备战2024年高考总复习一轮（数学）第8章 立体几何 第5节 空间直线、平面的垂直关系课件PPT

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1.直线与平面垂直(1)直线和平面垂直的定义如果一条直线l与平面α内的任意一条直线都垂直,就说直线l与平面α互相垂直. “任意”与“所有”是同义的,但与“无数”不同
(2)判定定理与性质定理
微思考 若两平行线中的一条垂直于一个平面,则另一条也垂直于这个平面吗?
提示:垂直.若两条平行线中的一条垂直于一个平面,那么在平面内可以找到两条相交直线与该直线垂直,根据异面直线所成的角,可以得出两平行直线中的另一条也与平面内的那两条直线成90°的角,即垂直于平面内的这两条相交直线,所以垂直于这个平面.
3.二面角(1)定义:从一条直线出发的　　　　　　　　所组成的图形叫做二面角; 二面角是一个几何图形 (2)二面角的平面角:在二面角的棱上任取一点,以该点为垂足,在两个半平面内分别作　　　　　　　　的两条射线,这两条射线所构成的角叫做二面角的平面角. (3)二面角的范围:[0°,180°].微点拨二面角的平面角定义中有三个关键词:一是“棱上一点”,二是“在两个半平面内”,三是“作棱的垂线”.
4.平面与平面垂直(1)平面与平面垂直的定义两个平面相交,如果它们所成的二面角是　　　　　　　　,就说这两个平面互相垂直. 
微点拨面面垂直的性质定理是作辅助线的一个重要依据.我们要作一个平面的一条垂线,通常是先找这个平面的一个垂面,在这个垂面中,作交线的垂线即可.微思考若平面α⊥β,且α∩β=l,若直线m⊥l,则m与平面β一定垂直吗?
提示:不一定,直线m⊂α时,才有m⊥β.
常用结论1.直线与平面垂直的五个结论(1)若一条直线垂直于一个平面,则这条直线垂直于这个平面内的任意直线.(2)若两条平行线中的一条垂直于一个平面,则另一条也垂直于这个平面.(3)垂直于同一条直线的两个平面平行.(4)一条直线垂直于两平行平面中的一个,则这一条直线与另一个平面也垂直.(5)两个相交平面同时垂直于第三个平面,它们的交线也垂直于第三个平面.2.三垂线定理在平面内的一条直线,如果它和这个平面的一条斜线的射影垂直,那么它也和这条斜线垂直.
例1(1) 已知三条不重合的直线m,n,l,三个不重合的平面α,β,γ,下列命题中正确的是(　　)
(2)(2022全国乙,文9)在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别为AB,BC的中点,则(　　)A.平面B1EF⊥平面BDD1B.平面B1EF⊥平面A1BDC.平面B1EF∥平面A1ACD.平面B1EF∥平面A1C1D
答案:(1)B　(2)A解析:(1)A.因为m⊥l,n⊥l,所以m∥n或者m与n相交或者m,n异面,所以A不正确;B.因为垂直于同一条直线的两个平面平行,所以B正确;C.因为垂直于同一个平面的两个平面平行或相交,所以C不正确;D.由 得n∥α或n⊂α,所以D不正确.
(2)如图,对于A,∵E,F分别为AB,BC的中点,∴EF∥AC.在正方体ABCD -A1B1C1D1中,AC⊥BD,DD1⊥AC,又BD∩DD1=D,∴AC⊥平面BDD1,∴EF⊥平面BDD1.又EF⊂平面B1EF,∴平面B1EF⊥平面BDD1.故A正确.对于B,连接AC1,易证AC1⊥平面A1BD.假设平面B1EF⊥平面A1BD,又AC1⊄平面B1EF,∴AC1∥平面B1EF.又AC∥EF,AC⊄平面B1EF,EF⊂平面B1EF,∴AC∥平面B1EF.又AC1∩AC=A,∴平面AA1C1C∥平面B1EF.
又平面AA1C1C∩平面AA1B1B=AA1,平面B1EF∩平面AA1B1B=B1E,∴AA1∥B1E,显然不成立,∴假设不成立,即平面B1EF与平面A1BD不垂直.故B错误.对于C,由题意知,直线AA1与B1E必相交,故平面B1EF与平面A1AC必相交.故C错误.对于D,连接AB1,CB1,易证平面AB1C∥平面A1C1D,又平面B1EF与平面AB1C相交,∴平面B1EF与平面A1C1D不平行.故D错误.
规律方法 判断与空间平行、垂直关系有关的命题真假的方法(1)借助几何图形来说明线面关系.(2)寻找反例,只要存在反例,结论就不正确.(3)反复验证所有可能的情况,必要时要运用判定定理或性质定理进行简单说明.
