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    2023年高考指导数学(人教A文一轮)课时规范练59 不等式的证明

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    2023年高考指导数学(人教A文一轮)课时规范练59 不等式的证明

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    这是一份2023年高考指导数学(人教A文一轮)课时规范练59 不等式的证明,共7页。试卷主要包含了已知函数f= |x-1|等内容,欢迎下载使用。
    课时规范练59 不等式的证明基础巩固组1.(2020全国,23)a,b,cR,a+b+c=0,abc=1.(1)证明:ab+bc+ca<0;(2)max{a,b,c}表示a,b,c的最大值,证明:max{a,b,c}≥.         2.(2022陕西西安二模)已知函数f(x)=|x-4|+|x-2|.(1)求不等式f(x)≤4的解集;(2)若函数f(x)的最小值为m,正实数a,b满足a+b=m,求证:>1.  3.(2022安徽安庆二模)已知函数f(x)=|2x+4|+|x-1|.(1)求不等式f(x)>6的解集;(2)设函数f(x)的最小值为m,正实数a,b满足a2+9b2=m,求证:a+3b≥2ab.         综合提升组4.已知f(x)=|x+1|+|x-3|.(1)求不等式f(x)≤x+3的解集;(2)f(x)的最小值为m,正实数a,b,c满足a+b+c=m,求证:.            5.已知函数f(x)= |x-1|.(1)解不等式f(x)+f(x+1)≥4;(2)x≠0,xR,证明:f(-x)+f≥2.           6.已知函数f(x)=|x+m2|+|2x-m|(m>0).(1)m=1,求不等式f(x)≤6的解集;(2)f(x)的最小值为,a+b=m(a>0,b>0),求证:+2. 创新应用组7.(2022江西南昌三模)已知函数f(x)=|x-2|+|x-4|,不等式f(x)≥kx(k>0)恒成立.(1)k的最大值k0;(2)a>0,b>0,求证:.          8.已知函数f(x)=|2x-4|+|x+1|.(1)求不等式f(x)≥8的解集;(2)a,b,cR,a+b+c=1,证明:≥1.
    参考答案课时规范练59 不等式的证明1.证明 (1)由题设可知,a,b,c均不为零,所以ab+bc+ca=[(a+b+c)2-(a2+b2+c2)]=-(a2+b2+c2)<0.(2)不妨设max{a,b,c}=a,因为abc=1,a=-(b+c),所以a>0,b<0,c<0.bc,可得abc,a,所以max{a,b,c}≥.2.(1)x<2,f(x)=4-x+2-x=6-2x≤4,解得1≤x<2;2≤x≤4,f(x)=4-x+x-2=2≤4,解得2≤x≤4;x>4,f(x)=x-4+x-2=2x-6≤4,解得4<x≤5.综上,不等式f(x)≤4的解集为[1,5].(2)证明(1),x<2,f(x)=6-2x>2;2≤x≤4,f(x)=2;x>4,f(x)=2x-6>2,所以a+b=m=2.a,b为正实数,所以0<b<2,>1,得证.3.(1)由条件可知原不等式可化为x>1;x;x<-3,所以原不等式的解集为(-∞,-3)(1,+∞).(2)因为f(x)=|2x+4|+|x-1|=所以当x=-2,函数f(x)的最小值为m=3,于是a2+9b2=3,a>0,b>0,3=a2+9b2≥23b=6ab,于是0<ab.≥2≥2,a+3b≥2ab,原不等式得证.4.(1)x-1,2-2xx+3,解得x-,则不等式的解集为空集;-1<x≤3,4≤x+3,解得1≤x≤3;x>3,2x-2≤x+3,解得x≤5,3<x≤5.综上,不等式的解集为{x|1≤x≤5}.(2)证明 因为f(x)=|x+1|+|x-3||x+1-x+3|=4,当且仅当(x+1)·(x-3)≤0,等号成立.所以m=4,所以a+b+c=m=4,[(a+b)+(b+c)+(c+a)]·=2+2+2=,当且仅当a+b=b+c=c+a,a=b=c=,等号成立.5.(1)f(x)+f(x+1)≥4|x-1|+|x|≥4,x>1,2x-1≥4,解得x;0≤x≤1,1≥4,此时不等式无解;x<0,-2x+1≥4,此时x-.所以不等式的解集为xxx-.(2)证明 f(-x)+f=|x+1|+-1,由绝对值三角不等式,|x+1|+-1x+,又因为x,同号,所以x+=|x|+,由基本不等式得|x|+≥2,当且仅当|x|=1,等号成立,所以f(-x)+f≥2.6.(1)m=1,原不等式为|x+1|+|2x-1|≤6,解得-2≤x<-1-1≤x<x≤2,原不等式f(x)≤6的解集为{x|-2≤x≤2}.(2)证明 由题意得f(x)=f(x)min=f=m2+m=,m=1m=-(舍去),a+b=1,0<θ<,+2=cos θ+2sin θ=sin(θ+φ)≤,θ=-φ0<φ<,tan φ=,上述不等式等号成立.7.(1)x≤2,f(x)=2-x+4-x=6-2x;2<x<4,f(x)=x-2+4-x=2;x≥4,f(x)=x-2+x-4=2x-6.由此可得f(x)的图象如下图所示,f(x)≥kx(k>0)恒成立,则由图象可知,y=kx过点(4,2),k取得最大值k0,k0=.(2)证明(1),只需证明.解得-22-2=,当且仅当,m=n,等号成立,,.8.(1)由题意得,f(x)=|2x-4|+|x+1|=不等式f(x)≥8,可转化为解得x-x,故不等式的解集为xx-x.(2)证明 a4+b4≥2a2b2,b4+c4≥2b2c2,c4+a4≥2c2a2,三式相加得a4+b4+c4a2b2+b2c2+c2a2,又因为a2b2+b2c2≥2ab2c,a2b2+c2a2≥2a2bc,b2c2+c2a2≥2abc2,三式相加得a2b2+b2c2+c2a2abc(a+b+c),又因为a+b+c=1,所以a2b2+b2c2+c2a2abc,a4+b4+c4abc,又因为abc>0,所以≥1,≥1,当且仅当a=b=c=,等号成立.  

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