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备战2024年高考总复习一轮（数学）第3章 导数及其应用 指点迷津(四) 破解“双变量问题的转化”课件PPT
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这是一份备战2024年高考总复习一轮（数学）第3章 导数及其应用 指点迷津(四) 破解“双变量问题的转化”课件PPT，共26页。PPT课件主要包含了答案1+∞，答案D等内容，欢迎下载使用。
在解决函数与导数综合题时,我们经常会遇到在某个范围内都可以任意变动的双变量问题,由于两个变量都在变动,因此不知把哪个变量当成自变量进行函数研究,从而无法展开思路,造成无从下手的感觉,正因为如此,这样的问题往往穿插在高考试卷压轴题的某些步骤之中,是考生感到困惑的难点问题之一,下面针对不同的题设条件给出处理双变量问题的相应策略,希望给同学们以帮助和启发.
一、等价转化为函数的最值或值域问题
当a<0时,f'(x)<0,f(x)在(0,+∞)上单调递减;当a>0时,在(0,a)上,f'(x)<0,f(x)的递减区间是(0,a),在(a,+∞)上,f'(x)>0,f(x)的递增区间是(a,+∞).
规律方法 双变量存在性或任意性问题的基本类型与“等价转化”策略
对点训练1已知函数f(x)=7x2-28x-a,g(x)=2x3+4x2-40x,如果存在x1∈[-3,3],x2∈[-3,3],使f(x1)≤g(x2)能成立,则实数a的取值范围是 .
答案:[-130,+∞)解析:由题意知,f(x)min≤g(x)max.因为f(x)=7(x-2)2-a-28,所以f(x)min=f(2)=-a-28.又g'(x)=6x2+8x-40=(6x+20)(x-2),由g'(x)=0,得x=2或x= (舍去).g(-3)=102, g(2)=-48,g(3)=-30,所以g(x)max=102.由-a-28≤102,得a的取值范围是[-130,+∞).
二、寻找两变量的关系转化为单变量函数问题例2已知函数f(x)=x- +aln x,且f(x)有两个极值点x1,x2,其中x1∈(1,2],则f(x1)-f(x2)的最小值为 .
答案:3-5ln 2
规律方法 求二元函数的最值或证明两个元的某种关系时,通过两个元之间的关系或两个元之间的函数的关系,运用转化的思想进行消元,化归为熟悉的一元问题,再通过研究一元问题使原问题得到解决.
对点训练2若函数f(x)=x3-3ax2+12x(a>0)存在两个极值点x1,x2,则f(x1)+f(x2)的取值范围是 .
答案:(-∞,16)解析:由f(x)=x3-3ax2+12x(a>0),则f'(x)=3x2-6ax+12,∵f(x)存在两个极值点x1,x2,∴Δ=36a2-4×3×12>0,又a>0,∴a>2,则x1+x2=2a,x1x2=4.=(x1+x2)[(x1+x2)2-3x1x2]-3a[(x1+x2)2-2x1x2]+12(x1+x2)=2a(4a2-12)-3a(4a2-8)+24a=-4a3+24a.设g(a)=-4a3+24a,则g'(a)=-12a2+24=-12(a2-2),当a>2时,g'(a)<0,则g(a)在(2,+∞)上单调递减.∴g(a)
解:(1)易知f(x)的定义域为R,f'(x)=(x+1)ex.当x>-1时,f'(x)>0,∴f(x)在(-1,+∞)上单调递增;当x<-1时,f'(x)<0,∴f(x)在(-∞,-1)上单调递减.∴f(x)的单调递减区间是(-∞,-1),单调递增区间是(-1,+∞).
∴(1-x)ex-(m+1)≤0,∴m+1≥(1-x)ex.设h(x)=(1-x)ex,则h'(x)=-xex<0,∴h(x)在[1,e]上单调递减,∴h(x)max=h(1)=0,∴m+1≥0,即m≥-1.
规律方法 若题设条件中含有一个双变量的恒等式或不等式,通过对该恒等式或不等式进行等价变形,使恒等式或不等式两边的两个变量对应的代数式结构相同,就可以构造出一个函数,从而利用此函数求解得出结论.
四、利用换元法将两个变量转换成一个变量例4设函数f(x)=x2-(a+2)x+aln x,g(x)=2aln x-4x+b,其中a>0,b∈R.若a>2且方程f(x)=g(x)在(1,+∞)上有两个不相等的实数根x1,x2,求证:
规律方法 本例充分体现了对条件和要证的结论进行一系列等价变形的重要性,将陌生的问题等价成熟悉的问题,将双变量等价变形成能整体换元的形式,从而实现双元变单元的目的.再构造新函数分析函数的单调性,证出结论.
