备战2024年高考总复习一轮（数学）第9章 解析几何 第6节 双曲线课件PPT

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1.双曲线的定义平面内与两个定点F1,F2的　　　　　　　　　　　等于常数(小于|F1F2|)的点的轨迹叫做双曲线.这两个定点叫做　　　　　　　　　　　　,两焦点间的距离叫做　　　　　　　　　　. 集合P={M|||MF1|-|MF2||=2a},|F1F2|=2c,其中a,c为常数且a>0,c>0.(1)当　　　　　　　　时,点P的轨迹是双曲线; (2)当　　　　　　　　时,点P的轨迹是两条射线; (3)当　　　　　　　　时,点P不存在. 微点拨若2a=0,则点P的轨迹是线段F1F2的垂直平分线.
2a<|F1F2|　2a=|F1F2|2a>|F1F2|
微思考若将双曲线的定义中的“差的绝对值等于常数”中的“绝对值”去掉,则点的集合是双曲线的哪一支?
提示:设两个定点F1,F2分别是双曲线的左、右焦点,若|MF1|-|MF2|=2a,则点的集合是双曲线的右支,若|MF2|-|MF1|=2a,则点的集合是双曲线的左支.
2.双曲线的标准方程和几何性质
3.等轴双曲线(1)定义:实轴和虚轴的长相等的双曲线叫做等轴双曲线;(2)性质:①两渐近线垂直且方程为y=±x,②离心率为e= .
答案:(1)D　(2)D解析:(1)由条件可知点P在以A,B为焦点的双曲线的右支上,并且c=2,a=1,所以b2=3,
考向2与焦点三角形有关的问题例2已知点F1,F2分别是双曲线C:x2- =1(b>0)的左、右焦点,O为坐标原点,点P在双曲线C的右支上,且满足|F1F2|=2|OP|, tan∠PF2F1≥5,则双曲线C的焦距的取值范围为(　　)
答案:B　解析:如图,由|F1F2|=2|OP|,可知PF1⊥PF2,设|PF2|=m,由双曲线的定义得|PF1|-|PF2|=2,
考向3与定义有关的最值问题例3(2023安徽蚌埠质检)已知双曲线C: -y2=1,F1是C的左焦点,若P为C右支上的动点,设点P到C的一条渐近线的距离为d,则d+|PF1|的最小值为(　　)A.6B.7C.8D.9
规律方法 双曲线定义的应用(1)判定满足某条件的平面内动点的轨迹是双曲线,还是双曲线的一支,若是一支其对应的方程需要限定x或y的范围.(2)在“焦点三角形”中,常利用正、余弦定理及||PF1|-|PF2||=2a,运用平方的方法建立|PF1|与|PF2|的关系.(3)求与双曲线焦点有关的两线段长的和的最值,常利用双曲线的定义将所求量集中到双曲线的同支上.易错点:用双曲线定义要注意三点:①距离之差的绝对值;②2a<|F1F2|;③焦点所在坐标轴的位置.
答案:(1)A　(2)A　(3)C解析:(1)设F1(-2,0),F2(2,0),由题意知动点M满足|MF1|-|MF2|=4=|F1F2|,故动点M的轨迹是射线,故选A.
规律方法 求双曲线标准方程的2种方法(1)定义法:由题目条件判断出动点的轨迹是双曲线,由双曲线定义,确定2a,2b或2c,从而求出a2,b2,写出双曲线方程.(2)待定系数法:设出双曲线方程的标准形式,根据已知条件,列出参数a,b,c的方程并求出a,b.待定系数法求双曲线方程的5种类型:
(2)(2022全国甲,理14)若双曲线y2- =1(m>0)的渐近线与圆x2+y2-4y+3=0相切,则m=　　　　　. 
答案:(1)D　(2)2　解析:(1)依题意可知双曲线的焦点为F1(-c,0),F2(c,0),
规律方法 求圆锥曲线的离心率的方法(1)求圆锥曲线的离心率,关键是找a,b,c中任意两个量的关系,主要从三个方面找:①用a,b,c表达线段长度、角的三角函数值;②用a,b,c表达点的坐标,再看点是否在直线或曲线上;③用a,b,c表达直线或曲线方程,再结合已知求解.(2)若已知双曲线焦点三角形两底角α,β,可用二级结论e= 快速求解.
考向3与几何性质有关的范围、最值问题
(2)(2020全国Ⅱ,文9)设O为坐标原点,直线x=a与双曲线C: (a>0,b>0)的两条渐近线分别交于D,E两点.若△ODE的面积为8,则C的焦距的最小值为(　　)A.4B.8 C.16D.32
规律方法 求解与双曲线几何性质有关的范围或最值问题的方法(1)几何法:如果题中给出的条件有明显的几何特征,主要考虑用图形的几何性质求解,特别是用双曲线的定义和平面几何的有关结论求解.(2)代数法:若题中给出的条件和结论的几何特征不明显,则可以建立目标函数,将问题转化为求函数的值域或最值.
答案:(1)D　(2)A