备战2024年高考数学大一轮复习（人教A版-理）第二章 §2.3 函数的奇偶性、周期性

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知识梳理
1．函数的奇偶性
2.周期性
(1)周期函数：对于函数f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的每一个值时，都有f(x＋T)＝f(x)，那么函数f(x)就叫做周期函数，非零常数T叫做这个函数的周期．
(2)最小正周期：如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期．
常用结论
1．奇函数在关于原点对称的区间上具有相同的单调性；偶函数在关于原点对称的区间上具有相反的单调性．
2．函数周期性常用结论
对f(x)定义域内任一自变量的值x：
(1)若f(x＋a)＝－f(x)，则T＝2a(a>0)．
(2)若f(x＋a)＝eq \f(1,fx)，则T＝2a(a>0)．
思考辨析
判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)若函数f(x)为奇函数，则f(0)＝0.( × )
(2)不存在既是奇函数，又是偶函数的函数．( × )
(3)对于函数y＝f(x)，若存在x，使f(－x)＝－f(x)，则函数y＝f(x)一定是奇函数．( × )
(4)若T是函数f(x)的一个周期，则kT(k∈N*)也是函数的一个周期．( √ )
教材改编题
1．若偶函数f(x)在区间[－2，－1]上单调递减，则函数f(x)在区间[1,2]上( )
A．单调递增，且有最小值f(1)
B．单调递增，且有最大值f(1)
C．单调递减，且有最小值f(2)
D．单调递减，且有最大值f(2)
答案 A
解析 偶函数f(x)在区间[－2，－1]上单调递减，
则由偶函数的图象关于y轴对称，则有f(x)在[1,2]上单调递增，
即有最小值为f(1)，最大值为f(2)．
对照选项，A正确．
2．已知函数y＝f(x)是奇函数，且当x>0时，有f(x)＝x＋2x，则f(－2)＝________.
答案 －6
解析 因为函数y＝f(x)是奇函数，且当x>0时，有f(x)＝x＋2x，
所以f(－2)＝－f(2)＝－(2＋4)＝－6.
3．已知函数f(x)是定义在R上的周期为4的奇函数，若f(1)＝1，则f(2 023)＝________.
答案 －1
解析 因为函数f(x)是定义在R上的周期为4的奇函数，
所以f(2 023)＝f(506×4－1)＝f(－1)＝－f(1)＝－1.
题型一 函数奇偶性的判断
例1 下列命题中正确的是________．(填序号)
①奇函数的图象一定过坐标原点；
②函数f(x)＝xsin x是偶函数；
③函数f(x)＝|x＋1|－|x－1|是奇函数；
④函数f(x)＝eq \f(x2－x,x－1)是奇函数．
答案 ②③
解析 对于①，只有奇函数在x＝0处有定义时，函数的图象才过原点，故①不正确；
对于②，因为函数f(x)＝xsin x的定义域为R且f(－x)＝(－x)sin(－x)＝f(x)，
所以该函数为偶函数，故②正确；
对于③，函数f(x)＝|x＋1|－|x－1|的定义域为R关于原点对称，
且满足f(－x)＝|－x＋1|－|－x－1|＝－(|x＋1|－|x－1|)＝－f(x)，即f(－x)＝－f(x)，
所以该函数为奇函数，故③正确；
对于④，函数f(x)＝eq \f(x2－x,x－1)满足x－1≠0，即x≠1，所以函数的定义域不关于原点对称，
所以该函数为非奇非偶函数，故④不正确．
思维升华 判断函数的奇偶性，其中包括两个必备条件
(1)定义域关于原点对称，否则即为非奇非偶函数．
(2)判断f(x)与f(－x)是否具有等量关系，在判断奇偶性的运算中，可以转化为判断奇偶性的等价等量关系式(f(x)＋f(－x)＝0(奇函数)或f(x)－f(－x)＝0(偶函数))是否成立．
跟踪训练1 已知函数f(x)＝sin x，g(x)＝ex＋e－x，则下列结论正确的是( )
