,得f(1)+f(1)=f(1)·f(0),得f(0)=2,f(2)=f(1)-f(0)=1-2=-1,f(3)=f(2)-f(1)=-1-1=-2,f(4)=f(3)-f(2)=-2-(-1)=-1,f(5)=f(4)-f(3)=-1-(-2)=1,f(6)=f(5)-f(4)=1-(-1)=2,
考向1奇偶性与周期性的综合应用例4(1)(2022江苏七市调研)已知f(x)是定义域为R的偶函数,f(5.5)=2,g(x)=(x-1)f(x).若函数g(x+1)是偶函数,则g(-0.5)=( )A.-3B.-2C.2D.3(2)(2021全国甲,理12)设函数f(x)的定义域为R,f(x+1)为奇函数,f(x+2)为偶函数,当x∈[1,2]时,f(x)=ax2+b.若f(0)+f(3)=6,则 =( )
答案:(1)D (2)D解析:(1)由g(x+1)是偶函数,则g(x)的图象关于直线x=1对称,即g(x)=g(2-x),即(x-1)f(x)=(1-x)f(2-x),即f(x)+f(2-x)=0,又f(x)是偶函数,∴f(x)=-f(2-x)=-f(x-2)=f[2-(x-2)]=f(4-x),∴f(x+4)=f[4-(x+4)]=f(-x)=f(x).∴函数f(x)的周期为4.f(5.5)=f(1.5)=f(-2.5)=f(2.5)=2,∴g(-0.5)=g(2.5)=1.5f(2.5)=3.
(2)∵f(x+1)是奇函数,∴f(-x+1)=-f(x+1).∴f(x+2)=f(x+1+1)=-f(-x).∴f(2-x)=f(1-x+1)=-f(x).∵f(x+2)是偶函数,∴f(x+2)=f(2-x),∴-f(-x)=-f(x),即f(-x)=f(x),∴f(x)是偶函数.∵f(x+4)=f[(x+2)+2]=f[-(x+2)+2]=f(-x)=f(x),∴函数f(x)的周期为4,∴f(3)=f(1)=0.∵f(0)=f(-1+1)=-f(1+1)=-f(2),∴f(0)=-f(2).∵当x∈[1,2]时,f(x)=ax2+b,∴由f(1)=0得a+b=0.∵f(0)+f(3)=6,∴f(0)=6,∴f(2)=-6.
考向2单调性与奇偶性的综合应用例5(1) 已知定义在R上的奇函数f(x)在(-∞,0)上单调递减,且f(-1)=0,若a=f(-lg38),b=f(-2),c=f ,则a,b,c的大小关系是( )A.c
答案:B 解析:∵f(x)为奇函数且f(x-4)=-f(x),∴f(x-4)=-f(4-x)=-f(x),∴f(4-x)=f(x),且f(x-8)=-f(x-4)=f(x),∴函数y=f(x)的图象关于x=2对称,并且是周期为8的周期函数.∵函数f(x)在[0,2]上是增函数,∴函数f(x)在[-2,2]上是增函数,在[2,6]上为减函数,据此可画出函数y=f(x)在[-8,8]上的图象(令x1
(3) 已知奇函数f(x)的定义域为R,若f(x+2)为偶函数,且f(1)=1,则f(2 020)+f(2 021)= .(4)已知函数f(x)是定义在R上的奇函数,且当x>0时,f(x)=-x2+ax-1-a,若函数f(x)为R上的减函数,则a的取值范围是 .
答案:(1)D (2)C (3)-1 (4)[-1,0] 解析:(1)根据题意可得函数f(x)在(0,+∞)上为增函数.因为f(x)是定义在R上的奇函数,所以由f(-1)=f(2)=1可得f(1)=f(-2)=-1,
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