2023年高考指导数学(人教A文一轮)课时规范练7 函数的奇偶性与周期性

课时规范练7　函数的奇偶性与周期性

基础巩固组

1.若函数f(x)=为奇函数,则a=(　　)

A. B. C. D.1

2.下列函数既是定义域上的偶函数,又是(0,+∞)上的增函数的是(　　)

A.y=- B.y=

C.y=|x-1| D.y=|ln x|

3.(2021全国甲,文12)设f(x)是定义域为R的奇函数,且f(1+x)=f(-x).若f,则f=(　　)

A.- B.- C. D.

4.(2022河南名校联盟一模)若函数f(x)是定义在R上的周期为2的奇函数,当0<x<1时,f(x)=4x,则f-+f(2)=(　　)

A.0 B.2 C.4 D.-2

5.函数f(x)=ax+是偶函数,则实数a=　　　　　. 

6.奇函数f(x)在区间[3,6]上是增函数,且在区间[3,6]上的最大值为8,最小值为-1,则f(6)+f(-3)的值为　　　　　. 

7.已知定义在R上的奇函数y=f(x)满足f(x+8)+f(x)=0,且f(5)=5,则f(2 019)+f(2 024)=　　　　　. 

综合提升组

8.已知函数f(x)的定义域为R,f(5)=4,f(x+3)是偶函数,任意x1,x2∈[3,+∞)满足>0,则不等式f(3x-1)<4的解集为(　　)

A.

B.∪(2,+∞)

C.(2,3)

D.

9.定义在R上的奇函数f(x)满足f(x+4)=f(x),且当x∈(0,2)时,f(x)=(x-1)2,则函数f(x)在区间[0,4]上的零点个数为(　　)

A.3 B.5 

C.2 D.4

10.已知函数y=f(x-1)的图象关于直线x=1对称,满足f(2-x)=f(x),且f(x)在(-1,0)上递减,若a=f(),b=f(-ln 2),c=f(log318),则a,b,c的大小关系为(　　)

A.a<c<b 

B.c<b<a

C.a<b<c 

D.b<a<c

创新应用组

11.(2022湖北二模,8)已知函数f(x)=ln(|x|-1)+2x+2-x,则使不等式f(x+1)<f(2x)成立的x的取值范围是(　　)

A.(-∞,-1)∪(1,+∞)

B.(-2,-1)

C.-∞,-∪(1,+∞)

D.(-∞,-2)∪(1,+∞)

12.设周期函数f(x)是定义在R上的奇函数,若f(x)的最小正周期为3,且满足f(1)>-2,f(2)=m-,则m的取值范围是　　　　　. 

参考答案

课时规范练7　函数的

奇偶性与周期性

1.A　∵f(x)=为奇函数,∴f(-1)+f(1)=0,得a=.

2.A　对A,函数y=-的定义域为(-∞,0)∪(0,+∞)关于原点对称,且满足f(-x)=-=-=f(x),所以函数y=-为定义域上的偶函数,又由当x∈(0,+∞)时,可得y=-,可得函数为(0,+∞)上的增函数,符合题意;对B,当x∈(0,+∞)时,函数y=为单调递减函数,不符合题意;对C,函数y=|x-1|不是偶函数,不符合题意;对D,根据对数函数的图象与性质,可得函数y=|ln x|不是偶函数,不符合题意.

3.C　∵f(x)是奇函数,∴f(-x)=-f(x).∵f(x+1)=f(-x),∴f(x+1)=-f(x),则f(x+2)=-f(x+1)=f(x),所以函数f(x)的周期为2,则f=f=f.故选C.

4.D　由题意,f(2)=f(0)=0,f-=f-=-f,因为当0<x<1时,f(x)=4x,所以f==2,故f-+f(2)=-2+0=-2.

5.1　因为f(x)=ax+(x≠0),且f(x)是偶函数,则f(-x)=f(x),

-ax-=ax+,-a-=a+,2a+=0,即2a=2,所以实数a=1.

6.9　由于f(x)在[3,6]上为增函数,所以f(x)的最大值为f(6)=8,f(x)的最小值为f(3)=-1,因为f(x)为奇函数,所以f(-3)=-f(3)=1,所以f(6)+f(-3)=8+1=9.

7.5　因为f(x+8)+f(x)=0,所以f(x+8)=-f(x),所以f(x+16)=-f(x+8)=f(x),所以函数y=f(x)是以16为周期的周期函数.

又在f(x+8)+f(x)=0中,令x=0得f(8)+f(0)=0,

且奇函数y=f(x)是定义在R上的函数,所以f(0)=0,故f(8)=0,

所以f(2 024)=f(16×126+8)=f(8)=0.

又在f(x+8)+f(x)=0中,令x=-3,得f(5)+f(-3)=0,

得f(5)=-f(-3)=f(3)=5,则f(2 019)=f(16×126+3)=f(3)=5,

所以f(2 019)+f(2 024)=5.

8.D　因为f(x+3)是偶函数,所以f(x)的图象关于直线x=3对称,则f(5)=f(1)=4,因为任意x1,x2∈[3,+∞)满足>0,所以f(x)在[3,+∞)上单调递增,在(-∞,3)上单调递减,故f(3x-1)<4等价于1<3x-1<5,解得<x<2.

9.B　∵f(x)为R上的奇函数,∴f(0)=0,且f(x)图象关于原点对称,由f(x+4)=f(x)知:f(x)是周期为4的周期函数,且f(2)=f(-2+4)=f(-2)=-f(2),∴f(2)=0,f(-2)=0.∴f(x)部分图象如下图所示:

由图象可知:f(x)在[0,4]共有5个零点,分别为x=0,x=1,x=2,x=3,x=4.

10.A　由函数y=f(x-1)关于直线x=1对称,可得函数f(x)关于直线x=0对称,即f(-x)=f(x),所以f(x)是偶函数.又由函数f(x)满足f(2-x)=f(x),可得f(-x)=f(2-x),即f(x)=f(x+2),所以函数f(x)是以2为周期的周期函数,则a=f()=f(-2),b=f(-ln 2)=f(ln 2),c=f(log318)=f(log318-2)=f(log32),又由-2<-2=,且=log3<log32<ln 2,由f(x)在(-1,0)上单调递减,f(x)为偶函数,可得函数f(x)在(0,1)上单调递增,所以f()<f(log318)<f(-ln 2),即a<c<b.

11.D　由|x|-1>0,得x>1或x<-1.f(-x)=ln(|-x|-1)+2-x+2x=ln(|x|-1)+2x+2-x=f(x),即f(x)是偶函数.当x>1时,y=lg(x-1)为增函数,设g(x)=2x+2-x,则g'(x)=ln 2(2x-2-x)>0,∴g(x)为增函数,

∴f(x)=lg(x-1)+2x+2-x为增函数,则不等式f(x+1)<f(2x)等价于不等式f(|x+1|)<f(|2x|),

∴

∴解得x>1或x<-2.即不等式的解集为(-∞,-2)∪(1,+∞).

12.(-∞,-1)∪(0,3)　由题意f(1)>-2,函数是奇函数,故有f(-1)<2.

又周期函数f(x)是定义在R上的奇函数,若f(x)的最小正周期为3,

故f(2)=f(-1)<2.因为f(2)=m-,所以m-<2.

当m>0时,解得0<m<3;当m<0时,解得m<-1.所以m的取值范围是(-∞,-1)∪(0,3).