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2023年高考指导数学(人教A文一轮)单元质检卷十一 概率
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这是一份2023年高考指导数学(人教A文一轮)单元质检卷十一 概率，共13页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
单元质检卷十一 概率
(时间:120分钟 满分:150分)
一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求.
1.在区间[-1,4]内取一个数x,则2x-x2≥14的概率是( )
A.12 B.13 C.25 D.35
2.某商场有三层楼,最初规划一层为生活用品区,二层为服装区,三层为餐饮区,招商工作结束后,共有100家商家入驻,各楼层的商铺种类如表所示,若从所有商铺中随机抽取一家,该商铺所在楼层与最初规划不一致的概率为( )
商铺类型
生活用品店
服装店
餐饮店
一层
25
7
3
二层
4
27
4
三层
6
1
23
A.0.75 B.0.6 C.0.4 D.0.25
3.《周髀算经》中提出了“方属地,圆属天”,就是人们常说的“天圆地方”.我国古代铜钱的铸造也蕴含了这种“外圆内方”“天地合一”的哲学思想.现将铜钱抽象成如图所示的图形,其中圆的半径为r,正方形的边长为a(0
A.1-a2πr2 B.a2πr2 C.ar D.1-ar
4.从1,2,3,4,5这5个数中随机抽取2个数,分别记为m,n,则mn为整数的概率为( )
A.25 B.14 C.15 D.425
5.从2,3,5,7这四个数中任取三个数,组成无重复数字的三位数,则这个三位数是奇数的概率为( )
A.13 B.23 C.34 D.56
6.在一个不透明的盒子中装有4个大小、形状完全相同的小球,分别标有数字1,2,3,4.现每次有放回地从中任意取出一个小球,直到标有偶数的球都取到过就停止.小明用随机模拟的方法估计恰好在第4次停止摸球的概率,利用计算机软件产生随机数,每1组中有4个数字,分别表示每次摸球的结果,经随机模拟产生了以下21组随机数,由此可以估计恰好在第4次停止摸球的概率为( )
1314 1234 2333 1224 3322 1413 3124
4321 2341 2413 1224 2143 4312 2412
1413 4331 2234 4422 3241 4331 4234
A.27 B.13 C.821 D.521
7.已知a,b∈{-2,-1,1,2},若向量m=(a,b),n=(1,1),则向量m与n所成的角为锐角的概率是( )
A.316 B.14 C.38 D.716
8.不透明的箱子中有形状、大小都相同的5个球,其中2个白球、3个黄球,现从箱子中随机摸出2个球,则这2个球颜色不同的概率为( )
A.310 B.25 C.35 D.710
9.数学家阿基米德建立了这样的理论:“任何由直线与抛物线所围成的弓形,其面积都是其同底同高的三角形面积的三分之四”.如图,直线x=1与抛物线y2=2x交于A,B两点,A,B两点在y轴上的射影分别为M,N,从长方形ABNM内任取一点,则该点落在阴影部分的概率为( )
A.13 B.23
C.12 D.34
10.将3个1和2个0随机排成一行,则2个0不相邻的概率为( )
A.0.3 B.0.5
C.0.6 D.0.8
11.今4名医生分别到A,B,C三所医院支援抗疫,每名医生只能去一所医院,且每个医院至少去1名医生,则甲、乙两医生恰好到同一所医院支援的概率为( )
A.13 B.14 C.16 D.18
12.在区间[0,1]上随机取一个实数a,在区间[0,2]上随机取一个实数b,则关于x,y的方程x2a2+y2b2=1表示焦点在y轴上的椭圆的概率为( )
A.22 B.14 C.34 D.12
二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.
13.某中学为了加强艺术教育,促进学生全面发展,要求每名学生从音乐和美术中至少选择一门兴趣课,某班有50名学生,选择音乐的有21人,选择美术的有39人,从全班学生中随机抽取一人,那么这个人两种兴趣班都选择的概率是 .
14.在区间[-2,2]上随机抽取一个数x,则事件“-1≤ln(x+1)≤1”发生的概率为 .
15.从标有数字1,2,3的三个红球和标有数字2,3的两个白球中任取两个球,则取得两球的数字和颜色都不相同的概率为 .
16.在满足不等式组x-y+1≥0,x+y-3≤0,y≥0的点集中随机取一点M(x0,y0),设事件A为“y0<2x0”,那么事件A发生的概率是 .
三、解答题:共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17.(10分)2019年,河北等8省公布了高考改革综合方案,将采取“3+1+2”模式,即语文、数学、英语必考,然后考生先在物理、历史中选择1门,再在思想政治、地理、化学、生物学中选择2门.为了更好进行规划,甲同学对高一一年来的七次考试成绩进行统计分析,其中物理、历史成绩的茎叶图如图所示.
(1)若甲同学随机选择3门功课,求他选到物理、地理两门功课的概率;
(2)试根据茎叶图分析甲同学应在物理和历史中选择哪一门学科?并说明理由.
