备战2024年高考数学大一轮复习（人教A版-理）第二章 培优课 §2.5 函数性质的综合应用

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函数性质的综合应用是历年高考的一个热点内容，经常以客观题出现，通过分析函数的性质特点，结合图象研究函数的性质，往往多种性质结合在一起进行考查．
题型一 函数的奇偶性与单调性
例1 (2020·新高考全国Ⅰ)若定义在R上的奇函数f(x)在(－∞，0)上单调递减，且f(2)＝0，则满足xf(x－1)≥0的x的取值范围是( )
A．[－1,1]∪[3，＋∞)
B．[－3，－1]∪[0,1]
C．[－1,0]∪[1，＋∞)
D．[－1,0]∪[1,3]
答案 D
解析 因为函数f(x)为定义在R上的奇函数，
则f(0)＝0.
又f(x)在(－∞，0)上单调递减，且f(2)＝0，
画出函数f(x)的大致图象如图(1)所示，
则函数f(x－1)的大致图象如图(2)所示．
(1) (2)
当x≤0时，要满足xf(x－1)≥0，
则f(x－1)≤0，得－1≤x≤0.
当x>0时，要满足xf(x－1)≥0，
则f(x－1)≥0，得1≤x≤3.
故满足xf(x－1)≥0的x的取值范围是[－1,0]∪[1,3]．
思维升华 (1)解抽象函数不等式，先把不等式转化为f(g(x))>f(h(x))，利用单调性把不等式的函数符号“f”脱掉，得到具体的不等式(组)．
(2)比较大小，利用奇偶性把不在同一单调区间上的两个或多个自变量的函数值转化到同一单调区间上，进而利用其单调性比较大小．
跟踪训练1 (2023·合肥质检)若f(x)是定义在R上的偶函数，对∀x1，x2∈(－∞，0]，当x1≠x2时，都有eq \f(fx1－fx2,x1－x2)>0，则a＝f(sin 3)，b＝f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(ln \f(1,3)))，c＝f(21.5)的大小关系是( )
A．a>b>c B．a>c>b
C．b>c>a D．c>b>a
答案 A
解析 因为∀x1，x2∈(－∞，0]且x1≠x2时，有eq \f(fx1－fx2,x1－x2)>0，
所以函数f(x)在(－∞，0]上单调递增，
由f(x)为偶函数，得函数f(x)在[0，＋∞)上单调递减，
因为0