备战2024年高考数学大一轮复习（人教A版-理）第四章 §4.3 两角和与差的正弦、余弦和正切公式

这是一份备战2024年高考数学大一轮复习（人教A版-理）第四章 §4.3 两角和与差的正弦、余弦和正切公式，共13页。试卷主要包含了会推导两角差的余弦公式等内容，欢迎下载使用。

知识梳理
1．两角和与差的余弦、正弦、正切公式
(1)公式C(α－β)：cs(α－β)＝cs αcs β＋sin αsin β；
(2)公式C(α＋β)：cs(α＋β)＝cs αcs β－sin αsin β；
(3)公式S(α－β)：sin(α－β)＝sin αcs β－cs αsin β；
(4)公式S(α＋β)：sin(α＋β)＝sin αcs β＋cs αsin β；
(5)公式T(α－β)：tan(α－β)＝eq \f(tan α－tan β,1＋tan αtan β)；
(6)公式T(α＋β)：tan(α＋β)＝eq \f(tan α＋tan β,1－tan αtan β).
2．辅助角公式
asin α＋bcs α＝eq \r(a2＋b2)sin(α＋φ)，其中sin φ＝eq \f(b,\r(a2＋b2))，cs φ＝eq \f(a,\r(a2＋b2)).
知识拓展
两角和与差的公式的常用变形：
(1)sin αsin β＋cs(α＋β)＝cs αcs β.
(2)cs αsin β＋sin(α－β)＝sin αcs β.
(3)tan α±tan β＝tan(α±β)(1∓tan αtan β)．
tan αtan β＝1－eq \f(tan α＋tan β,tanα＋β)＝eq \f(tan α－tan β,tanα－β)－1.
思考辨析
判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)存在α，β，使等式sin(α＋β)＝sin α＋sin β.( √ )
(2)两角和与差的正切公式中的角α，β是任意角．( × )
(3)公式tan(α＋β)＝eq \f(tan α＋tan β,1－tan αtan β)可以变形为tan α＋tan β＝tan(α＋β)(1－tan αtan β)，且对任意角α，β都成立．( × )
(4)公式asin x＋bcs x＝eq \r(a2＋b2)sin(x＋φ)中φ的取值与a，b的值无关．( × )
教材改编题
1．sin 20°cs 10°－cs 160°sin 10°等于( )
A．－eq \f(\r(3),2) B.eq \f(\r(3),2) C．－eq \f(1,2) D.eq \f(1,2)
答案 D
解析 原式＝sin 20°cs 10°＋cs 20°sin 10°＝sin(20°＋10°)＝sin 30°＝eq \f(1,2).
2．若将sin x－eq \r(3)cs x写成2sin(x－φ)的形式，其中0≤φ<π，则φ＝ .
答案 eq \f(π,3)
解析 因为sin x－eq \r(3)cs x＝2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)sin x－\f(\r(3),2)cs x))，
所以cs φ＝eq \f(1,2)，sin φ＝eq \f(\r(3),2)，
因为0≤φ<π，
所以φ＝eq \f(π,3).
3．已知α∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)，π))，且sin α＝eq \f(4,5)，则taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(π,4)))的值为 ．
答案 －eq \f(1,7)
解析 因为α∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)，π))，且sin α＝eq \f(4,5)，
所以cs α＝－eq \r(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(4,5)))2)＝－eq \f(3,5)，
tan α＝eq \f(sin α,cs α)＝eq \f(\f(4,5),－\f(3,5))＝－eq \f(4,3).
所以taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(π,4)))＝eq \f(tan α＋tan \f(π,4),1－tan αtan \f(π,4))＝eq \f(－\f(4,3)＋1,1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(4,3)))×1)＝－eq \f(1,7).
题型一 两角和与差的三角函数公式
例1 (1)计算：eq \f(cs 55°＋sin 25°cs 60°,cs 25°)等于( )
A．－eq \f(\r(3),2) B.eq \f(\r(3),2) C．－eq \f(1,2) D.eq \f(1,2)
答案 B
解析 eq \f(cs 55°＋sin 25°cs 60°,cs 25°)＝eq \f(cs30°＋25°＋\f(1,2)sin 25°,cs 25°)＝eq \f(\f(\r(3),2)cs 25°－\f(1,2)sin 25°＋\f(1,2)sin 25°,cs 25°)＝eq \f(\r(3),2).
(2)(2023·银川模拟)已知tan α＝1＋m，tan β＝m，且α＋β＝eq \f(π,4)，则实数m的值为( )
A．－1 B．1 C．0或－3 D．0或1
答案 C
解析 因为α＋β＝eq \f(π,4)，
所以tan(α＋β)＝tan eq \f(π,4)⇒eq \f(tan α＋tan β,1－tan αtan β)＝1⇒eq \f(1＋m＋m,1－mm＋1)＝1⇒m2＋3m＝0，
解得m＝0或m＝－3.