18.(12分)在某地区的教育成果展示会上,其下辖的一个教育教学改革走在该地区前列的中学近几年升入“双一流”大学的学生人数(单位:个)有如下统计表:
年份
2015
2016
2017
2018
2019
2020
年份代码x
1
2
3
4
5
6
学生人数y/个
66
67
70
71
72
74
(1)根据表中数据,建立y关于x的线性回归方程;
(2)根据线性回归方程预测2021年该中学升入“双一流”大学的学生人数(结果保留整数).
附:对于一组数据(x1,y1),(x2,y2),…,(xn,yn),其回归直线y=bx+a的斜率和截距的最小二乘估计分别为b^=∑i=1n(xi-x)(yi-y)∑i=1n(xi-x)2,a^=y−b^x.
参考数据:∑i=16(xi-x)(yi-y)=28.
19.(12分)某农场主拥有两个面积都是200亩的农场——“生态农场”与“亲子农场”,种植的都是黄桃,黄桃根据品相和质量大小分为优级果、一级果、残次果三个等级.农场主随机抽取了两个农场的黄桃各100千克,得到如下数据:“生态农场”优级果和一级果共95千克,两个农场的残次果一共20千克,优级果数目如下:“生态农场”20千克,“亲子农场”25千克.
(1)根据提供的数据,作出2×2列联表,并判断是否有95%的把握认为残次果率与农场有关?
(2)种植黄桃的成本为5元/千克,且黄桃价格如下表:
等级
优级果
一级果
残次果
价格/(元/千克)
10
8
-0.5(无害化处理费用)
由于农场主精力有限,决定售卖其中的一个农场,以样本的频率作为概率,请你根据统计的知识帮他做出决策.(假设两个农场的产量相同)
参考公式:K2=n(ad-bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d),其中n=a+b+c+d.
P(K2≥k0)
0.100
0.050
0.010
0.001
k0
2.706
3.841
6.635
10.828
20.(12分)青少年近视问题已经成为影响青少年健康的一个重要问题.某机构为了解使用电子产品对青少年视力的影响,随机抽取了200名青少年,调查他们每天使用电子产品的时间(单位:分钟),根据调查数据按(0,30],(30,60],(60,90],(90,120],(120,150],[150,180]分成6组,得到频数分布表如下:
时间/分钟
(0,30]
(30,60]
(60,90]
(90,120]
(120,150]
[150,180]
频数
12
38
72
46
22
10
(1)根据上表数据,求该地青少年每天使用电子产品时间的中位数;
(2)若每天使用电子产品的时间超过60分钟,就叫长时间使用电子产品.完成下面的2×2列联表,并判断是否有99.9%的把握认为是否患近视与每天长时间使用电子产品有关.
是否长时间使用电子产品
否
是
合计
患近视人数
100
未患近视人数
80
合计
200
参考公式:K2=n(ad-bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d),其中n=a+b+c+d.
参考数据:
P(K2≥k0)
0.10
0.05
0.010
0.001
k0
2.706
3.841
6.635
10.828
21.(12分)近期某市组织高一年级全体学生参加了某项技能操作比赛,等级分为1至10分,有关部门随机调阅了A,B两所学校各60名学生的成绩,得到样本数据如下:
A校样本数据条形图
B校样本数据统计表
成绩/分
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
人数/个
0
0
0
9
12
21
9
6
3
0
(1)计算两所学校样本数据的均值和方差,并根据所得数据进行比较并评价;
(2)从A校样本数据成绩分别为7分、8分和9分的学生中按分层抽样的方法抽取6人,从抽取的6人中任选2人参加更高一级的比赛,求这2人成绩之和不小于15分的概率.
22.(12分)人们用大数据来描述和定义信息时代产生的海量数据,并利用这些数据处理事务和做出决策,某公司通过大数据收集到该公司销售的某电子产品1月至5月的销售量如下表.
月份x
1
2
3
4
5
销售量y(单位:万件)
4.9
5.8
6.8
8.3
10.2
该公司为了预测未来几个月的销售量,建立了y关于x的回归模型:y^=u^x2+v^.
(1)根据所给数据与回归模型,求y关于x的回归方程(u^的值精确到0.1);
(2)已知该公司的月利润z(单位:万元)与x,y的关系为z=24x−5y+2x,根据(1)中的结果,问该公司哪一个月的月利润预报值最大?
参考公式:对于一组数据(x1,y1),(x2,y2),…,(xn,yn),其回归直线y=bx+a的斜率和截距的最小二乘估计分别为b^=∑i=1n(xi-x)(yi-y)∑i=1n(xi-x)2,a^=y−b^x.
参考答案
单元质检卷十一 概率
1.D 解析 因为2x-x2≥14,所以x2-x-2≤0,解得x∈[-1,2],所以所求概率P=2-(-1)4-(-1)=35.故选D.
2.D 解析 100家商铺中与最初规划一致的有25+27+23=75家,故不一致的有100-75=25家,
所以从所有商铺中随机抽取一家,该商铺所在楼层与最初规划不一致的概率为25100=0.25.
3.A 解析 圆形钱币的半径为r,面积为S圆=πr2.正方形边长为a,面积为S正方形=a2,在圆形内随机取一点,此点取自阴影部分的概率是P=S圆-S正方形S圆=πr2-a2πr2=1-a2πr2.
