备战2024年高考数学大一轮复习（人教A版-理）第七章 §7.2 一元二次不等式及其解法

这是一份备战2024年高考数学大一轮复习（人教A版-理）第七章 §7.2 一元二次不等式及其解法，共12页。试卷主要包含了分式不等式与整式不等式等内容，欢迎下载使用。


知识梳理
1．二次函数与一元二次方程、不等式的解的对应关系
2.分式不等式与整式不等式
(1)eq \f(fx,gx)>0(<0)⇔f(x)g(x)>0(<0)；
(2)eq \f(fx,gx)≥0(≤0)⇔f(x)g(x)≥0(≤0)且g(x)≠0.
3．简单的绝对值不等式
|x|>a(a>0)的解集为(－∞，－a)∪(a，＋∞)，|x|0)的解集为(－a，a)．
思考辨析
判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)若方程ax2＋bx＋c＝0无实数根，则不等式ax2＋bx＋c>0的解集为R.( × )
(2)若不等式ax2＋bx＋c>0的解集为(x1，x2)，则a<0.( √ )
(3)若ax2＋bx＋c>0恒成立，则a>0且Δ<0.( × )
(4)不等式eq \f(x－a,x－b)≥0等价于(x－a)(x－b)≥0.( × )
教材改编题
1．不等式eq \f(x－3,x－2)<0的解集为( )
A．∅
B．(2,3)
C．(－∞，2)∪(3，＋∞)
D．(－∞，＋∞)
答案 B
解析 eq \f(x－3,x－2)<0等价于(x－3)(x－2)<0，解得22．已知2x2＋kx－m<0的解集为(t，－1)(t<－1)，则k＋m的值为( )
A．1 B．2 C．－1 D．－2
答案 B
解析 因为2x2＋kx－m<0的解集为(t，－1)(t<－1)，
所以x＝－1为方程2x2＋kx－m＝0的一个根，
所以k＋m＝2.
3．已知对任意x∈R，x2＋(a－2)x＋eq \f(1,4)≥0恒成立，则实数a的取值范围是________．
答案 [1,3]
解析 ∀x∈R，x2＋(a－2)x＋eq \f(1,4)≥0，则Δ≤0⇒(a－2)2－1≤0⇒1≤a≤3.
题型一 一元二次不等式的解法
命题点1 不含参数的不等式
例1 (1)不等式|x|(1－2x)>0的解集是( )
A.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－∞，\f(1,2)))
B.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(1,2)))
C．(－∞，0)∪eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，＋∞))
D．(－∞，0)∪eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(1,2)))
答案 D
解析 原不等式等价于eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x≠0，,1－2x>0，))
即x(2)已知p：|x－1|≤2，q：eq \f(x＋1,x－3)≤0，则p是q的( )
A．充要条件
B．充分不必要条件
C．必要不充分条件
D．既不充分也不必要条件
答案 C
解析 |x－1|≤2，－2≤x－1≤2，－1≤x≤3⇒p：－1≤x≤3.
eq \f(x＋1,x－3)≤0，eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＋1x－3≤0，,x－3≠0，))－1≤x<3⇒q：－1≤x<3.
所以p是q的必要不充分条件．
命题点2 含参数的一元二次不等式
例2 已知函数f(x)＝ax2＋(2－4a)x－8.
(1)若不等式f(x)<0的解集为eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(－\f(2,3)(2)当a<0时，求关于x的不等式f(x)>0的解集．
解 (1)不等式f(x)<0，即ax2＋(2－4a)x－8<0，
可化为(ax＋2)(x－4)<0.
因为f(x)<0的解集是eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(－\f(2,3)所以a>0且－eq \f(2,a)＝－eq \f(2,3)，
解得a＝3.
(2)不等式f(x)>0，即ax2＋(2－4a)x－8>0，
因为a<0，所以不等式可化为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(2,a)))(x－4)<0，
当4<－eq \f(2,a)，即－eq \f(1,2)当4＝－eq \f(2,a)，即a＝－eq \f(1,2)时，原不等式的解集为∅；
当4>－eq \f(2,a)，即a<－eq \f(1,2)时，原不等式的解集为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(2,a)，4)).