对点训练1(1) 设α,β是两个不同的平面,l是一条直线,以下结论正确的是(　　)A.若l⊥α,α∥β,则l⊥βB.若l∥α,l∥β,则α∥βC.若l⊥α,α⊥β,则l⊂βD.若l∥α,α⊥β,则l⊥β(2) 若m,n是两条不同的直线,α,β是两个不同的平面,且m⊥α,n⊂β,则“m∥n”是“α⊥β”的(　　)A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件
答案:(1)A　(2)A　解析:(1)选项A.若两平面平行,则垂直于一个平面的直线必垂直于另一个平面,故A正确;选项B.若α∩β=m,l∥m,且直线l不在平面α和β内,此时满足l∥α,l∥β,故B不正确;选项C.若l⊥α,α⊥β,则直线l可能满足l⊂β,也可能满足l∥β,故C不正确;选项D.若l∥α,α⊥β,则直线l可能在平面β内,可能与平面β相交,也可能l∥β,故D不正确.(2)若m∥n,∵m⊥α,∴n⊥α.又n⊂β,由面面垂直的判定定理知α⊥β.∴“m∥n”是“α⊥β”的充分条件;若α⊥β,如图,在正方体ABCD-A'B'C'D'中,记平面BCC'B'为α,记平面ABCD为β,A'B'为直线m,AD为直线n,满足条件α⊥β,m⊥α,n⊂β,但m,n不平行,∴“m∥n”是“α⊥β”的充分不必要条件.
规律方法 证明直线与平面垂直后,再利用线面垂直的性质证明线线垂直,这是线面垂直的判定定理的常见应用,其思维流程为:
对点训练2如图所示,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,AB=AC=AA1=3,BC=2,D是BC的中点,F是CC1上一点.当CF=2时,证明:B1F⊥平面ADF.
证明:因为AB=AC,D是BC的中点,所以AD⊥BC.在直三棱柱ABC-A1B1C1中,因为BB1⊥底面ABC,AD⊂底面ABC,所以AD⊥B1B.因为BC∩B1B=B,BC⊂平面B1BCC1,B1B⊂平面B1BCC1,所以AD⊥平面B1BCC1.因为B1F⊂平面B1BCC1,所以AD⊥B1F.
(方法1　三角形全等证明线线垂直)在矩形B1BCC1中,因为C1F=CD=1,B1C1=CF=2,所以Rt△DCF≌Rt△FC1B1,所以∠CFD=∠C1B1F.所以∠B1FD=90°,所以B1F⊥FD.因为AD∩FD=D,AD⊂平面ADF,FD⊂平面ADF,所以B1F⊥平面ADF.
考向2直线与平面垂直的性质例3如图,PA⊥平面ABCD,四边形ABCD为矩形,PA=AB=1,AD=2,点F是PB的中点,点E在边BC上移动.(1)求三棱锥E-PAD的体积;(2)证明:无论点E在边BC的何处,都有AF⊥PE.
规律方法 证明线线垂直的2种基本方法
对点训练3如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,P为D1D的中点,O为底面ABCD的中心,求证:B1O⊥AP.
证明:(方法1　线面垂直法)如图①,易证AB1=CB1.又因为O为AC的中点,所以B1O⊥AC.在矩形BDD1B1中,O,P分别为BD,D1D的中点.易证Rt△POD∽Rt△OB1B,所以∠POD=∠OB1B.因为∠OB1B+∠BOB1=90°,所以∠POD+∠BOB1=90°,所以∠POB1=90°,所以B1O⊥PO.又AC∩PO=O,所以B1O⊥平面PAC.又AP⊂平面PAC,所以B1O⊥AP.
例4如图,在三棱锥A-BCD中,平面ABD⊥平面BCD,AB=AD,O为BD的中点.(1)证明:OA⊥CD;(2)若△OCD是边长为1的等边三角形,点E在棱AD上,DE=2EA,且二面角E-BC-D的大小为45°,求三棱锥A-BCD的体积.
(1)证明:在△ABD中,∵AB=AD,O为BD的中点,∴AO⊥BD.∵平面ABD⊥平面BCD,平面ABD∩平面BCD=BD,AO⊂平面ABD,∴AO⊥平面BCD.∵CD⊂平面BCD,∴AO⊥CD.(2)解:如图,过点E作EN∥AO交BD于N,过点N作NM∥CD交BC于M.∵AO⊥平面BCD,EN∥AO,∴EN⊥平面BCD.∴EN⊥BC.在△BCD中,∵OB=OD=OC=1,∴∠BCD=90°,即DC⊥BC.∵NM∥CD,∴NM⊥BC.又EN∩NM=N,∴BC⊥平面EMN,∴BC⊥ME.
规律方法 面面垂直的证明方法
对点训练4(2022安徽马鞍山三模)如图,四棱柱ABCD-A1B1C1D1所有的棱长均为2, ∠BAD=∠A1AD=60°,A1C= .(1)求证:平面A1ADD1⊥平面ABCD;(2)求点C到平面A1BD的距离.