4.B 解析 从1,2,3,4,5这5个数中随机抽取2个数组成的(m,n)的所有情况为(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(2,3),(2,4),(2,5),(3,4),(3,5),(4,5),(2,1),(3,1),(4,1),(5,1),(3,2),(4,2),(5,2),(4,3),(5,3),(5,4),共20种,mn为整数包含的基本事件(m,n)有5个,分别为(2,1),(3,1),(4,1),(5,1),(4,2),共5个,则mn为整数的概率为P=520=14.
5.C 解析由题意,这个数可能为235,237,253,257,273,275,325,327,352,357,372,375,523,527,532,537,572,573,723,725,732,735,752,753,共24种结果,其中奇数有18个,故这个数是奇数的概率为34.故选C.
6.A 解析 在21组随机数中,代表“恰好在第4次停止摸球”的随机数是1234,1224,3124,1224,4312,2234,共6组,所以恰好在第4次停止摸球的概率P=621=27.故选A.
7.B 解析向量m与n所成的角为锐角等价于m·n>0,且m与n的方向不同,即m·n=(a,b)·(1,1)=a+b>0,则满足条件的向量m有(-1,2),(1,1),(1,2),(2,-1),(2,1),(2,2),其中m=(1,1)或m=(2,2)时,与n同向,故舍去,故共有4种情况满足条件.又因为m的取法共有4×4=16(种),则向量m与n所成的角为锐角的概率是416=14.故选B.
8.C 解析 将2个白球分别记为白球1,白球2,将3个黄球分别记为黄球1,黄球2,黄球3.从该箱子中随机摸出2个球,所有情况是(白球1,白球2),(白球1,黄球1),(白球1,黄球2),(白球1,黄球3),(白球2,黄球1),(白球2,黄球2),(白球2,黄球3),(黄球1,黄球2),(黄球1,黄球3),(黄球2,黄球3),共10种,摸出的这2个球颜色不同的情况有(白球1,黄球1),(白球1,黄球2),(白球1,黄球3),(白球2,黄球1),(白球2,黄球2),(白球2,黄球3),共6种,故所求概率为610=35,故选C.
9.A 解析由题意,得M(0,2),N(0,-2),S长方形ABNM=22×1=22,由阿基米德理论可知弓形面积为S弓=43×12×22×1=423,S阴影=22−423=223,故所求概率P=S阴影S长方形ABNM=22322=13.故选A.
10.C 解析 将3个1和2个0随机排成一行,共有11100,00111,01110,11010,11001,10110,10011,10101,01101,01011,10种排法,2个0不相邻的排法共有01110,11010,10110,10101,01101,01011,6种排法,故所求的概率为610=0.6,故选C.
11.C 解析由题意,三所医院一定有一所分到2名医生,另两所各分到1名医生,设4名医生分别为甲、乙、丙、丁,其中2名医生去一所医院的情况有(甲乙,丙,丁),(甲丙,乙,丁),(甲丁,乙,丙),(乙丙,甲,丁),(乙丁,甲,丙),(丙丁,甲,乙),共6种,而每一种情况分配到A,B,C三所医院又有6种不同的分配方法,共有36种情况,则甲、乙两医生恰好到同一所医院支援的概率为P=mn=636=16.故选C.
12.C 解析在区间[0,1]和[0,2]中各随机取1个数a和b,则所有可能的(a,b)在矩形OABC中,如图所示,关于x,y的方程x2a2+y2b2=1表示焦点在y轴上的椭圆等价于事件b>a>0,满足b>a>0的点(a,b)在如图所示的阴影部分内,所求概率为S矩形OABC-S△OADS矩形OABC=1×2-12×1×11×2=34.
13.15 解析 由题意,两种兴趣班都选择的学生人数为21+39-50=10,从全班学生中随机抽取一人,这个人两种兴趣班都选择的概率是P=1050=15.
14.e2-14e 解析 由不等式-1≤ln(x+1)≤1,得1e-1≤x≤e-1,
所以事件“-1≤ln(x+1)≤1”发生的概率为(e-1)-(1e-1)4=e2-14e.
15.25 解析 从这五个球中任取两个球的基本事件有(红1,红2),(红1,红3),(红1,白2),(红1,白3),(红2,红3),(红2,白2),(红2,白3),(红3,白2),(红3,白3),(白2,白3),共10个基本事件,其中两球的数字和颜色都不相同的基本事件有(红1,白2),(红1,白3),(红2,白3),(红3,白2),共4个基本事件,所以取得两球的数字和颜色都不相同的概率为P=410=25.
16.34 解析 如图所示,不等式组x-y+1≥0,x+y-3≤0,y≥0表示的平面区域为△ABC且A(1,2),B(-1,0),C(3,0),
显然直线l:y=2x过点A且与x轴交于点O,∴所求概率P=S△AOCS△ABC=|OC||BC|=34.
17.解 (1)记物理、历史分别为A1,A2,思想政治、地理、化学、生物学分别为B1,B2,B3,B4,由题意可知考生选择的情形有{A1,B1,B2},{A1,B1,B3},{A1,B1,B4},{A1,B2,B3},{A1,B2,B4},{A1,B3,B4},{A2,B1,B2},{A2,B1,B3},{A2,B1,B4},{A2,B2,B3},{A2,B2,B4},{A2,B3,B4},共12种.
