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备战2024年高考总复习一轮（数学）选修4—5 不等式选讲 第2节 不等式的证明课件PPT
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这是一份备战2024年高考总复习一轮（数学）选修4—5 不等式选讲 第2节 不等式的证明课件PPT，共33页。PPT课件主要包含了研考点精准突破等内容，欢迎下载使用。
考向1比较法证明不等式例1选用恰当的证明方法,证明下列不等式.
(2)已知a,b都是正数,并且a≠b,求证:a5+b5>a2b3+a3b2.
(2)证明: (a5+b5)-(a2b3+a3b2)=(a5-a3b2)+(b5-a2b3)=a3(a2-b2)+b3(b2-a2)=(a2-b2)(a3-b3)=(a+b)(a-b)2(a2+ab+b2),因为a,b都是正数,所以a+b>0,a2+ab+b2>0,又因为a≠b,所以(a-b)2>0.所以(a+b)(a-b)2(a2+ab+b2)>0,所以(a5+b5)-(a2b3+a3b2)>0,即a5+b5>a2b3+a3b2.
规律方法 比较法证明不等式的步骤
对点训练1已知f(x)=|x-1|+|x+1|,不等式f(x)<4的解集为M.(1)求集合M;(2)当a,b∈M时,证明:2|a+b|<|4+ab|.
解得-2
规律方法 综合法证明不等式的常用技巧:当用综合法证明不等式时,常利用不等式的基本性质,如同向不等式相加,同向不等式相乘等,但在运用这些性质时,一定要注意这些性质成立的前提条件.
对点训练2(2022河南开封一模)已知正数a,b,c满足a3b3+b3c3+c3a3+abc=4.(1)求证:0f(b).
规律方法 用分析法证明不等式时应注意:(1)分析法证明不等式的依据是不等式的基本性质、已知的重要不等式和逻辑推理的基本理论;(2)分析法证明不等式的思维是从要证不等式出发,逐步寻求使它成立的充分条件,最后得到的充分条件是已知(或已证)的不等式;(3)当用分析法证明数学命题时,一定要恰当地用好“要证”“只需证”“即证”等词语.
对点训练3已知a+b+c=1,
规律方法 利用绝对值三角不等式证明不等式时,一般需要利用绝对值的意义,对函数或代数式中的几个绝对值里面的代数式做正负号的调整,使之对消变量,得到常数.
考向5利用放缩法证明不等式例5已知f(x)=|x-a+1|+|x+b-1|的最小值是c.(其中a,b都是0到1之间的正数)(1)求a+b+c的值;(2)证明:a2+2ab+4bc+2ac≤4.
(1)解: f(x)=|x-a+1|+|x+b-1|≥|x-a+1-(x+b-1)|=|a+b-2|,当且仅当(x-a+1)(x+b-1)≤0时,等号成立,因为a,b∈(0,1),所以f(x)≥2-a-b,所以c=2-a-b,即a+b+c=2.(2)证明:因为a+b+c=2,所以(a+b+c)2=4,即a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac=4,因为b2+c2≥2bc,所以a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac≥a2+2bc+2ab+2bc+2ac,即a2+2ab+4bc+2ac≤4,当且仅当b=c时,等号成立.
规律方法 放缩法证明不等式的技巧放缩法证明不等式,常常利用基本不等式,绝对值三角不等式等大家熟知的数学结论进行放缩,有时也对要证明结论的一端进行适当地放或缩来证明不等式.
对点训练5已知a,b,c均大于0,函数f(x)=|a-x|+|x+b|+c.(1)当a=b=c=2时,求不等式f(x)<8的解集;(2)若函数f(x)的最小值为1,证明:a2+b2+c2≥ .
(2)证明:因为a>0,b>0,c>0,所以f(x)=|a-x|+|x+b|+c≥|a-x+x+b|+c=|a+b|+c=a+b+c,当且仅当(x-a)(x+b)≤0时,等号成立,因为f(x)的最小值为1,所以a+b+c=1,所以(a+b+c)2=a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc=1,因为2ab≤a2+b2,2bc≤b2+c2,2ac≤a2+c2,所以1=a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc≤3(a2+b2+c2),所以a2+b2+c2≥ ,当且仅当a=b=c时,等号成立.
考向6利用柯西不等式证明不等式例6(2022全国甲,文23)已知a,b,c均为正数,且a2+b2+4c2=3,证明:(1)a+b+2c≤3;
规律方法 1.利用柯西不等式证明不等式的技巧:利用柯西不等式证明不等式时,一定要满足柯西不等式的形式,这往往需要对要证明的不等式的一端的代数进行变形,以满足柯西不等式的形式.2.要理解并记住等号成立的条件:
对点训练6(2022陕西榆林二模)已知正数a,b,c,d满足a2+b2+c2+d2=1,证明:
考向1比较法证明不等式例1选用恰当的证明方法,证明下列不等式.