A．f(x)g(x)是偶函数 B．|f(x)|g(x)是奇函数
C．f(x)|g(x)|是奇函数 D．|f(x)g(x)|是奇函数
答案 C
解析 选项A，f(x)g(x)＝(ex＋e－x)sin x，
f(－x)g(－x)＝(e－x＋ex)sin(－x)＝－(ex＋e－x)sin x＝－f(x)g(x)，
是奇函数，判断错误；
选项B，|f(x)|g(x)＝|sin x|(ex＋e－x)，
|f(－x)|g(－x)＝|sin(－x)|(e－x＋ex)＝|sin x|(ex＋e－x)＝|f(x)|g(x)，
是偶函数，判断错误；
选项C，f(x)|g(x)|＝|ex＋e－x|sin x，
f(－x)|g(－x)|＝|e－x＋ex|sin(－x)
＝－|ex＋e－x|sin x＝－f(x)|g(x)|，
是奇函数，判断正确；
选项D，|f(x)g(x)|＝|(ex＋e－x)sin x|，
|f(－x)g(－x)|＝|(e－x＋ex)sin(－x)|
＝|(ex＋e－x)sin x|＝|f(x)g(x)|，
是偶函数，判断错误．
题型二 函数奇偶性的应用
命题点1 利用奇偶性求值(解析式)
例2 (1)(2023·福州模拟)已知函数f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x3＋1，x>0，,ax3＋b，x0时，－x0，
由于x在分母位置，所以x≠0，
当x2；
综上，不等式的解集为(－∞，－2)∪(2，＋∞)．
思维升华 (1)利用函数的奇偶性可求函数值或求参数的取值，求解的关键在于借助奇偶性转化为求已知区间上的函数或得到参数的恒等式，利用方程思想求参数的值．
(2)利用函数的奇偶性可画出函数在其对称区间上的图象，结合几何直观求解相关问题．
跟踪训练2 (1)已知函数f(x)＝sin x＋x3＋eq \f(1,x)＋3，若f(a)＝1，则f(－a)等于( )
A．1 B．3 C．4 D．5
答案 D
解析 根据题意f(a)＝sin a＋a3＋eq \f(1,a)＋3＝1，
即sin a＋a3＋eq \f(1,a)＝－2，
所以f(－a)＝sin(－a)＋(－a)3＋eq \f(1,－a)＋3
＝－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(sin a＋a3＋\f(1,a)))＋3＝2＋3＝5.
(2) (2023·青岛模拟)已知f(x)是定义在R上的偶函数，当x≥0时，f(x)＝2x－2，则不等式f(x)≤2的解集是________．
答案 [－2,2]
解析 ∵当x≥0时，f(x)＝2x－2，
∴偶函数f(x)在[0，＋∞)上单调递增，且f(2)＝2，
∴f(x)≤2，即f(|x|)≤f(2)，
∴|x|≤2，解得－2≤x≤2.
(3)(2021·新高考全国Ⅰ)已知函数f(x)＝x3(a·2x－2－x)是偶函数，则a＝________.
答案 1
解析 方法一 (定义法)因为f(x)＝x3(a·2x－2－x)的定义域为R，且是偶函数，所以f(－x)＝f(x)对任意的x∈R恒成立，所以(－x)3(a·2－x－2x)＝x3(a·2x－2－x)对任意的x∈R恒成立，所以x3(a－1)(2x＋2－x)＝0对任意的x∈R恒成立，所以a＝1.
方法二 (取特殊值检验法)因为f(x)＝x3(a·2x－2－x)的定义域为R，且是偶函数，
所以f(－1)＝f(1)，所以－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(a,2)－2))＝2a－eq \f(1,2)，
解得a＝1，经检验，f(x)＝x3(2x－2－x)为偶函数，所以a＝1.
方法三 (转化法)由题意知f(x)＝x3(a·2x－2－x)的定义域为R，且是偶函数．
设g(x)＝x3，h(x)＝a·2x－2－x，因为g(x)＝x3为奇函数，所以h(x)＝a·2x－2－x为奇函数，
所以h(0)＝a·20－2－0＝0，
解得a＝1，经检验，f(x)＝x3(2x－2－x)为偶函数，
所以a＝1.
