备战2024年高考数学大一轮复习（人教A版-理）第八章 §8.1 空间几何体及其表面积与体积

这是一份备战2024年高考数学大一轮复习（人教A版-理）第八章 §8.1 空间几何体及其表面积与体积，共17页。试卷主要包含了1　空间几何体及其表面积与体积，旋转体的结构特征，三视图与直观图，柱、锥、台、球的表面积和体积等内容，欢迎下载使用。
考试要求 1.认识柱、锥、台、球及其简单组合体的结构特征，并能运用这些特征描述现实生活中简单物体的结构.2.能画出简单空间图形(长方体、球、圆柱、圆锥、棱柱等简易组合)的三视图，能识别上述三视图所表示的立体模型，会用斜二测画法画出它们的直观图.3.了解球、棱柱、棱锥、台的表面积和体积的计算公式．
知识梳理
1．多面体的结构特征
2.旋转体的结构特征
3.三视图与直观图
4.圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图及侧面积公式
5.柱、锥、台、球的表面积和体积
常用结论
1．在绘制三视图时，分界线和可见轮廓线都用实线画出，被遮挡的部分的轮廓线用虚线表示出来，即“眼见为实、不见为虚”．在三视图的判断与识别中要特别注意其中的虚线．
2．直观图与原平面图形面积之间的关系S直观图＝eq \f(\r(2),4)S原图形．
思考辨析
判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)菱形的直观图仍是菱形．( × )
(2)有一个面是多边形，其余各面都是三角形的几何体是棱锥．( × )
(3)用两平行平面截圆柱，夹在两平行平面间的部分仍是圆柱．( × )
(4)锥体的体积等于底面积与高之积．( × )
教材改编题
1.如图，一个三棱柱形容器中盛有水，则盛水部分的几何体是( )
A．四棱台
B．四棱锥
C．四棱柱
D．三棱柱
答案 C
解析 由几何体的结构特征知，盛水部分的几何体是四棱柱．
2．下列说法正确的是( )
A．相等的角在直观图中仍然相等
B．相等的线段在直观图中仍然相等
C．正方形的直观图是正方形
D．若两条线段平行，则在直观图中对应的两条线段仍然平行
答案 D
解析 由直观图的画法规则知，角度、长度都有可能改变，而线段的平行关系不变，正方形的直观图是平行四边形．
3．已知圆锥的表面积等于12π cm2，其侧面展开图是一个半圆，则底面圆的半径为( )
A．1 cm B．2 cm C．3 cm D.eq \f(3,2) cm
答案 B
解析 设圆锥底面圆的半径为r cm，母线长为l cm，
依题意得2πr＝πl，∴l＝2r，
S表＝πr2＋πrl＝πr2＋πr·2r＝3πr2＝12π，∴r2＝4，∴r＝2(cm)．
题型一 空间几何体
命题点1 三视图
例1 (2022·全国甲卷)如图，网格纸上绘制的是一个多面体的三视图，网格小正方形的边长为1，则该多面体的体积为( )
A．8 B．12 C．16 D．20
答案 B
解析 三视图对应的几何体是放倒的直四棱柱，如图，
直四棱柱的高为2，底面是上底为2，下底为4，高为2的梯形，所以体积V＝Sh＝eq \f(1,2)×(2＋4)×2×2＝12.
命题点2 直观图
例2 已知水平放置的四边形OABC按斜二测画法得到如图所示的直观图，其中O′A′∥B′C′，∠O′A′B′＝90°，O′A′＝1，B′C′＝2，则原四边形OABC的面积为( )
A.eq \f(3\r(2),2) B．3eq \r(2) C．4eq \r(2) D．5eq \r(2)
答案 B
解析 方法一 由已知求得O′C′＝eq \r(2)，把直观图还原为原图形如图，
可得原图形为直角梯形，OA∥CB，OA⊥OC，且OA＝1，BC＝2，OC＝2eq \r(2)，
得原四边形OABC的面积为eq \f(1,2)×(1＋2)×2eq \r(2)＝3eq \r(2).
方法二 由题意知A′B′＝1，
∴S直观图＝eq \f(1,2)×(1＋2)×1＝eq \f(3,2)，
∴S原图形＝2eq \r(2)S直观图＝3eq \r(2).
命题点3 展开图
例3 如图，已知正三棱柱ABC－A1B1C1的底面边长为1 cm，高为5 cm，一质点自A点出发，沿着三棱柱的侧面绕行两周到达A1点的最短路线的长为( )
A．12 cm B．13 cm
C.eq \r(61) cm D．15 cm
答案 C
解析 如图，把侧面展开2周可得对角线最短，则AA1＝eq \r(62＋52)＝eq \r(61)(cm)．
思维升华 (1)由几何体求三视图，要注意观察方向，掌握“长对正、高平齐、宽相等”的基本要求，由三视图推测几何体，可以先利用俯视图推测底面，然后结合正视图、侧视图推测几何体的可能形式．
(2)①在斜二测画法中，平行于x轴的线段平行性不变，长度不变；平行于y轴的线段平行性不变，长度减半．②S直观图＝eq \f(\r(2),4)S原图形．
跟踪训练1 (1)(2021·全国甲卷)在一个正方体中，过顶点A的三条棱的中点分别为E，F，G.该正方体截去三棱锥A－EFG后，所得多面体的三视图中，正视图如图所示，则相应的侧视图是( )
答案 D
解析 根据题目条件以及正视图可以得到该几何体的直观图，如图，
结合选项可知该几何体的侧视图为D.