他选到物理、地理两门功课的情形有{A1,B1,B2},{A1,B2,B3},{A1,B2,B4},共3种.
所以甲同学选到物理、地理两门功课的概率为312=14.
(2)物理成绩的平均分为x物理=
76+82+82+85+87+90+937=85(分),
历史成绩的平均分为x历史=
69+76+80+82+94+96+987=85(分),
由茎叶图可知物理成绩的方差s物理2小于历史成绩的方差s历史2.
故从平均分来看,选择物理、历史学科均可以;
从成绩的稳定性来看,应选择物理学科;
从最高分的情况来看,应选择历史学科.
18.解 (1)x=1+2+3+4+5+66=3.5,
y=66+67+70+71+72+746=70,
∑i=16(xi-x)2=17.5,
∑i=16(xi-x)(yi-y)=28,
则b^=2817.5=1.6,a^=y−b^x=70-1.6×3.5=64.4,
故y关于x的线性回归方程为y^=1.6x+64.4.
(2)由(1)可得,当年份为2021时,年份代码x=7,
此时y^=1.6×7+64.4=75.6,保留整数为76.
所以预测2021年该中学升入“双一流”大学的学生人数为76.
19.解(1)作出2×2列联表如下:
农场
非残次果
残次果
总计
生态农场
95
5
100
亲子农场
85
15
100
总计
180
20
200
因为k=200×(95×15-85×5)2100×100×180×20≈5.556>3.841,
所以有95%的把握认为黄桃的残次果率与农场有关.
(2)对于“生态农场”,抽到的黄桃中盈利为5元的频率为0.2,盈利为3元的频率为0.75,盈利为-5.5元的频率为0.05,所以该农场每千克黄桃的平均利润为5×0.2+3×0.75+(-5.5)×0.05=2.975(元);
对于“亲子农场”,抽到的黄桃中盈利为5元的频率为0.25,盈利为3元的频率为0.60,盈利为-5.5元的频率为0.15,所以该农场每千克黄桃的平均利润为5×0.25+3×0.6+(-5.5)×0.15=2.225(元).
两个农场的产量相同,所以“生态农场”的盈利能力更大,应该售卖“亲子农场”.
20.解 (1)因为12+38=50<100,12+38+72=122>100,
所以该地青少年每天使用电子产品时间的中位数在(60,90]内.设该地青少年每天使用电子产品时间的中位数为x,则x-6090-60×72200+12+38200=0.5,
解得x=4856,即该地青少年每天使用电子产品时间的中位数为4856.
(2)由题意可得如下的2×2列联表
是否长时间使用电子产品
否
是
总计
患近视人数
20
100
120
未患近视人数
30
50
80
总计
50
150
200
因为k=200×(20×50-100×30)2120×80×50×150=1009≈11.111>10.828,
所以有99.9%的把握认为是否患近视与每天长时间使用电子产品有关.
21.解 (1)由A校样本数据的条形图可知:成绩分别为4分、5分、6分、7分、8分、9分的学生分别有6人、15人、21人、12人、3人、3人.
A校样本的平均成绩为
xA=4×6+5×15+6×21+7×12+8×3+9×360=6(分),
A校样本的方差为
sA2=6×4+15×1+12×1+3×4+3×960=1.5.
由B校样本数据统计表可知:
B校样本的平均成绩为
xB=4×9+5×12+6×21+7×9+8×6+9×360=6(分),
B校样本的方差为
sB2=9×4+12×1+9×1+6×4+3×960=1.8.
因为xA=xB,所以两校学生的成绩平均分相同.
又因为sA2
成绩为8分的学生应抽取的人数为612+3+3×3=1,设为e;
成绩为9分的学生应抽取的人数为612+3+3×3=1,设为f.
所以所有基本事件有:ab,ac,ad,ae,af,bc,bd,be,bf,cd,ce,cf,de,df,ef,共15个,
其中满足条件的基本事件有:ae,af,be,bf,ce,cf,de,df,ef,共9个,
所以从抽取的6人中任选2人参加更高一级的比赛,这2人成绩之和不小于15分的概率为915=35.
22.解(1)令w=x2,则w=1+4+9+16+255=11,y=4.9+5.8+6.8+8.3+10.25=7.2,
u^=∑i=15(wi-w)(yi-y)∑i=15(wi-w)2=-10×(-2.3)+(-7)×(-1.4)+(-2)×(-0.4)+5×1.1+14×3(1-11)2+(4-11)2+(9-11)2+(16-11)2+(25-11)2=81.1374≈0.2,
v^=y−b^w=7.2-0.2×11=5,
所以y关于x的回归方程为y^=0.2x2+5.
(2)由(1)知y^=0.2x2+5,z=24x−5y+2x=24x−5(0.2x2+5)+2x=24x−x32−27x,
令h(x)=24x−x32−27x(x>0),h'(x)=12x−32x+272x-32=-3x2+24x+272xx=-3(x-9)(x+1)2xx(x>0),
令h'(x)>0,解得09,令h'(x)=0,解得x=9,
所以h(x)=24x−x32−27x(x>0)在x=9处取得极大值,也是最大值,
h(x)max=h(9)=72-27-9=36,所以第9个月的月利润预报值最大.
