备战2024年高考数学大一轮复习（人教A版-理）第九章 §9.5 椭 圆

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知识梳理
1．椭圆的定义
把平面内与两个定点F1，F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆．这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距．
2．椭圆的标准方程和简单几何性质
常用结论
椭圆的焦点三角形
椭圆上的点P(x0，y0)与两焦点构成的△PF1F2叫做焦点三角形．如图所示，设∠F1PF2＝θ.
(1)当P为短轴端点时，θ最大，最大．
(2)＝eq \f(1,2)|PF1||PF2|sin θ＝b2tan eq \f(θ,2)＝c|y0|.
(3)|PF1|max＝a＋c，|PF1|min＝a－c.
(4)|PF1|·|PF2|≤eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(|PF1|＋|PF2|,2)))2＝a2.
(5)4c2＝|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1||PF2|cs θ.
(6)焦点三角形的周长为2(a＋c)．
思考辨析
判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)平面内与两个定点F1，F2的距离之和等于常数的点的轨迹是椭圆．( × )
(2)椭圆是轴对称图形，也是中心对称图形．( √ )
(3)eq \f(y2,m2)＋eq \f(x2,n2)＝1(m≠n)表示焦点在y轴上的椭圆．( × )
(4)椭圆的离心率e越大，椭圆就越圆．( × )
教材改编题
1．椭圆eq \f(x2,16)＋eq \f(y2,25)＝1上点P到上焦点的距离为4，则点P到下焦点的距离为( )
A．6 B．3 C．4 D．2
答案 A
解析 由椭圆方程eq \f(x2,16)＋eq \f(y2,25)＝1，得a2＝25，即a＝5，设下焦点为F1，上焦点为F2，则|PF1|＋|PF2|＝2a＝10，因为|PF2|＝4，所以|PF1|＝6，即点P到下焦点的距离为6.
2．已知椭圆C：eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,4)＝1的一个焦点为(2,0)，则C的离心率为( )
A.eq \f(1,3) B.eq \f(1,2) C.eq \f(\r(2),2) D.eq \f(2\r(2),3)
答案 C
解析 由已知可得b2＝4，c＝2，则a2＝b2＋c2＝8，所以a＝2eq \r(2)，
则离心率e＝eq \f(c,a)＝eq \f(\r(2),2).
3．若椭圆C：eq \f(x2,4)＋eq \f(y2,3)＝1，则该椭圆上的点到焦点距离的最大值为( )
A．3 B．2＋eq \r(3)
C．2 D.eq \r(3)＋1
答案 A
解析 由题意知a＝2，b＝eq \r(3)，所以c＝1，则椭圆上的点到焦点距离的最大值为a＋c＝3.
题型一 椭圆的定义及其应用
例1 (1)(2022·丽江模拟)一动圆P与圆A：(x＋1)2＋y2＝1外切，而与圆B：(x－1)2＋y2＝64内切，那么动圆的圆心P的轨迹是( )
A．椭圆 B．双曲线
C．抛物线 D．双曲线的一支
答案 A
解析 设动圆P的半径为r，
又圆A：(x＋1)2＋y2＝1的半径为1，圆B：(x－1)2＋y2＝64的半径为8，
则|PA|＝r＋1，|PB|＝8－r，
可得|PA|＋|PB|＝9，又9>2＝|AB|，
则动圆的圆心P的轨迹是以A，B为焦点，长轴长为9的椭圆．
(2)设点P为椭圆C：eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,4)＝1(a>2)上一点，F1，F2分别为C的左、右焦点，且∠F1PF2＝60°，则△PF1F2的面积为________．
答案 eq \f(4\r(3),3)
解析 方法一 由题意知，c＝eq \r(a2－4).
又∠F1PF2＝60°，|PF1|＋|PF2|＝2a，
|F1F2|＝2eq \r(a2－4)，
∴|F1F2|2＝(|PF1|＋|PF2|)2－2|PF1||PF2|－
2|PF1||PF2|cs 60°
＝4a2－3|PF1||PF2|＝4a2－16，
∴|PF1||PF2|＝eq \f(16,3)，
∴＝eq \f(1,2)|PF1||PF2|sin 60°
＝eq \f(1,2)×eq \f(16,3)×eq \f(\r(3),2)
＝eq \f(4\r(3),3).