(2)已知a,b都是正数,并且a≠b,求证:a5+b5>a2b3+a3b2.
(2)证明: (a5+b5)-(a2b3+a3b2)=(a5-a3b2)+(b5-a2b3)=a3(a2-b2)+b3(b2-a2)=(a2-b2)(a3-b3)=(a+b)(a-b)2(a2+ab+b2),因为a,b都是正数,所以a+b>0,a2+ab+b2>0,又因为a≠b,所以(a-b)2>0.所以(a+b)(a-b)2(a2+ab+b2)>0,所以(a5+b5)-(a2b3+a3b2)>0,即a5+b5>a2b3+a3b2.
规律方法 比较法证明不等式的步骤
对点训练1已知f(x)=|x-1|+|x+1|,不等式f(x)<4的解集为M.(1)求集合M;(2)当a,b∈M时,证明:2|a+b|<|4+ab|.
解得-2
规律方法 综合法证明不等式的常用技巧:当用综合法证明不等式时,常利用不等式的基本性质,如同向不等式相加,同向不等式相乘等,但在运用这些性质时,一定要注意这些性质成立的前提条件.
对点训练2(2022河南开封一模)已知正数a,b,c满足a3b3+b3c3+c3a3+abc=4.(1)求证:0
规律方法 用分析法证明不等式时应注意:(1)分析法证明不等式的依据是不等式的基本性质、已知的重要不等式和逻辑推理的基本理论;(2)分析法证明不等式的思维是从要证不等式出发,逐步寻求使它成立的充分条件,最后得到的充分条件是已知(或已证)的不等式;(3)当用分析法证明数学命题时,一定要恰当地用好“要证”“只需证”“即证”等词语.
对点训练3已知a+b+c=1,
规律方法 利用绝对值三角不等式证明不等式时,一般需要利用绝对值的意义,对函数或代数式中的几个绝对值里面的代数式做正负号的调整,使之对消变量,得到常数.
考向5利用放缩法证明不等式例5已知f(x)=|x-a+1|+|x+b-1|的最小值是c.(其中a,b都是0到1之间的正数)(1)求a+b+c的值;(2)证明:a2+2ab+4bc+2ac≤4.
(1)解: f(x)=|x-a+1|+|x+b-1|≥|x-a+1-(x+b-1)|=|a+b-2|,当且仅当(x-a+1)(x+b-1)≤0时,等号成立,因为a,b∈(0,1),所以f(x)≥2-a-b,所以c=2-a-b,即a+b+c=2.(2)证明:因为a+b+c=2,所以(a+b+c)2=4,即a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac=4,因为b2+c2≥2bc,所以a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac≥a2+2bc+2ab+2bc+2ac,即a2+2ab+4bc+2ac≤4,当且仅当b=c时,等号成立.
规律方法 放缩法证明不等式的技巧放缩法证明不等式,常常利用基本不等式,绝对值三角不等式等大家熟知的数学结论进行放缩,有时也对要证明结论的一端进行适当地放或缩来证明不等式.
对点训练5已知a,b,c均大于0,函数f(x)=|a-x|+|x+b|+c.(1)当a=b=c=2时,求不等式f(x)<8的解集;(2)若函数f(x)的最小值为1,证明:a2+b2+c2≥ .
(2)证明:因为a>0,b>0,c>0,所以f(x)=|a-x|+|x+b|+c≥|a-x+x+b|+c=|a+b|+c=a+b+c,当且仅当(x-a)(x+b)≤0时,等号成立,因为f(x)的最小值为1,所以a+b+c=1,所以(a+b+c)2=a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc=1,因为2ab≤a2+b2,2bc≤b2+c2,2ac≤a2+c2,所以1=a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc≤3(a2+b2+c2),所以a2+b2+c2≥ ,当且仅当a=b=c时,等号成立.
考向6利用柯西不等式证明不等式例6(2022全国甲,文23)已知a,b,c均为正数,且a2+b2+4c2=3,证明:(1)a+b+2c≤3;
规律方法 1.利用柯西不等式证明不等式的技巧:利用柯西不等式证明不等式时,一定要满足柯西不等式的形式,这往往需要对要证明的不等式的一端的代数进行变形,以满足柯西不等式的形式.2.要理解并记住等号成立的条件:
对点训练6(2022陕西榆林二模)已知正数a,b,c,d满足a2+b2+c2+d2=1,证明:
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