2023年高考指导数学(人教A文一轮)课时规范练48 直线与圆锥曲线的位置关系

课时规范练48　直线与圆锥曲线的位置关系

基础巩固组

1.若直线mx+ny=9和圆x2+y2=9没有交点,则过点(m,n)的直线与椭圆=1的交点有(　　)

A.1个 

B.至多一个

C.2个 

D.0个

2.椭圆C的焦点F(±2,0),长轴长6,直线y=x+2交椭圆C于A,B两点,则线段AB的中点坐标为(　　)

A.(2,) B.

C.-2, D.-

3.已知M,N是椭圆=1上关于原点对称的两点,P是该椭圆上不同于M,N的一点,若直线PM的斜率k1的取值范围为-,-1,则直线PN的斜率k2的取值范围为(　　)

A.,1 B.

C.1, D.

4.过椭圆C:=1(a>b>0)右焦点F的直线l:x-y-=0交C于A,B两点,P为AB的中点,且OP的斜率为-,则椭圆C的方程为(　　)

A.=1 B.=1

C.=1 D.=1

5.过点M(1,1)作斜率为-的直线与椭圆C:=1(a>b>0)相交于点A,B,若M是线段AB的中点,则椭圆C的离心率为　　　　. 

6.已知椭圆C:=1(a>b>0)过点A1,,B(0,-1).

(1)求椭圆C的方程;

(2)经过D(2,1),且斜率为k的直线l交椭圆C于P,Q两点(均异于点B),求直线BP与BQ的斜率之和.

综合提升组

7.过抛物线y2=4x的焦点F作斜率为k的直线交抛物线于A,B两点,若=3,则k的值为(　　)

A.3 B.±3

C.± D.±

8.已知直线y=kx-1与椭圆=1交于点A,B,与y轴交于点P,若=3,则实数k的值为(　　)

A. B.- C.± D.±

9.已知过抛物线y2=2px(p>0)的焦点F,0的直线与该抛物线相交于A,B两点,若△AOF的面积与△BOF(O为坐标原点)的面积之比是2,则|AB|=(　　)

A. B. C. D.

10.已知椭圆E:=1(a>b>0)的离心率为,F1,F2分别为椭圆E的左、右焦点,M为E上任意一点,的最大值为1,椭圆右顶点为A.

(1)求椭圆E的方程;

(2)若过点A的直线l交椭圆于另一点B,过B作x轴的垂线交椭圆于点C(点C异于点B),连接AC交y轴于点P.如果时,求直线l的方程.

创新应用组

11.已知抛物线C:y2=2px(p>0)的准线为l,过抛物线上一点B向x轴作垂线,垂足恰好为抛物线C的焦点F,且|BF|=4.

(1)求抛物线C的方程;

(2)设l与x轴的交点为A,过x轴上的一个定点(1,0)的直线m与抛物线C交于D,E两点.记直线AD,AE的斜率分别为k1,k2,若k1+k2=,求直线m的方程.

参考答案

课时规范练48　直线与

圆锥曲线的位置关系

1.C　因为直线mx+ny=9和圆x2+y2=9没有交点,所以>3,即m2+n2<9,所以<1,即点(m,n)在椭圆=1内,所以直线与椭圆有2个交点.故选C.

2.D　因为a=3,c=2,所以b==1,设线段AB的中点坐标为M(x0,y0),则y0=x0+2,由结论kAB=-=-=1,得x0=-,y0=x0+2=,故选D.

3.B　设点M(x0,y0),N(-x0,-y0),P(x1,y1),则k1k2=,∵点M(x0,y0),P(x1,y1)在椭圆上,∴=1,=1,=91-,=91-.∴k1k2==-,∴k2=-.又k1∈-,-1,∴k2∈,故选B.

4.A　由直线x-y-=0,令y=0,可得x=,所以右焦点F(,0),由结论kABkOP=-,得1×-=-,所以a2=2b2,又c2=3,所以a2=6,b2=3,所以椭圆的方程为=1,故选A.

