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备战2024年高考总复习一轮（数学）第9章 解析几何 指点迷津(九) 求曲线轨迹方程的方法课件PPT
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这是一份备战2024年高考总复习一轮（数学）第9章 解析几何 指点迷津(九) 求曲线轨迹方程的方法课件PPT，共26页。PPT课件主要包含了答案A，答案C等内容，欢迎下载使用。
解析几何的基本思想有两个要点:第一,在平面建立坐标系;第二,曲线用带两个变量的代数方程表示.所以求曲线的方程是解析几何的一个重点,曲线方程求出来了,不仅可以运用坐标法把几何问题通过代数的方法解决,而且还把变量、函数以及数和形等重要概念密切联系了起来.
一、定义法如果动点P的运动规律合乎我们已知的某种曲线(如圆、椭圆、双曲线、抛物线)的定义,则可先设出轨迹方程,再根据已知条件,确定方程中的常数,即可得到轨迹方程.例1已知△ABC的顶点A,B的坐标分别为(-4,0),(4,0),C为动点,且满足sin A+sin B= sin C,求点C的轨迹方程.
对点训练1(2022陕西宝鸡三模)已知点A(-1,0),B(1,0),若过A,B两点的动抛物线的准线始终与圆x2+y2=8相切,该抛物线焦点的轨迹是某圆锥曲线的一部分,则该圆锥曲线是( ) A.椭圆B.圆C.双曲线D.抛物线
答案:A解析:由题意抛物线焦点F到定点A和B的距离之和等于A和B分别到准线的距离和,也等于AB的中点O到准线的距离的二倍,因为AB的中点是圆心且抛物线准线与圆相切,所以其距离和为2r=4 ,所以|FA|+|FB|=4 >|AB| =2,所以抛物线焦点的轨迹方程是以A和B为焦点的椭圆.故选A.
二、直译法如果动点P的运动规律是否合乎我们熟知的某些曲线的定义难以判断,但点P满足的等量关系易于建立,则可以先表示出点P所满足的几何上的等量关系,再用点P的坐标(x,y)表示该等量关系式,即可得到轨迹方程.
例2在平面直角坐标系内,已知A(-1,0),B(1,0),C是平面内一动点,则下列条件使点C的轨迹不为圆的是( )
三、参数法如果采用直译法求轨迹方程难以奏效,则可寻求引发动点P运动的某个几何量t,以此量作为参变数,分别建立P点坐标x,y与该参数t的函数关系x=f(t),y=g(t),进而通过消参化为轨迹的普通方程F(x,y)=0.
例3过点P(2,4)作两条互相垂直的直线l1,l2,若l1交x轴于A点,l2交y轴于B点,求线段AB的中点M的轨迹方程.
对点训练3设k∈R,点A为两直线kx+y=0与x-ky+2k-2=0的交点,点B为圆(x+2)2+(y+3)2=2上的动点,则|AB|的最大值为( )
四、代入法(相关点法)如果动点P的运动是由另外某一点P'的运动引发的,而点P'的运动规律已知(该点坐标满足某已知曲线方程),则可以设出P(x,y),用x,y表示出相关点P'的坐标,然后把P'的坐标代入已知曲线方程,即可得到动点P的轨迹方程.
例4 如图所示,已知P(4,0)是圆x2+y2=36内的一点,A,B是圆上的两个动点,且满足∠APB=90°,求矩形APBQ的顶点Q的轨迹方程.
对点训练4已知抛物线y2=x+1,定点A(3,1),B为抛物线上任意一点,点P在线段AB上,且有BP∶PA=1∶2,当点B在抛物线上变动时,求点P的轨迹方程.
五、交轨法在求动点轨迹时,有时会出现要求两动曲线交点的轨迹问题,这种问题通常通过解方程组得出交点(含参数)的坐标,再消去参数求得所求的轨迹方程(若能直接消去两方程的参数,也可直接消去参数得到轨迹方程),该法经常与参数法并用.
例5 过抛物线y2=4px(p>0)的顶点作互相垂直的两弦OA,OB,求抛物线的顶点O在直线AB上的射影M的轨迹方程.
对点训练5已知MN是椭圆 (a>b>0)中垂直于长轴的动弦,A,B是椭圆的左、右顶点,求直线MA和NB的交点P的轨迹方程.