方法二 由题意得b2＝4，∠F1PF2＝60°，∴＝4×tan 30°＝eq \f(4\r(3),3).
延伸探究 若将本例(2)中“∠F1PF2＝60°”改成“PF1⊥PF2”，求△PF1F2的面积．
解 ∵PF1⊥PF2，
∴|PF1|2＋|PF2|2＝|F1F2|2＝4(a2－4)
＝4a2－16，
又|PF1|＋|PF2|＝2a，|PF1|2＋|PF2|2＝(|PF1|＋|PF2|)2－2|PF1||PF2|，
∴|PF1|·|PF2|＝8，
∴＝eq \f(1,2)|PF1||PF2|＝4.
思维升华 椭圆定义的应用技巧
(1)椭圆定义的应用主要有：求椭圆的标准方程、求焦点三角形的周长、面积及求弦长、最值和离心率等．
(2)通常将定义和余弦定理结合使用求解关于焦点三角形的周长和面积问题．
跟踪训练1 (1)已知△ABC的周长为12，B(0，－2)，C(0,2)，则顶点A的轨迹方程为( )
A.eq \f(x2,12)＋eq \f(y2,16)＝1(x≠0)
B.eq \f(x2,12)＋eq \f(y2,16)＝1(y≠0)
C.eq \f(x2,16)＋eq \f(y2,12)＝1(x≠0)
D.eq \f(x2,16)＋eq \f(y2,12)＝1(y≠0)
答案 A
解析 ∵△ABC的周长为12，顶点B(0，－2)，C(0,2)，
∴|BC|＝4，|AB|＋|AC|＝12－4＝8，
∴点A到两个定点的距离之和等于定值，
又8>4，
∴点A的轨迹是椭圆，且a＝4，c＝2，
∴b2＝12，
∴椭圆的方程为eq \f(x2,12)＋eq \f(y2,16)＝1(x≠0)．
(2)(2023·郑州模拟)若F为椭圆C：eq \f(x2,25)＋eq \f(y2,16)＝1的右焦点，A，B为C上两动点，则△ABF周长的最大值为( )
A．4 B．8 C．10 D．20
答案 D
解析 如图，设F1为椭圆C的左焦点，
则由椭圆的定义可得△ABF的周长为|AF|＋|BF|＋|AB|＝2a－|AF1|＋2a－|BF1|＋|AB|＝4a＋|AB|－|AF1|－|BF1|＝20＋|AB|－|AF1|－|BF1|，
当A，B，F1共线时，|AB|－|AF1|－|BF1|＝0，
当A，B，F1不共线时，|AB|－|AF1|－|BF1|0，n>0，且m≠n)．
将P1，P2代入方程，
得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(6m＋n＝1，,3m＋2n＝1，))
解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(m＝\f(1,9)，,n＝\f(1,3).))
所以椭圆的方程为eq \f(x2,9)＋eq \f(y2,3)＝1.
思维升华 根据条件求椭圆方程的主要方法
(1)定义法：根据题目所给条件确定动点的轨迹满足椭圆的定义．
(2)待定系数法：根据题目所给的条件确定椭圆中的a，b.当不知焦点在哪一个坐标轴上时，一般可设所求椭圆的方程为mx2＋ny2＝1(m>0，n>0，m≠n)，不必考虑焦点位置，用待定系数法求出m，n的值即可．
跟踪训练2 (1)“10，,k－1≠5－k，))所以10)的左顶点为A，点P，Q均在C上，且关于y轴对称．若直线AP，AQ的斜率之积为eq \f(1,4)，则C的离心率为( )
A.eq \f(\r(3),2) B.eq \f(\r(2),2) C.eq \f(1,2) D.eq \f(1,3)
答案 A
解析 设P(m，n)(n≠0)，
则Q(－m，n)，易知A(－a,0)，
所以kAP·kAQ＝eq \f(n,m＋a)·eq \f(n,－m＋a)＝eq \f(n2,a2－m2)＝eq \f(1,4).(*)
因为点P在椭圆C上，
所以eq \f(m2,a2)＋eq \f(n2,b2)＝1，得n2＝eq \f(b2,a2)(a2－m2)，
代入(*)式，得eq \f(b2,a2)＝eq \f(1,4)，
所以e＝eq \f(c,a)＝eq \r(1－\f(b2,a2))＝eq \f(\r(3),2).