5.　(方法1)设A(x1,y1),B(x2,y2),则有=1,=1,

两式相减可得=0,

又x1+x2=2,y1+y2=2,=-,即+-=0,

整理得a2=2b2,c2=a2-b2=b2,

∴e=.

(方法2)由结论kAB=-=-=-,得a2=2b2,

c2=a2-b2=b2,

∴e=.

6.解(1)因为椭圆C:=1(a>b>0)过点A1,,B(0,-1),

所以=1,=1,则a2=3,b2=1,所以椭圆C的方程为+y2=1.

(2)由题设知直线l的方程为y=k(x-2)+1,由题意B(0,-1)不在直线l上,则k≠1.

直线l与椭圆联立

整理得(1+3k2)x2+(6k-12k2)x+12k2-12k=0,

由Δ>0,得0<k<4,且k≠1.设P(x1,y1),Q(x2,y2),x1x2≠0,

则x1+x2=,x1x2=,

kBP+kBQ=

=

=2k+2(1-k)

=2k+2(1-k)

=2k+2(1-k)

=1.

故直线BP与BQ的斜率之和为1.

7.C　由抛物线的方程可得F(1,0),设直线AB的方程为y=k(x-1),代入抛物线方程消去y,可得k2x2-2(2+k2)x+k2=0,设A(x1,y1),B(x2,y2),显然Δ>0恒成立,则x1+x2=,x1x2=1,所以y1+y2=k(x1+x2-2)=.所以=(1-x1,-y1),=(x2-1,y2),由=3,可得则x2=+1,y2=,代入抛物线方程可得2=4+1,解得k=±,故选C.

8.C　设A(x1,y1),B(x2,y2),由题意可得P(0,-1),联立整理得(3+4k2)x2-8kx-8=0,Δ>0显然成立,

x1+x2=, ①

x1x2=, ②

因为=3,则(-x1,-1-y1)=3(x2,y2+1),可得x1=-3x2,

将其代入①可得-2x2=,可得x2=,则x1=,

又x1x2=,则有,解得k2=,即k=±,故选C.

9.A　由题意知,所以p=1,抛物线方程为y2=2x,

设直线AB的方程为x=my+,设A(x1,y1),B(x2,y2),点A在x轴上方,则m>0,联立

整理得y2-2my-1=0,y1+y2=2m,y1y2=-1,

由题意=2,可得y1=-2y2,解得m=,

则y1+y2=,x1+x2=m(y1+y2)+1=,

由抛物线的定义可知|AB|=x1+x2+p=.

10.解(1)当M为椭圆的短轴端点时,取得最大值,即S=×2c×b=1,又,a2=b2+c2,

解得a=,b=1,c=1,

所以椭圆方程为+y2=1.

(2)A(,0),根据题意,直线l斜率存在且不为0,设直线l:y=k(x-),B(x0,y0),联立得(1+2k2)x2-4k2x+4k2-2=0,+x0=x0=,

即B,由题意得C,

又直线AC:y=-k(x-),故P(0,k),=(,-k)·k=,

即8k4+18k2-5=0,解得k2=-(舍),k2=,故k=±,

直线l的方程为y=或y=-,即x-2y-=0或x+2y-=0.

12.解(1)由题意,设B,4,代入y2=2px(p>0),得p2=16,即p=4,所以抛物线C的方程为y2=8x.

(2)当直线m的斜率不存在时,k1+k2=0,与题意不符,

所以直线m的斜率一定存在.

设直线m的方程为y=k(x-1),代入y2=8x中,k2x2-(2k2+8)x+k2=0,Δ>0显然恒成立.

设D(x1,y1),E(x2,y2),则Δ>0恒成立.

k1+k2=

=

=

=.

所以k=.所以直线m的方程为4x-3y-4=0.