解:(方法1 利用点的坐标作参数)设M(x1,y1),则N(x1,-y1),而A(-a,0),B(a,0).设MA与NB的交点为P(x,y),
解析几何的基本思想有两个要点:第一,在平面建立坐标系;第二,曲线用带两个变量的代数方程表示.所以求曲线的方程是解析几何的一个重点,曲线方程求出来了,不仅可以运用坐标法把几何问题通过代数的方法解决,而且还把变量、函数以及数和形等重要概念密切联系了起来.
一、定义法如果动点P的运动规律合乎我们已知的某种曲线(如圆、椭圆、双曲线、抛物线)的定义,则可先设出轨迹方程,再根据已知条件,确定方程中的常数,即可得到轨迹方程.例1已知△ABC的顶点A,B的坐标分别为(-4,0),(4,0),C为动点,且满足sin A+sin B= sin C,求点C的轨迹方程.
对点训练1(2022陕西宝鸡三模)已知点A(-1,0),B(1,0),若过A,B两点的动抛物线的准线始终与圆x2+y2=8相切,该抛物线焦点的轨迹是某圆锥曲线的一部分,则该圆锥曲线是( ) A.椭圆B.圆C.双曲线D.抛物线
答案:A解析:由题意抛物线焦点F到定点A和B的距离之和等于A和B分别到准线的距离和,也等于AB的中点O到准线的距离的二倍,因为AB的中点是圆心且抛物线准线与圆相切,所以其距离和为2r=4 ,所以|FA|+|FB|=4 >|AB| =2,所以抛物线焦点的轨迹方程是以A和B为焦点的椭圆.故选A.
二、直译法如果动点P的运动规律是否合乎我们熟知的某些曲线的定义难以判断,但点P满足的等量关系易于建立,则可以先表示出点P所满足的几何上的等量关系,再用点P的坐标(x,y)表示该等量关系式,即可得到轨迹方程.
例2在平面直角坐标系内,已知A(-1,0),B(1,0),C是平面内一动点,则下列条件使点C的轨迹不为圆的是( )
三、参数法如果采用直译法求轨迹方程难以奏效,则可寻求引发动点P运动的某个几何量t,以此量作为参变数,分别建立P点坐标x,y与该参数t的函数关系x=f(t),y=g(t),进而通过消参化为轨迹的普通方程F(x,y)=0.
例3过点P(2,4)作两条互相垂直的直线l1,l2,若l1交x轴于A点,l2交y轴于B点,求线段AB的中点M的轨迹方程.
对点训练3设k∈R,点A为两直线kx+y=0与x-ky+2k-2=0的交点,点B为圆(x+2)2+(y+3)2=2上的动点,则|AB|的最大值为( )
四、代入法(相关点法)如果动点P的运动是由另外某一点P'的运动引发的,而点P'的运动规律已知(该点坐标满足某已知曲线方程),则可以设出P(x,y),用x,y表示出相关点P'的坐标,然后把P'的坐标代入已知曲线方程,即可得到动点P的轨迹方程.
例4 如图所示,已知P(4,0)是圆x2+y2=36内的一点,A,B是圆上的两个动点,且满足∠APB=90°,求矩形APBQ的顶点Q的轨迹方程.
对点训练4已知抛物线y2=x+1,定点A(3,1),B为抛物线上任意一点,点P在线段AB上,且有BP∶PA=1∶2,当点B在抛物线上变动时,求点P的轨迹方程.
五、交轨法在求动点轨迹时,有时会出现要求两动曲线交点的轨迹问题,这种问题通常通过解方程组得出交点(含参数)的坐标,再消去参数求得所求的轨迹方程(若能直接消去两方程的参数,也可直接消去参数得到轨迹方程),该法经常与参数法并用.
例5 过抛物线y2=4px(p>0)的顶点作互相垂直的两弦OA,OB,求抛物线的顶点O在直线AB上的射影M的轨迹方程.
对点训练5已知MN是椭圆 (a>b>0)中垂直于长轴的动弦,A,B是椭圆的左、右顶点,求直线MA和NB的交点P的轨迹方程.
解:(方法1 利用点的坐标作参数)设M(x1,y1),则N(x1,-y1),而A(-a,0),B(a,0).设MA与NB的交点为P(x,y),
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