对点训练4(2022安徽安庆二模)若存在两个正实数x,y使得等式x(2+ln x) =xln y-ay成立,则实数a的取值范围是( )
在解决函数与导数综合题时,我们经常会遇到在某个范围内都可以任意变动的双变量问题,由于两个变量都在变动,因此不知把哪个变量当成自变量进行函数研究,从而无法展开思路,造成无从下手的感觉,正因为如此,这样的问题往往穿插在高考试卷压轴题的某些步骤之中,是考生感到困惑的难点问题之一,下面针对不同的题设条件给出处理双变量问题的相应策略,希望给同学们以帮助和启发.
一、等价转化为函数的最值或值域问题
当a<0时,f'(x)<0,f(x)在(0,+∞)上单调递减;当a>0时,在(0,a)上,f'(x)<0,f(x)的递减区间是(0,a),在(a,+∞)上,f'(x)>0,f(x)的递增区间是(a,+∞).
规律方法 双变量存在性或任意性问题的基本类型与“等价转化”策略
对点训练1已知函数f(x)=7x2-28x-a,g(x)=2x3+4x2-40x,如果存在x1∈[-3,3],x2∈[-3,3],使f(x1)≤g(x2)能成立,则实数a的取值范围是 .
答案:[-130,+∞)解析:由题意知,f(x)min≤g(x)max.因为f(x)=7(x-2)2-a-28,所以f(x)min=f(2)=-a-28.又g'(x)=6x2+8x-40=(6x+20)(x-2),由g'(x)=0,得x=2或x= (舍去).g(-3)=102, g(2)=-48,g(3)=-30,所以g(x)max=102.由-a-28≤102,得a的取值范围是[-130,+∞).
二、寻找两变量的关系转化为单变量函数问题例2已知函数f(x)=x- +aln x,且f(x)有两个极值点x1,x2,其中x1∈(1,2],则f(x1)-f(x2)的最小值为 .
答案:3-5ln 2
规律方法 求二元函数的最值或证明两个元的某种关系时,通过两个元之间的关系或两个元之间的函数的关系,运用转化的思想进行消元,化归为熟悉的一元问题,再通过研究一元问题使原问题得到解决.
对点训练2若函数f(x)=x3-3ax2+12x(a>0)存在两个极值点x1,x2,则f(x1)+f(x2)的取值范围是 .
答案:(-∞,16)解析:由f(x)=x3-3ax2+12x(a>0),则f'(x)=3x2-6ax+12,∵f(x)存在两个极值点x1,x2,∴Δ=36a2-4×3×12>0,又a>0,∴a>2,则x1+x2=2a,x1x2=4.=(x1+x2)[(x1+x2)2-3x1x2]-3a[(x1+x2)2-2x1x2]+12(x1+x2)=2a(4a2-12)-3a(4a2-8)+24a=-4a3+24a.设g(a)=-4a3+24a,则g'(a)=-12a2+24=-12(a2-2),当a>2时,g'(a)<0,则g(a)在(2,+∞)上单调递减.∴g(a)
解:(1)易知f(x)的定义域为R,f'(x)=(x+1)ex.当x>-1时,f'(x)>0,∴f(x)在(-1,+∞)上单调递增;当x<-1时,f'(x)<0,∴f(x)在(-∞,-1)上单调递减.∴f(x)的单调递减区间是(-∞,-1),单调递增区间是(-1,+∞).
∴(1-x)ex-(m+1)≤0,∴m+1≥(1-x)ex.设h(x)=(1-x)ex,则h'(x)=-xex<0,∴h(x)在[1,e]上单调递减,∴h(x)max=h(1)=0,∴m+1≥0,即m≥-1.
规律方法 若题设条件中含有一个双变量的恒等式或不等式,通过对该恒等式或不等式进行等价变形,使恒等式或不等式两边的两个变量对应的代数式结构相同,就可以构造出一个函数,从而利用此函数求解得出结论.
四、利用换元法将两个变量转换成一个变量例4设函数f(x)=x2-(a+2)x+aln x,g(x)=2aln x-4x+b,其中a>0,b∈R.若a>2且方程f(x)=g(x)在(1,+∞)上有两个不相等的实数根x1,x2,求证:
规律方法 本例充分体现了对条件和要证的结论进行一系列等价变形的重要性,将陌生的问题等价成熟悉的问题,将双变量等价变形成能整体换元的形式,从而实现双元变单元的目的.再构造新函数分析函数的单调性,证出结论.
对点训练4(2022安徽安庆二模)若存在两个正实数x,y使得等式x(2+ln x) =xln y-ay成立,则实数a的取值范围是( )
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