单元质检卷十一 概率
(时间:120分钟 满分:150分)
一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求.
1.在区间[-1,4]内取一个数x,则2x-x2≥14的概率是( )
A.12 B.13 C.25 D.35
2.某商场有三层楼,最初规划一层为生活用品区,二层为服装区,三层为餐饮区,招商工作结束后,共有100家商家入驻,各楼层的商铺种类如表所示,若从所有商铺中随机抽取一家,该商铺所在楼层与最初规划不一致的概率为( )
商铺类型
生活用品店
服装店
餐饮店
一层
25
7
3
二层
4
27
4
三层
6
1
23
A.0.75 B.0.6 C.0.4 D.0.25
3.《周髀算经》中提出了“方属地,圆属天”,就是人们常说的“天圆地方”.我国古代铜钱的铸造也蕴含了这种“外圆内方”“天地合一”的哲学思想.现将铜钱抽象成如图所示的图形,其中圆的半径为r,正方形的边长为a(0
A.1-a2πr2 B.a2πr2 C.ar D.1-ar
4.从1,2,3,4,5这5个数中随机抽取2个数,分别记为m,n,则mn为整数的概率为( )
A.25 B.14 C.15 D.425
5.从2,3,5,7这四个数中任取三个数,组成无重复数字的三位数,则这个三位数是奇数的概率为( )
A.13 B.23 C.34 D.56
6.在一个不透明的盒子中装有4个大小、形状完全相同的小球,分别标有数字1,2,3,4.现每次有放回地从中任意取出一个小球,直到标有偶数的球都取到过就停止.小明用随机模拟的方法估计恰好在第4次停止摸球的概率,利用计算机软件产生随机数,每1组中有4个数字,分别表示每次摸球的结果,经随机模拟产生了以下21组随机数,由此可以估计恰好在第4次停止摸球的概率为( )
1314 1234 2333 1224 3322 1413 3124
4321 2341 2413 1224 2143 4312 2412
1413 4331 2234 4422 3241 4331 4234
A.27 B.13 C.821 D.521
7.已知a,b∈{-2,-1,1,2},若向量m=(a,b),n=(1,1),则向量m与n所成的角为锐角的概率是( )
A.316 B.14 C.38 D.716
8.不透明的箱子中有形状、大小都相同的5个球,其中2个白球、3个黄球,现从箱子中随机摸出2个球,则这2个球颜色不同的概率为( )
A.310 B.25 C.35 D.710
9.数学家阿基米德建立了这样的理论:“任何由直线与抛物线所围成的弓形,其面积都是其同底同高的三角形面积的三分之四”.如图,直线x=1与抛物线y2=2x交于A,B两点,A,B两点在y轴上的射影分别为M,N,从长方形ABNM内任取一点,则该点落在阴影部分的概率为( )
A.13 B.23
C.12 D.34
10.将3个1和2个0随机排成一行,则2个0不相邻的概率为( )
A.0.3 B.0.5
C.0.6 D.0.8
11.今4名医生分别到A,B,C三所医院支援抗疫,每名医生只能去一所医院,且每个医院至少去1名医生,则甲、乙两医生恰好到同一所医院支援的概率为( )
A.13 B.14 C.16 D.18
12.在区间[0,1]上随机取一个实数a,在区间[0,2]上随机取一个实数b,则关于x,y的方程x2a2+y2b2=1表示焦点在y轴上的椭圆的概率为( )
A.22 B.14 C.34 D.12
二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.
13.某中学为了加强艺术教育,促进学生全面发展,要求每名学生从音乐和美术中至少选择一门兴趣课,某班有50名学生,选择音乐的有21人,选择美术的有39人,从全班学生中随机抽取一人,那么这个人两种兴趣班都选择的概率是 .
14.在区间[-2,2]上随机抽取一个数x,则事件“-1≤ln(x+1)≤1”发生的概率为 .
15.从标有数字1,2,3的三个红球和标有数字2,3的两个白球中任取两个球,则取得两球的数字和颜色都不相同的概率为 .
16.在满足不等式组x-y+1≥0,x+y-3≤0,y≥0的点集中随机取一点M(x0,y0),设事件A为“y0<2x0”,那么事件A发生的概率是 .
三、解答题:共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17.(10分)2019年,河北等8省公布了高考改革综合方案,将采取“3+1+2”模式,即语文、数学、英语必考,然后考生先在物理、历史中选择1门,再在思想政治、地理、化学、生物学中选择2门.为了更好进行规划,甲同学对高一一年来的七次考试成绩进行统计分析,其中物理、历史成绩的茎叶图如图所示.
(1)若甲同学随机选择3门功课,求他选到物理、地理两门功课的概率;
(2)试根据茎叶图分析甲同学应在物理和历史中选择哪一门学科?并说明理由.
18.(12分)在某地区的教育成果展示会上,其下辖的一个教育教学改革走在该地区前列的中学近几年升入“双一流”大学的学生人数(单位:个)有如下统计表:
年份
2015
2016
2017
2018
2019
2020
年份代码x
1
2
3
4
5
6
学生人数y/个
66
67
70
71
72
74
(1)根据表中数据,建立y关于x的线性回归方程;
(2)根据线性回归方程预测2021年该中学升入“双一流”大学的学生人数(结果保留整数).