思维升华 求椭圆离心率或其范围的方法
(1)直接求出a，c，利用离心率公式e＝eq \f(c,a)求解．
(2)由a与b的关系求离心率，利用变形公式e＝eq \r(1－\f(b2,a2))求解．
(3)构造a，c的方程．可以不求出a，c的具体值，而是得出a与c的关系，从而求得e.
命题点2 与椭圆有关的范围(最值)问题
例5 (1)(2023·长沙模拟)已知F1，F2为椭圆eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)的左、右焦点，椭圆的离心率为eq \f(1,2)，M为椭圆上一动点，则∠F1MF2的最大值为( )
A.eq \f(π,3) B.eq \f(π,2) C.eq \f(2π,3) D.eq \f(3π,4)
答案 A
解析 如图所示，当点M为椭圆的短轴顶点时，∠F1MF2最大，
∴|MO|＝b，|MF2|＝a，|OF2|＝c，
∴sin∠OMF2＝eq \f(|OF2|,|MF2|)＝eq \f(c,a)＝eq \f(1,2)，
∴∠OMF2＝eq \f(π,6)，
故∠F1MF2＝eq \f(π,3)，
所以∠F1MF2的最大值为eq \f(π,3).
(2)如图，焦点在x轴上的椭圆eq \f(x2,4)＋eq \f(y2,b2)＝1(b>0)的离心率e＝eq \f(1,2)，F，A分别是椭圆的左焦点和右顶点，P是椭圆上任意一点，则eq \(PF,\s\up6(→))·eq \(PA,\s\up6(→))的最大值为________．
答案 4
解析 由题意知a＝2，因为e＝eq \f(c,a)＝eq \f(1,2)，
所以c＝1，所以b2＝a2－c2＝3，
故椭圆的方程为eq \f(x2,4)＋eq \f(y2,3)＝1.
设P点的坐标为(x0，y0)，－2≤x0≤2，－eq \r(3)≤y0≤eq \r(3)，
代入eq \f(x2,4)＋eq \f(y2,3)＝1，得yeq \\al(2,0)＝3－eq \f(3,4)xeq \\al(2,0).
因为F(－1,0)，A(2,0)，
所以eq \(PF,\s\up6(→))＝(－1－x0，－y0)，
eq \(PA,\s\up6(→))＝(2－x0，－y0)，
所以eq \(PF,\s\up6(→))·eq \(PA,\s\up6(→))＝xeq \\al(2,0)－x0－2＋yeq \\al(2,0)＝eq \f(1,4)xeq \\al(2,0)－x0＋1＝eq \f(1,4)(x0－2)2，
所以当x0＝－2时，eq \(PF,\s\up6(→))·eq \(PA,\s\up6(→))取得最大值4.
思维升华 与椭圆有关的最值或范围问题的求解方法
(1)利用数形结合、几何意义，尤其是椭圆的性质．
(2)利用函数，尤其是二次函数．
(3)利用不等式，尤其是基本不等式．
跟踪训练3 (1)(2023·镇江模拟)已知椭圆E：eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，上顶点为A，射线AF1 交椭圆E于点B，以AB为直径的圆过F2，则椭圆E的离心率是( )
A.eq \f(\r(2),2) B.eq \f(\r(3),3) C.eq \f(1,2) D.eq \f(\r(5),5)
答案 D
解析 由题意|AF1|＝|AF2|＝a，
设|BF1|＝t，则|BF2|＝2a－t，
又以AB为直径的圆过F2，
所以AF2⊥BF2，
所以a2＋(2a－t)2＝(a＋t)2，
解得t＝eq \f(2,3)a，
所以|BF2|＝eq \f(4,3)a，
在△AF1F2和△BF1F2中，由余弦定理得
cs∠AF1F2＝eq \f(c,a)，
cs∠BF1F2＝eq \f(4c2＋\f(4,9)a2－\f(16,9)a2,2·2c·\f(2,3)a)＝eq \f(3c2－a2,2ac)，
因为∠AF1F2＋∠BF1F2＝180°，
所以cs∠AF1F2＋cs∠BF1F2＝0，
即eq \f(c,a)＋eq \f(3c2－a2,2ac)＝0，
整理得a2＝5c2，
所以e＝eq \f(c,a)＝eq \f(\r(5),5).