综上所述，
当－eq \f(1,2)当a＝－eq \f(1,2)时，原不等式的解集为∅；
当a<－eq \f(1,2)时，原不等式的解集为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(2,a)，4)).
思维升华 对含参的不等式，应对参数进行分类讨论，常见的分类有
(1)根据二次项系数为正、负及零进行分类．
(2)根据判别式Δ与0的关系判断根的个数．
(3)有两个根时，有时还需根据两根的大小进行讨论．
跟踪训练1 解关于x的不等式．
(1)eq \f(2x－1,3x＋1)>1；
(2)m>0时，mx2－mx－1<2x－3.
解 (1)移项得eq \f(2x－1,3x＋1)－1>0，合并得eq \f(－x－2,3x＋1)>0，等价于(3x＋1)(－x－2)>0，
即(3x＋1)(x＋2)<0，解得－2所以不等式的解集为eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(－2(2)移项得mx2－(m＋2)x＋2<0，
对应的方程(mx－2)(x－1)＝0的两根为eq \f(2,m)和1，
当01，解得1当m＝2时，eq \f(2,m)＝1，原不等式无解；
当m>2时，eq \f(2,m)<1，解得eq \f(2,m)综上所述，当0当m＝2时，原不等式的解集为空集；
当m>2时，原不等式的解集为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,m)，1)).
题型二 一元二次不等式恒成立问题
命题点1 在R上恒成立问题
例3 若对任意实数x，不等式2kx2＋kx－3<0恒成立，则实数k的取值范围是________．
答案 (－24,0]
解析 当k＝0时，不等式即为－3<0，不等式恒成立；当k≠0时，若不等式恒成立，则eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(k<0，,Δ＝k2＋24k<0，))解得－24命题点2 在给定区间上恒成立问题
例4 已知函数f(x)＝mx2－mx－1.若对于x∈[1,3]，f(x)<5－m恒成立，则实数m的取值范围为________．
答案 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－∞，\f(6,7)))
解析 要使f(x)<－m＋5在x∈[1,3]上恒成立，
即meq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(1,2)))2＋eq \f(3,4)m－6<0在x∈[1,3]上恒成立．
方法一 令g(x)＝meq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(1,2)))2＋eq \f(3,4)m－6，x∈[1,3]．
当m>0时，g(x)在[1,3]上单调递增，
所以g(x)max＝g(3)，即7m－6<0，
所以m当m＝0时，－6<0恒成立；
当m<0时，g(x)在[1,3]上单调递减，
所以g(x)max＝g(1)，即m－6<0，
所以m<6，所以m<0.
综上所述，m的取值范围是eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－∞，\f(6,7))).
方法二 因为x2－x＋1＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(1,2)))2＋eq \f(3,4)>0，
又因为m(x2－x＋1)－6<0在x∈[1,3]上恒成立，
所以m令y＝eq \f(6,x2－x＋1)，
因为函数y＝eq \f(6,x2－x＋1)＝eq \f(6,\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(1,2)))2＋\f(3,4))在[1,3]上的最小值为eq \f(6,7)，所以只需m所以m的取值范围是eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－∞，\f(6,7))).
命题点3 在给定参数范围内的恒成立问题
例5 (2023·宿迁模拟)若不等式x2＋px>4x＋p－3，当0≤p≤4时恒成立，则x的取值范围是( )
A．[－1,3]
B．(－∞，－1]
C．[3，＋∞)
D．(－∞，－1)∪(3，＋∞)
答案 D
解析 不等式x2＋px>4x＋p－3
可化为(x－1)p＋x2－4x＋3>0，
由已知可得[(x－1)p＋x2－4x＋3]min>0(0≤p≤4)，
令f(p)＝(x－1)p＋x2－4x＋3(0≤p≤4)，
可得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(f0＝x2－4x＋3>0，,f4＝4x－1＋x2－4x＋3>0，))
解得x<－1或x>3.