附:对于一组数据(x1,y1),(x2,y2),…,(xn,yn),其回归直线y=bx+a的斜率和截距的最小二乘估计分别为b^=∑i=1n(xi-x)(yi-y)∑i=1n(xi-x)2,a^=y−b^x.
参考数据:∑i=16(xi-x)(yi-y)=28.
19.(12分)某农场主拥有两个面积都是200亩的农场——“生态农场”与“亲子农场”,种植的都是黄桃,黄桃根据品相和质量大小分为优级果、一级果、残次果三个等级.农场主随机抽取了两个农场的黄桃各100千克,得到如下数据:“生态农场”优级果和一级果共95千克,两个农场的残次果一共20千克,优级果数目如下:“生态农场”20千克,“亲子农场”25千克.
(1)根据提供的数据,作出2×2列联表,并判断是否有95%的把握认为残次果率与农场有关?
(2)种植黄桃的成本为5元/千克,且黄桃价格如下表:
等级
优级果
一级果
残次果
价格/(元/千克)
10
8
-0.5(无害化处理费用)
由于农场主精力有限,决定售卖其中的一个农场,以样本的频率作为概率,请你根据统计的知识帮他做出决策.(假设两个农场的产量相同)
参考公式:K2=n(ad-bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d),其中n=a+b+c+d.
P(K2≥k0)
0.100
0.050
0.010
0.001
k0
2.706
3.841
6.635
10.828
20.(12分)青少年近视问题已经成为影响青少年健康的一个重要问题.某机构为了解使用电子产品对青少年视力的影响,随机抽取了200名青少年,调查他们每天使用电子产品的时间(单位:分钟),根据调查数据按(0,30],(30,60],(60,90],(90,120],(120,150],[150,180]分成6组,得到频数分布表如下:
时间/分钟
(0,30]
(30,60]
(60,90]
(90,120]
(120,150]
[150,180]
频数
12
38
72
46
22
10
(1)根据上表数据,求该地青少年每天使用电子产品时间的中位数;
(2)若每天使用电子产品的时间超过60分钟,就叫长时间使用电子产品.完成下面的2×2列联表,并判断是否有99.9%的把握认为是否患近视与每天长时间使用电子产品有关.
是否长时间使用电子产品
否
是
合计
患近视人数
100
未患近视人数
80
合计
200
参考公式:K2=n(ad-bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d),其中n=a+b+c+d.
参考数据:
P(K2≥k0)
0.10
0.05
0.010
0.001
k0
2.706
3.841
6.635
10.828
21.(12分)近期某市组织高一年级全体学生参加了某项技能操作比赛,等级分为1至10分,有关部门随机调阅了A,B两所学校各60名学生的成绩,得到样本数据如下:
A校样本数据条形图
B校样本数据统计表
成绩/分
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
人数/个
0
0
0
9
12
21
9
6
3
0
(1)计算两所学校样本数据的均值和方差,并根据所得数据进行比较并评价;
(2)从A校样本数据成绩分别为7分、8分和9分的学生中按分层抽样的方法抽取6人,从抽取的6人中任选2人参加更高一级的比赛,求这2人成绩之和不小于15分的概率.
22.(12分)人们用大数据来描述和定义信息时代产生的海量数据,并利用这些数据处理事务和做出决策,某公司通过大数据收集到该公司销售的某电子产品1月至5月的销售量如下表.
月份x
1
2
3
4
5
销售量y(单位:万件)
4.9
5.8
6.8
8.3
10.2
该公司为了预测未来几个月的销售量,建立了y关于x的回归模型:y^=u^x2+v^.
(1)根据所给数据与回归模型,求y关于x的回归方程(u^的值精确到0.1);
(2)已知该公司的月利润z(单位:万元)与x,y的关系为z=24x−5y+2x,根据(1)中的结果,问该公司哪一个月的月利润预报值最大?
参考公式:对于一组数据(x1,y1),(x2,y2),…,(xn,yn),其回归直线y=bx+a的斜率和截距的最小二乘估计分别为b^=∑i=1n(xi-x)(yi-y)∑i=1n(xi-x)2,a^=y−b^x.
参考答案
单元质检卷十一 概率
1.D 解析 因为2x-x2≥14,所以x2-x-2≤0,解得x∈[-1,2],所以所求概率P=2-(-1)4-(-1)=35.故选D.
2.D 解析 100家商铺中与最初规划一致的有25+27+23=75家,故不一致的有100-75=25家,
所以从所有商铺中随机抽取一家,该商铺所在楼层与最初规划不一致的概率为25100=0.25.
3.A 解析 圆形钱币的半径为r,面积为S圆=πr2.正方形边长为a,面积为S正方形=a2,在圆形内随机取一点,此点取自阴影部分的概率是P=S圆-S正方形S圆=πr2-a2πr2=1-a2πr2.
