备战2024年高考总复习一轮（数学）第9章 解析几何 第8节 直线与圆锥曲线的位置关系课件PPT

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1.直线与圆锥曲线的位置关系(1)从几何角度看,可分为三类:无公共点,仅有一个公共点及有两个相异的公共点.(2)从代数角度看,可通过将表示直线的方程代入二次曲线的方程消元后所得一元二次方程解的情况来判断.设直线l的方程为Ax+By+C=0,圆锥曲线方程为f(x,y)=0.
①若a=0,当圆锥曲线是双曲线时,直线l与双曲线的渐近线平行;当圆锥曲线是抛物线时,直线l与抛物线的对称轴平行(或重合).②若a≠0,设Δ=b2-4ac.当Δ>0时,直线和圆锥曲线相交于不同两点;当Δ=0时,直线和圆锥曲线相切于一点;当Δ<0时,直线和圆锥曲线没有公共点.
4.求解圆锥曲线标准方程的方法是“先定型,后计算”(1)定型,就是指定类型,也就是确定圆锥曲线的焦点位置,从而设出标准方程.(2)计算,就是利用待定系数法求出方程中的a2,b2或p.另外,当焦点位置无法确定时,椭圆常设为mx2+ny2=1(m>0,n>0,m≠n),双曲线常设为mx2-ny2 =1(mn>0),抛物线常设为y2=2ax或x2=2ay(a≠0).(3)椭圆与双曲线的方程形式上可统一为Ax2+By2=1,其中A,B是不相等的常数,当A>B>0时,表示焦点在y轴上的椭圆;当B>A>0时,表示焦点在x轴上的椭圆;当AB<0时,表示双曲线.
5.通径:过椭圆、双曲线、抛物线的焦点垂直于焦点所在坐标轴的弦称为通径,椭圆与双曲线的通径长为 ,过椭圆焦点的弦中通径最短;抛物线通径长是2p,过抛物线焦点的弦中通径最短.椭圆上点到焦点的最长距离为a+c,最短距离为a-c.6.定值、定点问题必然是在变化中所表现出来的不变的量,那么就可以用变化的量表示问题中的直线方程、数量积、比例关系等,这些直线方程、数量积、比例关系不受变化的量所影响的一个点,就是要求的定点.解决这类问题的关键就是引进参数表示直线方程、数量积、比例关系等,根据等式的恒成立、数式变换等寻找不受参数影响的量.
7.点在圆锥曲线内部或外部的充要条件
答案:(1)C　(2)C　
规律方法直线与圆锥曲线位置关系的解决方法:直线与圆锥曲线位置关系的问题有两种类型,一是判断位置关系,二是依据位置关系确定参数的范围.这两类问题在解决方法上是一致的,都是将直线与圆锥曲线方程联立,利用判别式及根与系数的关系求解.此时注意观察方程的二次项系数是否为0,若为0,则方程为一次方程;若不为0,则将方程解的个数转化为判别式与0的大小关系求解.
对点训练1(1)过点(0,1)作直线,使它与抛物线y2=4x仅有一个公共点,这样的直线有(　　)A.1条B.2条C.3条D.4条
(2)(2022陕西西安四区县联考一)已知直线y=kx-1与焦点在x轴上的椭圆 总有公共点,则b的取值范围是　　　　　. 
答案:(1)C　(2)[1,2)解析:(1)当直线斜率不存在时,直线为y轴,显然直线与抛物线只有一个交点.当直线斜率存在时,设直线方程为y=kx+1,与抛物线方程联立得k2x2+(2k-4)x+1=0,当k=0时,y=1代入抛物线方程求得x= ,此时直线与抛物线有一个交点,当k≠0时,要使直线与抛物线只有一个交点,需Δ=(2k-4)2-4k2=0,求得k=1,综合可知要使直线与抛物线仅有一个公共点,这样的直线有3条.(2)直线y=kx-1恒过定点N(0,-1),要使直线y=kx-1与椭圆 总有公共点,则只需点N(0,-1)在椭圆上或椭圆内,所以b≥1,又焦点在x轴上,所以b<2,所以1≤b<2.
规律方法 处理中点弦问题常用的求解方法
A.3x-2y-2=0B.3x+2y-4=0C.3x+4y-5=0D.3x-4y-1=0(2) 已知椭圆 ,过点M(2,1)且被该点平分的弦所在的直线方程为　　　　　. 
答案:(1)B　(2)9x+8y-26=0　
规律方法 1.此类问题的解法:条件可转化为坐标倍数的问题的求解方法一般有两种,一种是利用一元二次方程求根公式直接求根;另一种是利用韦达定理整体代换,即构造一个能用韦达定理的代数式.2.难点化解方法:在第(2)题中,解方程组 消去y,得k2x2+2(k2-2)x +k2=0,由|AM|=2|BN|,得x1+1=2(x2+1),没法利用韦达定理消元,只能用求根公式求出x1,x2代入,从方程的结构看会有较大的运算量,而本例上述的解法就很好地避开了较大的运算量.
例4(1)(2022山西临汾一模)过点P(1,-1)作抛物线C:x2=2y的两条切线,切点分别为M,N.若Q为△PMN的重心,则点Q的坐标为(　　)
答案:(1)A　(2)13
(2)设椭圆的焦距为2c,F1,F2分别为左、右焦点.
∴|AF1|=|F1F2|,∴直线DE为线段AF2的垂直平分线,连接EF2,DF2,则四边形ADF2E为轴对称图形,∴△ADE周长=|DE|+|AE|+|AD|=|DE|+|EF2|+|DF2|=4a=8c=13.
规律方法 直线与圆锥曲线解题方法的程序化过程
对点训练4(1)(2022河南平顶山质检三)已知抛物线y2=16x,过点M(2,0)的直线交抛物线于A,B两点,F为抛物线的焦点,若|AF|=12,O为坐标原点,则四边形OAFB的面积是(　　)(2)(2022河南许昌质检一)抛物线方程为y2=2px(p>0),任意过点M(1,0)且斜率不为0的直线和抛物线交于点A,B,已知x轴上存在一点N(不同于点M),且满足∠ANM=∠BNM,则点N的坐标为(　　)A.(-1,0)B.(-2,0)C.(-p,0)D.(-2p,0)
答案:(1)A　(2)A