思维升华 恒成立问题求参数的范围的解题策略
(1)弄清楚自变量、参数．一般情况下，求谁的范围，谁就是参数．
(2)一元二次不等式在R上恒成立，可用判别式Δ；一元二次不等式在给定区间上恒成立，不能用判别式Δ，一般分离参数求最值或分类讨论．
跟踪训练2 (1)不等式(a－2)x2＋2(a－2)x－4≥0的解集为∅，则实数a的取值范围是( )
A．{a|a<－2或a≥2} B．{a|－2C．{a|－2答案 C
解析 因为不等式(a－2)x2＋2(a－2)x－4≥0的解集为∅，
所以不等式(a－2)x2＋2(a－2)x－4<0的解集为R.
当a－2＝0，即a＝2时，－4<0，符合题意；
当a－2≠0，即a≠2时，
需满足eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(Δ＝[2a－2]2＋4×4×a－2<0，,a－2<0，))
解得－2综上，实数a的取值范围是{a|－2(2)设a∈R，若关于x的不等式x2－ax＋1≥0在1≤x≤2上有解，则( )
A．a≤2 B．a≥2
C．a≤eq \f(5,2) D．a≥eq \f(5,2)
答案 C
解析 由x2－ax＋1≥0在1≤x≤2上有解，
得eq \f(x2＋1,x)≥a在1≤x≤2上有解，
则a≤eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(x2＋1,x)))max，
由于eq \f(x2＋1,x)＝x＋eq \f(1,x)，
而y＝x＋eq \f(1,x)在[1,2]上单调递增，
故当x＝2时，x＋eq \f(1,x)取得最大值eq \f(5,2)，
故a≤eq \f(5,2).
课时精练
1．若集合A＝{x|x2－9x>0}，B＝{x|x2－2x－3<0}，则A∪B等于( )
A．R
B．{x|x>－1}
C．{x|x<3或x>9}
D．{x|x<－1或x>3}
答案 C
解析 由题意，得A＝{x|x<0或x>9}，
B＝{x|－1所以A∪B＝{x|x<3或x>9}．
2．函数f(x)＝eq \r(|x－1|－x)＋lg(4－x2)的定义域为( )
A．(－2,2) B.eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(－2，\f(1,2)))
C.eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，2)) D．(－∞，－2)
答案 B
解析 依题意得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(|x－1|－x≥0，,4－x2>0，))
解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x≤\f(1,2)，,－2∴－2∴原函数的定义域为eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(－2，\f(1,2))).
3．已知命题p：“∀x∈R，(a＋1)x2－2(a＋1)x＋3>0”为真命题，则实数a的取值范围是( )
A．－1C．a<－1 D．－1≤a<2
答案 D
解析 当a＝－1时，3>0成立；当a≠－1时，
需满足eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a＋1>0，,Δ＝4a＋12－12a＋1<0，))
解得－1综上所述，－1≤a<2.
4．已知不等式ax2＋bx＋2>0的解集为{x|－1A.eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(－1\f(1,2)))))
C．{x|－21}
答案 A
解析 因为不等式ax2＋bx＋2>0的解集为{x|－1所以ax2＋bx＋2＝0的两根为－1,2，且a<0，即－1＋2＝－eq \f(b,a)，(－1)×2＝eq \f(2,a)，解得a＝－1，b＝1，
则不等式可化为2x2＋x－1<0，解得－15．已知a∈R，关于x的不等式eq \f(ax－1,x－a)>0的解集不可能是( )
A．(1，a) B．(－∞，1)∪(a，＋∞)
C．(－∞，a)∪(1，＋∞) D．∅
答案 A
解析 当a<0时，
不等式等价于(x－1)(x－a)<0，
解得a当a＝0时，不等式的解集是∅；
当00，
解得x1；
当a＝1时，不等式等价于(x－1)2>0，解得x≠1；
当a>1时，不等式等价于(x－1)(x－a)>0，
解得x<1或x>a.
