2023年高考指导数学(人教A文一轮)课时规范练42 点与直线、两条直线的位置关系

课时规范练42　点与直线、两条直线的位置关系

基础巩固组

1.直线l在直线m:x+y+1=0的上方,且l∥m,它们的距离是,则直线l的方程是(　　)

A.x+y-1=0

B.x+y+3=0

C.x+y+1=0

D.x+y+3=0或x+y-1=0

2.曲线y=ln(2x-1)上的点到直线2x-y+8=0的最短距离是(　　)

A. B.2 

C.3 D.0

3.设直线l:3x+2y-6=0,P(m,n)为直线l上一动点,则(m-1)2+n2的最小值为(　　)

A. B. 

C. D.

4.若直线ax-4y+2=0与直线2x+5y+c=0垂直,垂足为(1,b),则a-b+c=(　　)

A.-6 B.4 C.-10 D.-4

5.若两平行直线l1:x-2y+m=0(m>0)与l2:2x+ny-6=0之间的距离是,则m+n= (　　)

A.0 B.1 

C.-2 D.-1

6.(2022山东济宁期末)若直线l1:x-2y+1=0与直线l2:2x+my+1=0平行,则直线l1与l2之间的距离为　　　　. 

7.直线l1,l2分别过点M(1,4),N(3,1),它们分别绕点M和N旋转,但必须保持平行,那么它们之间的距离d的最大值是　　　　　. 

综合提升组

8.(2022江苏南京一中期中)已知a>0,b>0,直线l1:x+(a-4)y+1=0,l2:bx+y-2=0,且l1⊥l2,则的最小值为(　　)

A.2 B.4 

C. D.

9.已知A,B两点分别在两条互相垂直的直线y=2x和x+ay=0上,且线段AB的中点为P0,,则直线AB的方程为(　　)

A.y=-x+5 B.y=x-5

C.y=x+5 D.y=-x-5

10.已知A(2,0),B(0,2),若点C在函数y=x2的图象上,则使得△ABC的面积为2的点C的个数为(　　)

A.4 B.3 

C.2 D.1

11.如图,已知△ABC为等腰直角三角形,其中∠BAC=90°,且AB=2,光线从AB边的中点P出发,经BC,CA反射后又回到点P(反射点分别为Q,R),则光线经过的路径总长PQ+QR+RP=　　　　　. 

创新应用组

12.(2022山东济宁二模)已知直线l1:kx+y=0过定点A,直线l2:x-ky+2+2k=0过定点B,l1与l2的交点为C,则|AC|+|BC|的最大值为　　　　　. 

参考答案

课时规范练42　点与直线、

两条直线的位置关系

1.A　因为l∥m,且直线l在m:x+y+1=0上方,所以可设直线l的方程是x+y+c=0(c<1),因为它们的距离是,则,∴c=-1,或c=3(舍去),所以直线l的方程是x+y-1=0,故选A.

2.B　设曲线y=ln(2x-1)上的一点是P(m,n),且过P的切线与直线2x-y+8=0平行.由y'=,所以切线的斜率=2,解得m=1,n=ln(2-1)=0,即点P(1,0)到直线2x-y+8=0的距离最短,为d==2.故选B.

3.A　(m-1)2+n2表示点P(m,n)到点A(1,0)距离的平方,该距离的最小值为点A(1,0)到直线l的距离,即,则(m-1)2+n2的最小值为.故选A.

4.C　由题意知2a+5×(-4)=0,解得a=10.又点(1,b)在直线ax-4y+2=0与直线2x+5y+c=0上,∴1×1-4b+2=0,2×10+5b+c=0,解得b=3,c=-17,∴a-b+c=-10.故选C.

5.C　由题意,得,解得n=-4,即直线l2:x-2y-3=0,所以两平行直线之间的距离为d=(m>0),解得m=2,所以m+n=-2.

6.　∵直线l1:x-2y+1=0与直线l2:2x+my+1=0平行,∴m-2×(-2)=0,即m=-4,

此时直线l2:2x-4y+1=0,即x-2y+=0,则直线l1与l2之间的距离d=.

7.　因为直线l1,l2分别过点M(1,4),N(3,1),它们分别绕点M和N旋转,且两直线保持平行,因此当两条平行直线l1,l2都与MN垂直时,它们之间的距离d取得最大值为|MN|=.

8.D　∵l1⊥l2,∴b+a-4=0,即a+b=4,则(a+1)+b=5,∴(a+1+b)=1++1≥1+2+1=,当且仅当,且(a+1)+b=5,即a=,b=时,等号成立,则的最小值为.故选D.

9.C　由直线y=2x和x+ay=0垂直可得a=2,则P(0,5),设A(x1,2x1),Bx2,-,于是有解得于是A(4,8),B(-4,2),∴AB所在的直线方程为,即y=x+5.故选C.

10.A　设点C(t,t2).由已知得直线AB的方程为x+y-2=0,|AB|=2,则点C到直线AB的距离d=.因为△ABC的面积为2,所以×2=2,即|t2+t-2|=2,即t2+t-2=2或t2+t-2=-2.解方程可知t的值有4个,故满足题意的点C有4个.

11.　以A为坐标原点,AB,AC分别为x轴、y轴建立平面直角坐标系,因为△ABC为等腰直角三角形,其中∠BAC=90°,且AB=2,则lBC:x+y-2=0,点P(1,0),所以点P关于y轴的对称点为P1(-1,0),设点P关于直线lBC:x+y-2=0的对称点为P2(x0,y0),则=1且-2=0,解得P2(2,1),则PQ+QR+RP=P2Q+QR+RP1=P1P2=.

12.2　由l1:kx+y=0,则l1过定点A(0,0),由l2:x+2+k(2-y)=0,则l2过定点B(-2,2),

显然k×1+1×(-k)=0,即l1,l2相互垂直,而l1与l2的交点为C,

∴C的轨迹是以AB为直径的圆,且圆心为(-,1),半径R=.

令|AC|=x,则|BC|=,且0≤x≤,

∴(|AC|+|BC|)2=12+2x≤12+(x2+12-x2)=24,

当且仅当x=,即x=时,等号成立,∴|AC|+|BC|的最大值为2.