(2)已知椭圆eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)的右焦点为F(c,0)，上顶点为A(0，b)，直线x＝eq \f(a2,c)上存在一点P满足(eq \(FP,\s\up6(→))＋eq \(FA,\s\up6(→)))·eq \(AP,\s\up6(→))＝0，则椭圆的离心率的取值范围为( )
A.eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，1)) B.eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(2),2)，1))
C.eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(5)－1,2)，1)) D.eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(\r(2),2)))
答案 C
解析 取AP的中点Q，则eq \(FQ,\s\up6(→))＝eq \f(1,2)(eq \(FP,\s\up6(→))＋eq \(FA,\s\up6(→)))，
所以(eq \(FP,\s\up6(→))＋eq \(FA,\s\up6(→)))·eq \(AP,\s\up6(→))＝2eq \(FQ,\s\up6(→))·eq \(AP,\s\up6(→))＝0，
所以FQ⊥AP，所以△AFP为等腰三角形，
即|FA|＝|FP|，且|FA|＝eq \r(b2＋c2)＝a.
因为点P在直线x＝eq \f(a2,c)上，
所以|FP|≥eq \f(a2,c)－c，即a≥eq \f(a2,c)－c，
所以eq \f(a,c)≥eq \f(a2,c2)－1，所以e2＋e－1≥0，
解得e≥eq \f(\r(5)－1,2)或e≤eq \f(－\r(5)－1,2).
又0＜e＜1，故eq \f(\r(5)－1,2)≤e＜1.
课时精练
1．(2023·昆明模拟)已知椭圆eq \f(x2,4)＋eq \f(y2,3)＝1的两个焦点为F1，F2，过F2的直线交椭圆于M，N两点，则△F1MN的周长为( )
A．2 B．4 C．6 D．8
答案 D
解析 由eq \f(x2,4)＋eq \f(y2,3)＝1得a＝2.
因为M，N是椭圆上的点，F1，F2是椭圆的焦点，
所以|MF1|＋|MF2|＝2a，|NF1|＋|NF2|＝2a，
因此△F1MN的周长为|MF1|＋|MN|＋|NF1|＝|MF1|＋|MF2|＋|NF2|＋|NF1|＝2a＋2a＝4a＝8.
2．(2022·贵阳模拟)已知F1，F2是椭圆C的两个焦点，P是C上一点，且∠F1PF2＝30°，|PF1|＝eq \r(3)|PF2|，则椭圆C的离心率为( )
A.eq \f(\r(3)－1,4) B.eq \f(\r(3)－1,2) C.eq \f(\r(3)＋1,4) D.eq \f(\r(3)＋1,3)
答案 B
解析 令|PF2|＝m，则|PF1|＝eq \r(3)m，
∴|PF1|＋|PF2|＝(eq \r(3)＋1)m＝2a，
得a＝eq \f(\r(3)＋1m,2)，
又由余弦定理知，(2c)2＝(eq \r(3)m)2＋m2－2·eq \r(3)m·m·cs 30°，
即4c2＝m2，
∴m＝2c，得c＝eq \f(m,2)，
∴e＝eq \f(c,a)＝eq \f(m,\r(3)＋1m)＝eq \f(\r(3)－1,2).
3．(2022·全国甲卷)已知椭圆C：eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)的离心率为eq \f(1,3)，A1，A2分别为C的左、右顶点，B为C的上顶点．若eq \(BA1,\s\up6(―→))·eq \(BA2,\s\up6(―→))＝－1，则C的方程为( )
A.eq \f(x2,18)＋eq \f(y2,16)＝1 B.eq \f(x2,9)＋eq \f(y2,8)＝1
C.eq \f(x2,3)＋eq \f(y2,2)＝1 D.eq \f(x2,2)＋y2＝1
答案 B
解析 依题意得A1(－a,0)，A2(a,0)，B(0，b)，
所以eq \(BA1,\s\up6(―→))＝(－a，－b)，eq \(BA2,\s\up6(―→))＝(a，－b)，
eq \(BA1,\s\up6(―→))·eq \(BA2,\s\up6(―→))＝－a2＋b2＝－(a2－b2)＝－c2＝－1，故c＝1，
又C的离心率e＝eq \f(c,a)＝eq \f(1,a)＝eq \f(1,3)，
所以a＝3，a2＝9，b2＝a2－c2＝8，
所以C的方程为eq \f(x2,9)＋eq \f(y2,8)＝1.