(2)如图，一个水平放置的平面图形由斜二测画法得到的直观图A′B′C′D′是边长为2的菱形，且O′D′＝2，则原平面图形的周长为( )
A．4eq \r(2)＋4 B．4eq \r(6)＋4
C．8eq \r(2) D．8
答案 B
解析 根据题意，把直观图还原成原平面图形，如图所示，
其中OA＝2eq \r(2)，OD＝4，AB＝CD＝2，则AD＝eq \r(8＋16)＝2eq \r(6)，
故原平面图形的周长为2＋2＋2eq \r(6)＋2eq \r(6)＝4eq \r(6)＋4.
(3)(2023·岳阳模拟)已知圆锥的侧面积是底面积的eq \f(5,4)倍，则该圆锥的侧面展开图扇形的圆心角大小为( )
A.eq \f(4π,5) B.eq \f(6π,5) C.eq \f(8π,5) D.eq \f(9π,5)
答案 C
解析 设圆锥的底面圆的半径为r，母线长为l，则圆锥的侧面积为πrl，由题意得eq \f(πrl,πr2)＝eq \f(5,4)，解得l＝eq \f(5r,4)，∵圆锥底面圆的周长即为侧面展开图扇形的弧长为2πr，∴该扇形的圆心角为α＝eq \f(2πr,l)＝eq \f(2πr,\f(5r,4))＝eq \f(8π,5).
题型二 表面积与体积
命题点1 表面积
例4 (1)(2022·深圳模拟)以边长为2的正方形的一边所在直线为旋转轴，将该正方形旋转一周所得圆柱的侧面积等于( )
A．8π B．4π C．8 D．4
答案 A
解析 以边长为2的正方形的一边所在直线为旋转轴，旋转一周所得的旋转体为圆柱，其底面半径r＝2，高h＝2，
∴所得圆柱的侧面积S＝2πrh＝2π×2×2＝8π.
(2)(2023·丽江模拟)已知三棱锥的三条侧棱长均为2，有两个侧面是等腰直角三角形，底面等腰三角形底上的高为eq \r(5)，则这个三棱锥的表面积为( )
A．4＋3eq \r(3)＋eq \r(15) B．4＋eq \r(3)＋2eq \r(15)
C．4＋eq \r(3)＋eq \r(15) D．4＋2eq \r(3)＋eq \r(15)
答案 C
解析 结合题目边长关系，三棱锥如图所示，AB＝AC＝AD＝2，CE＝eq \r(5)，
由题意得△ABC，△ACD是等腰直角三角形，则BC＝CD＝2eq \r(2)，
BE＝eq \r(BC2－CE2)＝eq \r(3)，BD＝2eq \r(3)，AE＝eq \r(AB2－BE2)＝1，则该三棱锥的表面积为S△ABC＋S△ACD＋S△ABD＋S△BCD＝eq \f(1,2)×2×2＋eq \f(1,2)×2×2＋eq \f(1,2)×2eq \r(3)×1＋eq \f(1,2)×2eq \r(3)×eq \r(5)＝4＋eq \r(3)＋eq \r(15).
命题点2 体积
例5 (1)(2021·新高考全国Ⅱ)正四棱台的上、下底面的边长分别为2,4，侧棱长为2，则其体积为( )
A．20＋12eq \r(3) B．28eq \r(2)
C.eq \f(56,3) D.eq \f(28\r(2),3)
答案 D
解析 作出图形，连接该正四棱台上、下底面的中心，如图，
因为该四棱台上、下底面的边长分别为2,4，侧棱长为2，
所以该棱台的高h＝eq \r(22－2\r(2)－\r(2)2)＝eq \r(2)，
下底面面积S1＝16，上底面面积S2＝4，
所以该棱台的体积V＝eq \f(1,3)h(S1＋S2＋eq \r(S1S2))
＝eq \f(1,3)×eq \r(2)×(16＋4＋eq \r(64))＝eq \f(28\r(2),3).
(2)已知正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为2，则三棱锥A－B1CD1的体积为( )
A.eq \f(4,3) B.eq \f(8,3) C．4 D．6
答案 B
解析 如图，三棱锥A－B1CD1是由正方体ABCD－A1B1C1D1截去四个小三棱锥A－A1B1D1，C－B1C1D1，B1－ABC，D1－ACD得到的，
又＝23＝8，
＝eq \f(1,3)×eq \f(1,2)×23＝eq \f(4,3)，
所以＝8－4×eq \f(4,3)＝eq \f(8,3).
思维升华 求空间几何体的体积的常用方法
跟踪训练2 (1)(2021·北京)定义：24小时内降水在平地上积水厚度(mm)来判断降雨程度．其中小雨(