(1)证明:如图,取AD中点O,连接A1O,CO,由题可知△A1AD是边长为2的正三角形,所以A1O⊥AD且A1O= .在△COD中,∠ODC=180°-∠BAD=120°,由余弦定理得OC2=OD2+CD2-2OD·CD·cs∠ODC=7,从而A1O2+OC2=A1C2,于是A1O⊥OC.又AD∩OC=O,所以A1O⊥平面ABCD,又A1O⊂平面A1ADD1,所以平面A1ADD1⊥平面ABCD.
证明:(1)取AC的中点O,连接OM,ON.因为M,N分别是AB,DF的中点,所以在菱形ACDF中,ON∥AF.在△ABC中,OM∥BC.又因为BC∥EF,所以OM∥EF,OM∩ON=O,所以平面OMN∥平面AEF.MN⊂平面OMN,所以MN∥平面AEF.
规律方法用几何法证明空间中的平行与垂直关系,关键是灵活运用各种平行(垂直)关系的转化:
对点训练5如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是梯形,AB∥CD, AD⊥AB,AB=AD=PD= CD,PD⊥平面ABCD.(1)证明:平面PBD⊥平面PBC;(2)是否存在一点E,使得PA∥平面BDE?若存在,请说明点E的位置,并证明你的结论;若不存在,请说明理由.
(1)证明:因为PD⊥平面ABCD,BC⊂平面ABCD,所以PD⊥BC.设AB=a,则AD=a,CD=2a,BD= a,取CD的中点M,连接BM,则DM=CM=a,所以DM=AB.因为DM∥AB,所以四边形ABMD是平行四边形,所以BM=AD=a,所以BC= a,所以BD2+BC2=2a2+2a2=4a2=CD2,所以DB⊥BC.因为PD∩DB=D,PD⊂平面PBD,DB⊂平面PBD,所以BC⊥平面PBD.因为BC⊂平面PBC,所以平面PBC⊥平面PBD.
例6(1)(2022全国甲,文9)在长方体ABCD-A1B1C1D1中,已知B1D与平面ABCD和平面AA1B1B所成的角均为30°,则(　　)A.AB=2ADB.AB与平面AB1C1D所成的角为30°C.AC=CB1D.B1D与平面BB1C1C所成的角为45°(2)(2022浙江,8)如图,已知正三棱柱ABC-A1B1C1,AC=AA1,E,F分别是棱BC,A1C1上的点.记EF与AA1所成的角为α,EF与平面ABC所成的角为β,二面角F-BC-A的平面角为γ,则(　　)A.α≤β≤γB.β≤α≤γC.β≤γ≤αD.α≤γ≤β
答案:(1)D　(2)A解析:(1)连接BD.B1D与平面ABCD所成的角为∠B1DB,B1D与平面AA1B1B所成的角为∠DB1A,则∠B1DB=∠DB1A=30°,设B1D=2,则AD=B1B=1.由B1D2=AD2+CD2+B1B2,得AB=CD= ,从而AB= AD,A错;
过点B作BE⊥AB1,垂足为点E,因为AD⊥平面AA1B1B,所以AD⊥BE,又AD∩AB1=A,所以BE⊥平面AB1C1D,所以AE为AB在平面AB1C1D内的射影,
规律方法 几何法求空间角(1)转化为平面角;(2)在解题步骤上要体现:“作出来、证出来、指出来、算出来、答出来”五步.
对点训练6(1)已知正方体ABCD-A1B1C1D1,则下列选项错误的是(　　)A.直线BC1与DA1所成的角为90°B.直线BC1与CA1所成的角为90°C.直线BC1与平面BB1D1D所成的角为45°D.直线BC1与平面ABCD所成的角为45°(2)(2022山西太原二模)在三棱柱ABC-A1B1C1中,各棱长都相等,侧棱垂直于底面,点D是BC1与B1C的交点,则AD与平面BB1C1C所成角的正弦值是(　　)
答案:(1)C　(2)C解析:(1)连接AD1,∵在正方体ABCD-A1B1C1D1中,BC1∥AD1,A1D⊥AD1,∴直线BC1与DA1所成的角为90°,故A正确;连接B1C,∵A1B1⊥平面BCC1B1,BC1⊂平面BCC1B1,∴A1B1⊥BC1,
又BC1⊥B1C,A1B1∩B1C=B1,A1B1⊂平面A1B1C,B1C⊂平面A1B1C,∴BC1⊥平面A1B1C,又CA1⊂平面A1B1C,∴BC1⊥CA1,即直线BC1与CA1所成的角为90°,故B正确;
连接A1C1,交B1D1于点O,连接BO.易证C1A1⊥平面BB1D1D.∴∠C1BO为直线BC1与平面BB1D1D所成的角.∴∠C1BO=30°,故C错误;∵C1C⊥平面ABCD,∴∠C1BC为直线BC1与平面ABCD所成的角.又∠C1BC=45°,∴直线BC1与平面ABCD所成的角为45°,故D正确.故选C.
(2)取BC的中点E,连接DE,AE,如图,