4．(2023·濮阳模拟)已知椭圆C：eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，直线y＝kx(k>0)与C交于M，N两点(其中M在第一象限)，若M，F1，N，F2四点共圆，则C的离心率e的取值范围是( )
A.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(2),2)，1)) B.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(3),2)，1))
C.eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(3)－1,2)，1)) D.eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(\r(2),2)))
答案 A
解析 设椭圆的半焦距为c，
由椭圆的中心对称性和M，F1，N，F2四点共圆，
知四边形MF1NF2为矩形，
所以以F1F2为直径的圆与椭圆C有公共点，
则c>b，即c2>b2＝a2－c2，
所以2c2>a2，
故eq \f(\r(2),2)b>0)，焦点F1(－c,0)，F2(c,0)，左顶点为A，点E的坐标为(0，c)，A到直线EF2的距离为eq \f(\r(6),2)b.
(1)求椭圆C的离心率；
(2)若P为椭圆C上的一点，∠F1PF2＝60°，△PF1F2的面积为eq \r(3)，求椭圆C的标准方程．
解 (1)由题意得，A(－a,0)，
直线EF2的方程为x＋y＝c，
因为A到直线EF2的距离为eq \f(\r(6),2)b，
即eq \f(|－a－c|,\r(12＋12))＝eq \f(\r(6),2)b，所以a＋c＝eq \r(3)b，
即(a＋c)2＝3b2，又b2＝a2－c2，
所以(a＋c)2＝3(a2－c2)，
所以2c2＋ac－a2＝0，
即2e2＋e－1＝0，
解得e＝eq \f(1,2)或e＝－1(舍)，
所以椭圆C的离心率为eq \f(1,2).
(2)由(1)知离心率e＝eq \f(c,a)＝eq \f(1,2)，即a＝2c，①
因为∠F1PF2＝60°，△PF1F2的面积为eq \r(3)，
则eq \f(1,2)|PF1||PF2|sin 60°＝eq \r(3)，
所以|PF1||PF2|＝4，
由方程组eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(|PF1|＋|PF2|＝2a，,|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1||PF2|cs 60°＝2c2，))
得a2－c2＝3，②
联立①②得a＝2，c＝1，所以b2＝a2－c2＝3，
所以椭圆C的标准方程为eq \f(x2,4)＋eq \f(y2,3)＝1.
10．已知F1，F2是椭圆的两个焦点，P为椭圆上一点，∠F1PF2＝60°.
(1)求椭圆的离心率的取值范围；
(2)求证：△F1PF2的面积只与椭圆的短轴长有关．
(1)解 不妨设椭圆的方程为eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)，焦距为2c.
在△F1PF2中，由余弦定理得，
cs 60°＝eq \f(|PF1|2＋|PF2|2－|F1F2|2,2|PF1|·|PF2|)
＝eq \f(|PF1|＋|PF2|2－2|PF1|·|PF2|－|F1F2|2,2|PF1|·|PF2|)，
即eq \f(4a2－2|PF1|·|PF2|－4c2,2|PF1|·|PF2|)＝eq \f(1,2)，
所以|PF1|·|PF2|＝4a2－2|PF1|·|PF2|－4c2，
所以3|PF1|·|PF2|＝4b2，
所以|PF1|·|PF2|＝eq \f(4b2,3).
又因为|PF1|·|PF2|≤eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(|PF1|＋|PF2|,2)))2＝a2，
当且仅当|PF1|＝|PF2|＝a时，等号成立，
所以3a2≥4(a2－c2)，
所以eq \f(c,a)≥eq \f(1,2)，
所以e≥eq \f(1,2).
又因为0b>0)
eq \f(y2,a2)＋eq \f(x2,b2)＝1(a>b>0)
范围
－a≤x≤a且－b≤y≤b
－b≤x≤b且－a≤y≤a
顶点
A1(－a,0)，A2(a,0)，B1(0，－b)，B2(0，b)
A1(0，－a)，A2(0，a)，B1(－b,0)，B2(b,0)
轴长
短轴长为2b，长轴长为2a
焦点
F1(－c,0)，F2(c,0)
F1(0，－c)，F2(0，c)
焦距
|F1F2|＝2c
对称性
对称轴：x轴和y轴，对称中心：原点
离心率
e＝eq \f(c,a)(0