2023年高考指导数学(人教A文一轮)课时规范练4 简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词

课时规范练4　简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词

基础巩固组

1.(2022江西赣州二模)已知命题p:∀x∈R,sin x+cos x≥,则¬p为(　　)

A.∀x∈R,sin x+cos x<

B.∃x∉R,sin x+cos x<

C.∀x∉R,sin x+cos x<

D.∃x∈R,sin x+cos x<

2.下列四个命题中,既是特称命题又是真命题的是(　　)

A.三角形的内角是锐角或钝角

B.至少有一个实数x0,使>0

C.任意一无理数的平方必是无理数

D.存在一个负数x0,使>2

3.(2022河南焦作一模)已知命题p:∃x∈N*,lg x<0,命题q:∀x∈R,cos x≤1,则下列命题是真命题的是(　　)

A.p∧q B.(¬p)∧q

C.p∧(¬q) D.¬(p∨q)

4.下面命题中假命题是(　　)

A.∀x∈R,3x>0

B.∃α,β∈R,使sin(α+β)=sin α+sin β

C.∃m∈R,使f(x)=m是幂函数,且在(0,+∞)上单调递增

D.命题“∃x0∈R,+1>3x0”的否定是“∀x∈R,x2+1>3x”

5.若命题“∃x0∈R,-2x0+m<0”为真命题,则实数m的取值范围为　　　　　. 

6.已知命题p:关于x的方程x2+ax+1=0没有实数根;命题q:∀x>0,2x-a>0.若“¬p”和“p∧q”都是假命题,则实数a的取值范围是　　　　　. 

综合提升组

7.若p:命题“∃x0∈N,”的否定是“∀x∈N,x2≤2x+1”,q:命题“若ab=0,则a=0或b=0”的否命题是“若ab≠0,则a≠0或b≠0”.则下列命题为真命题的是(　　)

A.¬p B.p∧q

C.¬p∧q D.p∧(¬q)

8.(2022河南郑州一模)已知命题p:∃x0∈R,3sin x0+4cos x0=4;命题q:∀x∈R,|x|≤1.则下列命题中为真命题的是(　　)

A.p∧q B.(¬p)∧q

C.p∨(¬q) D.¬(p∨q)

9.若命题“∃x0∈(0,+∞),使得ax0>+4成立”是假命题,则实数a的取值范围是　. 

10.已知f(x)=ln(x2+1),g(x)=-m,若∀x1∈[0,3],∃x2∈[1,2],使得f(x1)≥g(x2),则实数m的取值范围是　　　　　. 

创新应用组

11.设命题p:∀x∈R,x2-4x+a2>0;命题q:关于x的一元二次方程x2+(a+1)x+a-1=0的一根大于零,另一根小于零;命题r:a2-2a+1-m2≥0(m>0)的解集.

(1)若p∨q为真命题,p∧q为假命题,求实数a的取值范围;

(2)若¬r是¬p的必要不充分条件,求实数m的取值范围.

参考答案

课时规范练4　简单的逻辑联

结词、全称量词与存在量词

1.D　全称命题的否定是特称命题,命题p:∀x∈R,sin x+cos x≥的否定是∃x∈R,sin x+cos x<,故选D.

2.B　对于选项A,命题可改写为:对于任意三角形,其内角均为锐角或钝角,为全称命题,A不符合题意;对于选项B,命题可改写为:存在实数x0,使得>0,为特称命题,且为真命题,B符合题意;对于选项C,命题可改写为:对于任意一个无理数,其平方均为无理数,为全称命题,C不符合题意;对于选项D,命题为特称命题,但当x<0时,<0<2,命题为假命题,D不符合题意.

3.B　因为∀x∈N*,lg x≥0,所以命题p为假命题,¬p为真命题.因为∀x∈R,cos x≤1成立,所以命题q为真命题,所以(¬p)∧q为真命题.

4.D　选项A,因为y=ax(a>0,且a≠1)的值域为(0,+∞),所以∀x∈R,3x>0,故A为真命题;选项B,令α=0,β=,则sin(α+β)=sin=1,sin 0+sin=0+1=1,故B为真命题;选项C,因为f(x)=m是幂函数,所以m=1,故f(x)=x3,且在(0,+∞)上单调递增,故C为真命题;选项D,命题“∃x0∈R,+1>3x0”否定是“∀x∈R,x2+1≤3x”,故D为假命题.

5.(-∞,1)　由题意可知,不等式x2-2x+m<0有解,∴Δ=4-4m>0,解得m<1,

∴实数m的取值范围为(-∞,1).

6.(1,2)　因为“¬p”和“p∧q”都是假命题,所以p是真命题,q是假命题.

p是真命题,则Δ=a2-4<0,解得-2<a<2.

因为∀x>0,2x-a>0,则a<2x在(0,+∞)上恒成立,即a≤1,又因为q是假命题,所以a>1.

综上,a的取值范围是(1,2).

7.D　p:命题“∃x0∈N,”的否定是“∀x∈N,x2≤2x+1”,为真命题;因为“若ab=0,则a=0或b=0”的否命题是“若ab≠0,则a≠0且b≠0”,则q为假命题,¬q为真命题,所以p∧(¬q)为真命题.

8.B　∵3sin x+4cos x=5sin(x+θ)∈[-5,5],4>5,∴命题p为假命题.∵|x|≥0,∴|x|≤0=1,∴命题q为真命题.∴p∧q为假命题;(¬p)∧q为真命题;p∧(¬q)为假命题;¬(p∨q)为假命题.故选B.

9.(-∞,4]　若命题“∃x0∈(0,+∞),使得ax0>+4成立”是假命题,则有“∀x∈(0,+∞),使得ax≤x2+4成立”是真命题,即a≤x+,则a≤,

又因为x+≥2=4,当且仅当x=2时,等号成立,故a≤4.

10.　当x∈[0,3]时,f(x)min=f(0)=0,当x∈[1,2]时,g(x)min=g(2)=-m,由f(x)min≥g(x)min,得0≥-m,所以m≥.

11.解(1)若命题p为真命题,即∀x∈R,x2-4x+a2>0,则Δ=16-4a2<0,

解得a<-2或a>2.

若命题q为真命题,即关于x的一元二次方程x2+(a+1)x+a-1=0的一根大于零,另一根小于零,则解得a<1.

因为p∨q为真命题,p∧q为假命题,则p,q一真一假.

若p真q假,则解得a>2;

若p假q真,则解得-2≤a<1.

综上所述,实数a的取值范围是[-2,1)∪(2,+∞).

(2)对于命题r,因为m>0,由a2-2a+1-m2≥0,可得(a-1)2≥m2,

所以a-1≤-m或a-1≥m,解得a≤1-m或a≥1+m.

因为¬r是¬p的必要不充分条件,则(1-m,1+m)⫌[-2,2],

所以解得m>3.因此,实数m的取值范围是(3,+∞).