备战2024年高考总复习一轮（数学）第6章 数列 第2节 等差数列课件PPT

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1.等差数列的有关概念(1)定义:一般地,如果一个数列从　　　　　起,每一项与它的前一项的　　　等于　　　　　　　,那么这个数列就叫做等差数列,这个常数叫做等差数列的　　　　　,公差通常用字母d表示.数学语言表示为an+1-an=d (n∈N*),d为常数. (2)等差中项:数列a,A,b成等差数列的充要条件是　　　　　　,其中A叫做a,b的　　　　　. 
2.等差数列的有关公式(1)通项公式:an=　　　　　　. (2)通项公式的推广:an=am+(n-m)d(n,m∈N*).(3)前n项和公式:　　　　　　　　　　　. 　　　　 利用倒序相加法推导
3.等差数列的通项公式及前n项和公式与函数的关系(1)an=a1+(n-1)d可化为an=dn+a1-d的形式.当d≠0时,an是关于n的一次函数;当d>0时,数列为递增数列;当d<0时,数列为递减数列.(2)数列{an}是等差数列,且公差不为0⇔Sn=An2+Bn(A,B为常数).
常用结论1.已知{an}为等差数列,d为公差,Sn为该数列的前n项和.(1)在等差数列{an}中,当m+n=p+q时,am+an=ap+aq(m,n,p,q∈N*).特别地,若m+n=2p,则2ap=am+an(m,n,p∈N*).(2)ak,ak+m,ak+2m,…仍是等差数列,公差为md(k,m∈N*).(3)Sn,S2n-Sn,S3n-S2n,…也成等差数列,公差为n2d.
例1(1)已知等差数列{an}的前n项和为Sn,a4=-5,S9=-27,若an≤0,则n的最大值是(　　)A.5B.6C.7D.8(2)(2022安徽合肥二模)设等差数列{an}的前n项和为Sn,S15=5(a3+a8+am),则m的值为(　　)A.10B.12C.13D.14(3)(2022全国乙,文13)记Sn为等差数列{an}的前n项和.若2S3=3S2+6,则公差d=　　　　　. 
答案:(1)B　(2)C　(3)2
规律方法 等差数列基本运算的常见类型及解题策略
对点训练1在等差数列{an}中,已知a2=-9,a3=-7.(1)求数列{an}的通项公式;(2)设数列{an}的前n项和为Sn,求满足Sn>an的n的最小值.
解:(1)根据题意,公差d=a3-a2=2,a1=a2-d=-11.则an=a1+(n-1)d=-11+2n-2=2n-13.(2)由(1)可得Sn=(-11-13+2n)· =n2-12n,则Sn-an=n2-12n+13-2n=n2-14n+13,令n2-14n+13>0,解得n<1或n>13.又因为n∈N*,所以n的最小值为14.
例2(2021全国甲,文18)已知数列{an}的各项均为正数,记Sn为{an}的前n项和,从下面①②③中选取两个作为条件,证明另外一个成立.①数列{an}是等差数列;②数列{ }是等差数列;③a2=3a1.
若选①③⇒②设等差数列{an}的公差为d.∵a2=3a1, ∴a1+d=3a1,则d=2a1,
规律方法 1.等差数列的判定与证明方法
2.若证明一个数列不是等差数列,则只需证明存在连续三项不成等差数列即可.
(2)判断数列{an}是否为等差数列,说明理由.
规律方法 1.利用等差数列的性质解决基本量的运算体现了整体求值思想,应用时常将an+am=2ap(m+n=2p,m,n,p∈N*)与am+an=ap+aq(m+n=p+q,m,n,p,q∈N*)相结合,可减少运算量.2.在等差数列{an}中,依据题意应用其前n项和的性质解题能比较简便地求出结果,常用的性质有:在等差数列{an}中,数列Sm,S2m-Sm,S3m-S2m,…也是等差数列,且有S2n=n(a1+a2n)=…=n(an+an+1);S2n-1=(2n-1)an.
对点训练3(1)(2022广东广州二模)已知数列{an}是等差数列,且a2+a5+a8=π,则tan(a1+a9)=(　　)
例4(2022陕西西安西北工业大学附中二模)已知数列{an}的前n项积(1)求数列{an}的通项公式;(2)记bn=lg2an,数列{bn}的前n项和为Sn,求Sn的最小值.
规律方法 求等差数列前n项和Sn的最值的常用方法
对点训练4(2022重庆天星桥中学一模)已知数列{an}为等差数列,满足a1=9,a3+a5=12.(1)求数列{an}的通项公式;(2)求数列{an}的前n项和Sn,并求Sn的最大值.