4.B 解析 从1,2,3,4,5这5个数中随机抽取2个数组成的(m,n)的所有情况为(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(2,3),(2,4),(2,5),(3,4),(3,5),(4,5),(2,1),(3,1),(4,1),(5,1),(3,2),(4,2),(5,2),(4,3),(5,3),(5,4),共20种,mn为整数包含的基本事件(m,n)有5个,分别为(2,1),(3,1),(4,1),(5,1),(4,2),共5个,则mn为整数的概率为P=520=14.
5.C 解析由题意,这个数可能为235,237,253,257,273,275,325,327,352,357,372,375,523,527,532,537,572,573,723,725,732,735,752,753,共24种结果,其中奇数有18个,故这个数是奇数的概率为34.故选C.
6.A 解析 在21组随机数中,代表“恰好在第4次停止摸球”的随机数是1234,1224,3124,1224,4312,2234,共6组,所以恰好在第4次停止摸球的概率P=621=27.故选A.
7.B 解析向量m与n所成的角为锐角等价于m·n>0,且m与n的方向不同,即m·n=(a,b)·(1,1)=a+b>0,则满足条件的向量m有(-1,2),(1,1),(1,2),(2,-1),(2,1),(2,2),其中m=(1,1)或m=(2,2)时,与n同向,故舍去,故共有4种情况满足条件.又因为m的取法共有4×4=16(种),则向量m与n所成的角为锐角的概率是416=14.故选B.
8.C 解析 将2个白球分别记为白球1,白球2,将3个黄球分别记为黄球1,黄球2,黄球3.从该箱子中随机摸出2个球,所有情况是(白球1,白球2),(白球1,黄球1),(白球1,黄球2),(白球1,黄球3),(白球2,黄球1),(白球2,黄球2),(白球2,黄球3),(黄球1,黄球2),(黄球1,黄球3),(黄球2,黄球3),共10种,摸出的这2个球颜色不同的情况有(白球1,黄球1),(白球1,黄球2),(白球1,黄球3),(白球2,黄球1),(白球2,黄球2),(白球2,黄球3),共6种,故所求概率为610=35,故选C.
9.A 解析由题意,得M(0,2),N(0,-2),S长方形ABNM=22×1=22,由阿基米德理论可知弓形面积为S弓=43×12×22×1=423,S阴影=22−423=223,故所求概率P=S阴影S长方形ABNM=22322=13.故选A.
10.C 解析 将3个1和2个0随机排成一行,共有11100,00111,01110,11010,11001,10110,10011,10101,01101,01011,10种排法,2个0不相邻的排法共有01110,11010,10110,10101,01101,01011,6种排法,故所求的概率为610=0.6,故选C.
11.C 解析由题意,三所医院一定有一所分到2名医生,另两所各分到1名医生,设4名医生分别为甲、乙、丙、丁,其中2名医生去一所医院的情况有(甲乙,丙,丁),(甲丙,乙,丁),(甲丁,乙,丙),(乙丙,甲,丁),(乙丁,甲,丙),(丙丁,甲,乙),共6种,而每一种情况分配到A,B,C三所医院又有6种不同的分配方法,共有36种情况,则甲、乙两医生恰好到同一所医院支援的概率为P=mn=636=16.故选C.
12.C 解析在区间[0,1]和[0,2]中各随机取1个数a和b,则所有可能的(a,b)在矩形OABC中,如图所示,关于x,y的方程x2a2+y2b2=1表示焦点在y轴上的椭圆等价于事件b>a>0,满足b>a>0的点(a,b)在如图所示的阴影部分内,所求概率为S矩形OABC-S△OADS矩形OABC=1×2-12×1×11×2=34.
13.15 解析 由题意,两种兴趣班都选择的学生人数为21+39-50=10,从全班学生中随机抽取一人,这个人两种兴趣班都选择的概率是P=1050=15.
14.e2-14e 解析 由不等式-1≤ln(x+1)≤1,得1e-1≤x≤e-1,
所以事件“-1≤ln(x+1)≤1”发生的概率为(e-1)-(1e-1)4=e2-14e.
15.25 解析 从这五个球中任取两个球的基本事件有(红1,红2),(红1,红3),(红1,白2),(红1,白3),(红2,红3),(红2,白2),(红2,白3),(红3,白2),(红3,白3),(白2,白3),共10个基本事件,其中两球的数字和颜色都不相同的基本事件有(红1,白2),(红1,白3),(红2,白3),(红3,白2),共4个基本事件,所以取得两球的数字和颜色都不相同的概率为P=410=25.
16.34 解析 如图所示,不等式组x-y+1≥0,x+y-3≤0,y≥0表示的平面区域为△ABC且A(1,2),B(-1,0),C(3,0),
显然直线l:y=2x过点A且与x轴交于点O,∴所求概率P=S△AOCS△ABC=|OC||BC|=34.
17.解 (1)记物理、历史分别为A1,A2,思想政治、地理、化学、生物学分别为B1,B2,B3,B4,由题意可知考生选择的情形有{A1,B1,B2},{A1,B1,B3},{A1,B1,B4},{A1,B2,B3},{A1,B2,B4},{A1,B3,B4},{A2,B1,B2},{A2,B1,B3},{A2,B1,B4},{A2,B2,B3},{A2,B2,B4},{A2,B3,B4},共12种.