6．已知关于x的一元二次不等式x2＋5x＋m<0的解集中有且仅有2个整数，则实数m的取值范围是( )
A．(4,6) B．(0,6)
C．[4,6) D．[0,6]
答案 C
解析 画出函数f(x)＝x2＋5x＋m的图象，关于x的一元二次不等式x2＋5x＋m<0的解集为函数图象在x轴下方的部分对应的点的横坐标x的集合，因为函数f(x)＝x2＋5x＋m的图象的对称轴为x＝－eq \f(5,2)，所以为使得不等式的解集中有且仅有2个整数，必须且只需使得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(f－2＝4－10＋m<0，,f－1＝1－5＋m≥0，))解得4≤m<6.
7．不等式eq \f(3,x－1)>1的解集为________．
答案 (1,4)
解析 ∵eq \f(3,x－1)>1，
∴eq \f(3,x－1)－1>0，即eq \f(4－x,x－1)>0，
即1∴原不等式的解集为(1,4)．
8．(2023·合肥模拟)若不等式x2＋ax＋4≥0对一切x∈[1,3]恒成立，则a的最小值为________．
答案 －4
解析 ∵当x∈[1,3]时，x2＋ax＋4≥0恒成立，
∴a≥－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(4,x)))恒成立，
又当x∈[1,3]时，x＋eq \f(4,x)≥2eq \r(4)＝4，当且仅当x＝2时取等号．
∴－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(4,x)))≤－4，
∴a≥－4，故a的最小值为－4.
9．已知集合：①A＝eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(4,x＋1)>1))))；②A＝{x|x2－2x－3<0}；③A＝{x||x－1|<2}，集合B＝{x|x2－(2m＋1)x＋m2＋m<0}(m为常数)，从①②③这三个条件中任选一个作为集合A，求解下列问题：
(1)定义A－B＝{x|x∈A且x∉B}，当m＝0时，求A－B；
(2)设命题p：x∈A，命题q：x∈B，若p是q成立的必要不充分条件，求实数m的取值范围．
解 (1)选①：
eq \f(4,x＋1)>1，若x＋1>0，即x>－1时，eq \f(4,x＋1)>1，即4>x＋1，解得－1若x＋1<0，则eq \f(4,x＋1)<0，则eq \f(4,x＋1)>1无解，所以eq \f(4,x＋1)>1的解集为(－1,3)，
故A＝(－1,3)，由m＝0，可得x2－x<0，即x(x－1)<0，解得0故B＝(0,1)，则A－B＝(－1,0]∪[1,3)．
选②：
x2－2x－3<0，解得－1故A＝(－1,3)，
m＝0，x2－x<0，即x(x－1)<0，解得0则A－B＝(－1,0]∪[1,3)．
选③：
|x－1|<2，－2故A＝(－1,3)，
m＝0，x2－x<0，即x(x－1)<0，解得0故B＝(0,1)，
则A－B＝(－1,0]∪[1,3)．
(2)由(1)可知，条件①②③求出的集合A相同，即A＝(－1,3)．
由x2－(2m＋1)x＋m2＋m<0，即(x－m)[x－(m＋1)]<0，
解得B＝(m，m＋1)，
因为p是q成立的必要不充分条件，所以BA，所以
eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(m>－1，,m＋1≤3))或eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(m≥－1，,m＋1<3，))解得－1≤m≤2，故m的取值范围为[－1,2]．
10．已知函数f(x)＝ax2＋(1－a)x＋a－2.
(1)若不等式f(x)≥－2对于一切实数x恒成立，求实数a的取值范围；
(2)若a<0，解关于x的不等式f(x)解 (1)∀x∈R，f(x)≥－2恒成立等价于∀x∈R，ax2＋(1－a)x＋a≥0，
当a＝0时，x≥0，对一切实数x不恒成立，则a≠0，
此时必有eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a>0，,Δ＝1－a2－4a2≤0，))
即eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a>0，,Δ＝3a2＋2a－1≥0，))解得a≥eq \f(1,3)，
所以实数a的取值范围是eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)，＋∞)).
