备战2024年高考总复习一轮（数学）第8章 立体几何 第2节 空间几何体的表面积与体积课件PPT

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1.多面体的表(侧)面积因为多面体的各个面都是平面,所以多面体的侧面积就是　　　　　　　　　　　　　　,表面积是侧面积与底面面积之和. 2.圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图及侧面积公式
3.柱、锥、台和球的表面积和体积
微点拨当台体的上底面与下底面全等时,台体变为柱体;当台体上底面缩为一个点时,台体变为锥体.柱体、锥体、台体的体积公式间有如下联系:
微拓展球的截面的性质(1)球的截面是圆面;(2)球心和截面(不过球心)圆心的连线垂直于截面;(3)球心到截面的距离d与球的半径R及截面圆的半径r的关系为
微思考如何求不规则几何体的体积?
提示:求不规则几何体的体积要注意分割与补形,将不规则的几何体通过分割或补形转化为规则的几何体求解.
常用结论1.与体积有关的几个结论(1)一个组合体的体积等于它的各部分体积的和或差.(2)底面面积及高都相等的两个同类几何体的体积相等.2.长方体的外接球(1)球心:体对角线的交点.
3.正四面体的外接球与内切球(正四面体可以看作是正方体的一部分)
答案:(1)B　(2)D　解析:(1)根据给定的几何体的三视图,可得该几何体的上部分为圆锥,下部分为圆柱,如图所示,其中圆柱和圆锥的底面圆的半径为2,圆柱的母线长为4,
规律方法 求空间几何体表面积的常见类型及思路
答案:(1)C　(2)D解析:(1)设等边三角形ABC的边长为a,球O的半径为R,△ABC的外接圆的半径为r,
考向1简单几何体的体积例2(1)(2022浙江,5)某几何体的三视图如图所示(单位:cm),则该几何体的体积(单位:cm3)是(　　)
答案:(1)C　(2)C
(2)如图,甲、乙两个圆锥的侧面展开图刚好拼成一个圆,设圆的半径(即圆锥的母线长)为3,则圆的周长为6π,甲、乙两个圆锥的底面半径分别为r1,r2,高分别为h1,h2,则2πr1=4π,2πr2=2π,则r1=2,r2=1,由勾股定理
考向2不规则几何体的体积例3(1)《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著,书中有如下问题:“今有刍甍,下广三丈,袤四丈;上袤二丈,无广;高一丈,问:积几何?”其意思为:“今有底面为矩形的屋脊状的楔体,下底面宽3丈,长4丈;上棱长2丈,高一丈.问它的体积是多少?”已知1丈为10尺,现将该楔体的三视图给出如下图所示,
其中网格纸上小正方形的边长为1丈,则该楔体的体积为(　　)A.5 000立方尺B.5 500立方尺 C.6 000立方尺D.6 500立方尺
答案:(1)A　(2)C　
规律方法 求空间几何体的体积的常用方法
对点训练2(1)(2022新高考Ⅰ,4)南水北调工程缓解了北方一些地区水资源短缺问题,其中一部分水蓄入某水库.已知该水库水位为海拔148.5 m时,相应水面的面积为140.0 km2;水位为海拔157.5 m时,相应水面的面积为180.0 km2.将该水库在这两个水位间的形状看作一个棱台,则该水库水位从海拔148.5 m上升到157.5 m时,增加的水量约为( ≈2.65)(　　)A.1.0×109 m3B.1.2×109 m3C.1.4×109 m3D.1.6×109 m3
答案:(1)C　(2)40 cm解析:(1)由题意可得,此棱台的高h=157.5-148.5=9(m).设水库水位为海拔148.5 m时,相应水面的面积为S1,水库水位为海拔157.5 m时,相应水面的面积为S2,则S1=140.0 km2=1.4×108 m2,S2=180.0 km2= 1.8×108 m2,故该棱台的体积
考向1几何体的外接球问题例4(1)攒尖是古代中国建筑中屋顶的一种结构形式,宋代称为撮尖,清代称攒尖,依其平面有圆形攒尖、三角攒尖、四角攒尖、八角攒尖,也有单檐和重檐之分.多见于亭阁式建筑、园林建筑.某四角攒尖,它的主要部分轮廓可以近似看作一个正四棱锥,其三视图如图所示,则这个四棱锥外接球的表面积为(　　)
A.32π B.16π C.49πD.64π
(2)(2022新高考Ⅱ,7)已知正三棱台的高为1,上、下底面的边长分别为3 和4 ,其顶点都在同一球面上,则该球的表面积为(　　)A.100πB.128πC.144πD.192π
答案:(1)A　(2)A
规律方法 解决与球“外接”问题的方法(1)构造正(长)方体等特殊几何体,转化为特殊几何体的外接球问题.(2)空间问题平面化,把平面问题转化到直角三角形中,作出适当截面(过球心、接点等).(3)利用球心与截面圆心的连线垂直于截面圆,确定球心所在的直线.(4)若球面上四点P,A,B,C中PA,PB,PC两两垂直或三棱锥的三条侧棱两两垂直,可构造长方体或正方体确定球心或直径解决外接球问题.
对点训练3(1)(2022新高考Ⅰ,8)已知正四棱锥的侧棱长为l,其各顶点都在同一球面上.若该球的体积为36π,且3≤l≤3 ,则该正四棱锥体积的取值范围是(　　)
答案:(1)C　(2)60π解析:(1)记正四棱锥高与侧棱的夹角为θ,高为h,底面中心到底面各顶点的距离为m.∵正四棱锥外接球的体积为36π,∴外接球的半径R=3.
(2)边长为6的菱形ABCD,在折叠的过程中,当平面ABD⊥平面BCD时,三棱锥的体积最大,如图所示,在平面ABD中,设点F为△ABD的中心,在平面BCD中,设点H为△BCD的中心.
考向2几何体的内切球问题例5(1)《九章算术》中将四个面都为直角三角形的三棱锥称之为鳖臑,若三棱锥P-ABC为鳖臑,PA⊥平面ABC,PA=BC=4,AB=3,AB⊥BC,若三棱锥P-ABC有一个内切球O,则球O的体积为(　　)(2)(2022辽宁大连一模)现有一个侧面展开图为半圆形的圆锥,其内部放有一个小球,当小球体积最大时,该圆锥与小球的体积之比是(　　)A.9∶4B.9∶5C.3∶2D.3∶1
答案:(1)C　(2)A
解析:(1)如图,因为PA⊥平面ABC,则PA⊥BC,而AB⊥BC, PA∩AB=A,所以BC⊥平面PAB,则PB⊥BC,又PA⊥AB,P A⊥AC,且PA=BC=4,AB=3,则有
(2)由圆锥侧面展开图为半圆,设圆锥母线为l,底面半径为R,则2πR=πl,所以l=2R,可知圆锥轴截面为正三角形,圆锥高为 R,由当小球是圆锥的内切球时,小球体积最大,轴截面如图所示,
规律方法 几何体内切球问题的求解策略(1)体积分割法求内切球半径.(2)作出合适的截面(过球心、切点等),转化为平面图形求解.(3)多球相切的问题,连接各球球心,转化为处理多面体问题.
答案:(1)B　(2)B　解析:(1)设内切球的半径为R,则圆柱的底面半径为R,高为2R,故圆柱的表面积S1=2πR2+2πR·2R=6πR2,内切球的表面积S2=4πR2,