题型三 函数的周期性
例4 (1)若定义在R上的偶函数f(x)满足f(2－x)＝－f(x)，且当1≤x≤2时，f(x)＝x－1，则f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(7,2)))的值等于( )
A.eq \f(5,2) B.eq \f(3,2) C.eq \f(1,2) D．－eq \f(1,2)
答案 D
解析 ∵函数f(x)是偶函数，
∴f(－x)＝f(x)，
又∵f(2－x)＝－f(x)，∴f(2－x)＝－f(－x)，
∴f(x＋2)＝－f(x)，
∴f(x＋4)＝－f(x＋2)＝－[－f(x)]＝f(x)，
∴函数f(x)的周期为4，
∴f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(7,2)))＝f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(7,2)－4))＝f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)))＝f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))＝－f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2－\f(1,2)))＝－f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,2)))＝－eq \f(1,2).
(2)设f(x)是定义在R上周期为4的偶函数，且当x∈[0,2]时，f(x)＝lg2(x＋1)，则函数f(x)在[2,4]上的解析式为____________________．
答案 f(x)＝lg2(5－x)，x∈[2,4]
解析 根据题意，设x∈[2,4]，则x－4∈[－2,0]，则有4－x∈[0,2]，
当x∈[0,2]时，f(x)＝lg2(x＋1)，
则f(4－x)＝lg2[(4－x)＋1]＝lg2(5－x)，
又f(x)为周期为4的偶函数，
所以f(x)＝f(x－4)＝f(4－x)＝lg2(5－x)，x∈[2,4]，
则有f(x)＝lg2(5－x)，x∈[2,4]．
思维升华 (1)求解与函数的周期有关的问题，应根据题目特征及周期定义，求出函数的周期．
(2)利用函数的周期性，可将其他区间上的求值、求零点个数、求解析式等问题，转化到已知区间上，进而解决问题．
跟踪训练3 已知定义在R上的偶函数f(x)，其周期为4，当x∈[0,2]时，f(x)＝2x－2，则下列结论不正确的是( )
A．f(2 023)＝0
B．f(x)的值域为[－1,2]
C．f(x)在[4,6]上单调递增
D．f(x)在[－6,6]上有8个零点
答案 D
解析 f(2 023)＝f(506×4－1)＝f(－1)＝f(1)＝0，所以A正确；
当x∈[0,2]时，f(x)＝2x－2单调递增，
所以当x∈[0,2]时，函数的值域为[－1,2]，
由于函数是偶函数且为周期函数，所以函数的值域为[－1,2]，所以B正确；
当x∈[0,2]时，f(x)＝2x－2单调递增，
又函数的周期是4，
所以f(x)在[4,6]上单调递增，所以C正确；
令f(x)＝2x－2＝0，所以x＝1，
所以f(1)＝f(－1)＝0，
由于函数的周期为4，
所以f(5)＝f(－5)＝0，f(3)＝f(－3)＝0，
所以f(x)在[－6,6]上有6个零点，所以D错误．
课时精练
1．(2022·西安模拟)下列函数中，在其定义域上既是奇函数又是增函数的是( )
A．y＝lg3|x| B．y＝x3＋x
C．y＝3x D．y＝－eq \f(1,x)
答案 B
解析 函数y＝lg3|x|是偶函数，A选项错误；
y＝3x是非奇非偶函数，C选项错误；
y＝－eq \f(1,x)的定义域是(－∞，0)∪(0，＋∞)，y＝－eq \f(1,x)在定义域上没有单调性，D选项错误；
令f(x)＝x3＋x，f(x)的定义域为R，
f(－x)＝－x3－x＝－f(x)，所以f(x)是奇函数，
即y＝x3＋x是奇函数，
由于y＝x3，y＝x在R上都是增函数，所以y＝x3＋x在R上单调递增，符合题意，B选项正确．
2．(2023·聊城模拟)已知函数f(x)的定义域为R，则“f(x)是偶函数”是“|f(x)|是偶函数”的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
答案 A
解析 偶函数的图象关于y轴对称，奇函数的图象关于原点对称，根据这一特征，若f(x)是偶函数，则|f(x)|是偶函数，若f(x)是奇函数，|f(x)|也是偶函数，所以“f(x)是偶函数”是“|f(x)|是偶函数”的充分不必要条件．
3．(2022·河南名校联盟模拟)若函数f(x)是定义在R上的周期为2的奇函数，当0