(2)依题意，因为a<0，则f(x)0，
当a＝－1时，－eq \f(1,a)＝1，解得x≠1；
当－11，解得x<1或x>－eq \f(1,a)；
当a<－1时，0<－eq \f(1,a)<1，解得x<－eq \f(1,a)或x>1，
所以，当a＝－1时，原不等式的解集为{x|x≠1}；当－1－\f(1,a)))))；
当a<－1时，原不等式的解集为eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(x<－\f(1,a)或x>1)))).
11．已知函数f(x)＝x2－ax－1，当x∈(0,3]时，|f(x)|≤5恒成立，则实数a的取值范围是( )
A．(－∞，4] B．[1，＋∞)
C．[1,4] D．[1,2]
答案 C
解析 由题意知，|f(x)|≤5⇔－5≤x2－ax－1≤5
⇔x－eq \f(6,x)≤a≤x＋eq \f(4,x)，
当x∈(0,3]时，eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(4,x)))min＝2＋eq \f(4,2)＝4，
eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(6,x)))max＝3－2＝1，
所以1≤a≤4.
12．(2023·常德模拟)已知函数f(x)＝x2＋ax＋b(a，b∈R)的值域为[0，＋∞)，若关于x的不等式f(x)答案 9
解析 ∵函数f(x)＝x2＋ax＋b(a，b∈R)的值域为[0，＋∞)，
∴f(x)＝x2＋ax＋b＝0只有一个根，
即Δ＝a2－4b＝0，则b＝eq \f(a2,4)，
不等式f(x)即为x2＋ax＋eq \f(a2,4)则x2＋ax＋eq \f(a2,4)－c＝0的两个根为m，m＋6，
∴|m＋6－m|＝eq \r(a2－4\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(a2,4)－c)))＝eq \r(4c)＝6，
解得c＝9.
13．下面给出了问题：“已知关于x的不等式ax2＋bx＋c>0的解集为{x|－20.”的一种解法：
因为不等式ax2＋bx＋c>0的解集为{x|－20可化为a(－x)2＋b(－x)＋c>0，所以－2<－x<1，即－10的解集为{x|－1参考上述解法，解答问题：
若关于x的不等式eq \f(n,x＋m)＋eq \f(x＋b,x＋c)<0的解集为{x|－2A.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－1，－\f(1,3)))∪eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，1))
B．(－1,1)∪(1,3)
C．(－3，－1)∪(1,2)
D.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－1，－\f(1,2)))∪eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)，1))
答案 A
解析 因为x＝0不是不等式eq \f(nx,mx－1)＋eq \f(bx－1,cx－1)<0的解，
所以不等式eq \f(nx,mx－1)＋eq \f(bx－1,cx－1)<0等价于eq \f(n,\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,x)))＋m)＋eq \f(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,x)))＋b,\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,x)))＋c)<0，
所以－2<－eq \f(1,x)<－1或1<－eq \f(1,x)<3，解得－114．已知0<θ答案 m≥－eq \f(1,2)
解析 ∵cs2θ＋2msin θ－2m－2<0，
∴1－sin2θ＋2msin θ－2m－2＝－sin2θ＋2msin θ－2m－1<0.
设x＝sin θ(0由题意可知，0当对称轴x＝m≤0时f(x)在x∈(0,1)上单调递减，
则f(x)当对称轴0解得1－eq \r(2)当对称轴x＝m≥1时，f(x)在x∈(0,1)上单调递增，
则f(x)综上所述，m≥－eq \f(1,2).
判别式Δ＝b2－4ac
Δ>0
Δ＝0
Δ<0
二次函数y＝ax2＋bx＋c(a>0)的图象
方程ax2＋bx＋c＝0(a>0)的根
有两个不相等的实数根x1，x2(x1有两个相等的实数根x1＝x2＝－eq \f(b,2a)
没有实数根
ax2＋bx＋c>0(a>0)的解集
{x|xx2}
eq \b\lc\{\rc\} (\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(x≠－\f(b,2a)))))
R
ax2＋bx＋c<0(a>0)的解集
{x|x1∅
∅