他选到物理、地理两门功课的情形有{A1,B1,B2},{A1,B2,B3},{A1,B2,B4},共3种.
所以甲同学选到物理、地理两门功课的概率为312=14.
(2)物理成绩的平均分为x物理=
76+82+82+85+87+90+937=85(分),
历史成绩的平均分为x历史=
69+76+80+82+94+96+987=85(分),
由茎叶图可知物理成绩的方差s物理2小于历史成绩的方差s历史2.
故从平均分来看,选择物理、历史学科均可以;
从成绩的稳定性来看,应选择物理学科;
从最高分的情况来看,应选择历史学科.
18.解 (1)x=1+2+3+4+5+66=3.5,
y=66+67+70+71+72+746=70,
∑i=16(xi-x)2=17.5,
∑i=16(xi-x)(yi-y)=28,
则b^=2817.5=1.6,a^=y−b^x=70-1.6×3.5=64.4,
故y关于x的线性回归方程为y^=1.6x+64.4.
(2)由(1)可得,当年份为2021时,年份代码x=7,
此时y^=1.6×7+64.4=75.6,保留整数为76.
所以预测2021年该中学升入“双一流”大学的学生人数为76.
19.解(1)作出2×2列联表如下:
农场
非残次果
残次果
总计
生态农场
95
5
100
亲子农场
85
15
100
总计
180
20
200
因为k=200×(95×15-85×5)2100×100×180×20≈5.556>3.841,
所以有95%的把握认为黄桃的残次果率与农场有关.
(2)对于“生态农场”,抽到的黄桃中盈利为5元的频率为0.2,盈利为3元的频率为0.75,盈利为-5.5元的频率为0.05,所以该农场每千克黄桃的平均利润为5×0.2+3×0.75+(-5.5)×0.05=2.975(元);
对于“亲子农场”,抽到的黄桃中盈利为5元的频率为0.25,盈利为3元的频率为0.60,盈利为-5.5元的频率为0.15,所以该农场每千克黄桃的平均利润为5×0.25+3×0.6+(-5.5)×0.15=2.225(元).
两个农场的产量相同,所以“生态农场”的盈利能力更大,应该售卖“亲子农场”.
20.解 (1)因为12+38=50<100,12+38+72=122>100,
所以该地青少年每天使用电子产品时间的中位数在(60,90]内.设该地青少年每天使用电子产品时间的中位数为x,则x-6090-60×72200+12+38200=0.5,
解得x=4856,即该地青少年每天使用电子产品时间的中位数为4856.
(2)由题意可得如下的2×2列联表
是否长时间使用电子产品
否
是
总计
患近视人数
20
100
120
未患近视人数
30
50
80
总计
50
150
200
因为k=200×(20×50-100×30)2120×80×50×150=1009≈11.111>10.828,
所以有99.9%的把握认为是否患近视与每天长时间使用电子产品有关.
21.解 (1)由A校样本数据的条形图可知:成绩分别为4分、5分、6分、7分、8分、9分的学生分别有6人、15人、21人、12人、3人、3人.
A校样本的平均成绩为
xA=4×6+5×15+6×21+7×12+8×3+9×360=6(分),
A校样本的方差为
sA2=6×4+15×1+12×1+3×4+3×960=1.5.
由B校样本数据统计表可知:
B校样本的平均成绩为
xB=4×9+5×12+6×21+7×9+8×6+9×360=6(分),
B校样本的方差为
sB2=9×4+12×1+9×1+6×4+3×960=1.8.
因为xA=xB,所以两校学生的成绩平均分相同.
又因为sA2
成绩为8分的学生应抽取的人数为612+3+3×3=1,设为e;
成绩为9分的学生应抽取的人数为612+3+3×3=1,设为f.
所以所有基本事件有:ab,ac,ad,ae,af,bc,bd,be,bf,cd,ce,cf,de,df,ef,共15个,
其中满足条件的基本事件有:ae,af,be,bf,ce,cf,de,df,ef,共9个,
所以从抽取的6人中任选2人参加更高一级的比赛,这2人成绩之和不小于15分的概率为915=35.
22.解(1)令w=x2,则w=1+4+9+16+255=11,y=4.9+5.8+6.8+8.3+10.25=7.2,
u^=∑i=15(wi-w)(yi-y)∑i=15(wi-w)2=-10×(-2.3)+(-7)×(-1.4)+(-2)×(-0.4)+5×1.1+14×3(1-11)2+(4-11)2+(9-11)2+(16-11)2+(25-11)2=81.1374≈0.2,
v^=y−b^w=7.2-0.2×11=5,
所以y关于x的回归方程为y^=0.2x2+5.
(2)由(1)知y^=0.2x2+5,z=24x−5y+2x=24x−5(0.2x2+5)+2x=24x−x32−27x,
令h(x)=24x−x32−27x(x>0),h'(x)=12x−32x+272x-32=-3x2+24x+272xx=-3(x-9)(x+1)2xx(x>0),
令h'(x)>0,解得0
所以h(x)=24x−x32−27x(x>0)在x=9处取得极大值,也是最大值,
h(x)max=h(9)=72-27-9=36,所以第9个月的月利润预报值最大.
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