思维升华 两角和与差的三角函数公式可看作是诱导公式的推广，可用α，β的三角函数表示α±β的三角函数，在使用两角和与差的三角函数公式时，特别要注意角与角之间的关系，完成统一角和角与角转换的目的．
跟踪训练1 (1)(2023·茂名模拟)已知0<αA.eq \f(4\r(14),51) B.eq \f(2\r(14),13) C.eq \f(4\r(17),51) D.eq \f(2\r(17),13)
答案 C
解析 因为sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)－α))＝eq \f(\r(2),6)，
所以eq \f(\r(2),2)(cs α－sin α)＝eq \f(\r(2),6).
所以cs α－sin α＝eq \f(1,3)，
所以1－2sin αcs α＝eq \f(1,9)，
得sin αcs α＝eq \f(4,9)，
因为cs α＋sin α＝eq \r(1＋2sin αcs α)＝eq \f(\r(17),3)，
所以eq \f(sin α,1＋tan α)＝eq \f(sin α,1＋\f(sin α,cs α))＝ eq \f(sin αcs α,cs α＋sin α)＝eq \f(\f(4,9),\f(\r(17),3))＝eq \f(4\r(17),51).
(2)(2022·新高考全国Ⅱ)若sin(α＋β)＋cs(α＋β)＝2eq \r(2)cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(π,4)))sin β，则( )
A．tan(α－β)＝1
B．tan(α＋β)＝1
C．tan(α－β)＝－1
D．tan(α＋β)＝－1
答案 C
解析 由题意得sin αcs β＋cs αsin β＋cs αcs β－sin αsin β＝2eq \r(2)×eq \f(\r(2),2)(cs α－sin α)sin β，整理得sin αcs β－cs αsin β＋cs αcs β＋sin αsin β＝0，即sin(α－β)＋cs(α－β)＝0，所以tan(α－β)＝－1，故选C.
题型二 两角和与差的公式逆用与辅助角公式
例2 (1)在△ABC中，C＝120°，tan A＋tan B＝eq \f(2\r(3),3)，则tan Atan B的值为( )
A.eq \f(1,4) B.eq \f(1,3) C.eq \f(1,2) D.eq \f(5,3)
答案 B
解析 在△ABC中，∵C＝120°，∴tan C＝－eq \r(3).
∵A＋B＝π－C，
∴tan(A＋B)＝－tan C＝eq \r(3).
∴tan A＋tan B＝eq \r(3)(1－tan Atan B)，
又∵tan A＋tan B＝eq \f(2\r(3),3)，
∴tan Atan B＝eq \f(1,3).
(2)(2022·浙江)若3sin α－sin β＝eq \r(10)，α＋β＝eq \f(π,2)，则sin α＝ ，cs 2β＝ .
答案 eq \f(3\r(10),10) eq \f(4,5)
解析 因为α＋β＝eq \f(π,2)，所以β＝eq \f(π,2)－α，
所以3sin α－sin β＝3sin α－sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)－α))＝3sin α－cs α＝eq \r(10)sin(α－φ)＝eq \r(10)，其中sin φ＝eq \f(\r(10),10)，cs φ＝eq \f(3\r(10),10).
所以α－φ＝eq \f(π,2)＋2kπ，k∈Z，
所以α＝eq \f(π,2)＋φ＋2kπ，k∈Z，
所以sin α＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)＋φ＋2kπ))＝cs φ＝eq \f(3\r(10),10)，k∈Z.
因为sin β＝3sin α－eq \r(10)＝－eq \f(\r(10),10)，
所以cs 2β＝1－2sin2β＝1－eq \f(1,5)＝eq \f(4,5).
思维升华 运用两角和与差的三角函数公式时，不但要熟练、准确，而且要熟悉公式的逆用及变形．公式的逆用和变形应用更能开拓思路，增强从正向思维向逆向思维转化的能力．
跟踪训练2 (1)(2023·西宁模拟)已知sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(π,6)))＝eq \f(\r(3),3)，则sin x＋sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(π,3)))等于( )
A．1 B．－1 C.eq \f(2\r(3),3) D.eq \r(3)
答案 A
解析 因为sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(π,6)))＝eq \f(\r(3),3)，
所以sin x＋sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(π,3)))＝sin x＋eq \f(1,2)sin x－eq \f(\r(3),2)cs x＝eq \r(3)sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(π,6)))＝1.
(2)满足等式(1＋tan α)(1＋tan β)＝2的数组(α，β)有无穷多个，试写出一个这样的数组 ．
答案 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(π,4)))(答案不唯一)
解析 由(1＋tan α)(1＋tan β)＝2，得1＋tan β＋tan α＋tan αtan β＝2，
所以tan β＋tan α＝1－tan αtan β，
所以eq \f(tan β＋tan α,1－tan αtan β)＝1，
所以tan(α＋β)＝1，
所以α＋β＝kπ＋eq \f(π,4)，k∈Z，所以α可以为0，β可以为eq \f(π,4)(答案不唯一)．
题型三 角的变换问题
例3 (1)(2020·全国Ⅲ)已知sin θ＋sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(θ＋\f(π,3)))＝1，则sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(θ＋\f(π,6)))等于( )
A.eq \f(1,2) B.eq \f(\r(3),3) C.eq \f(2,3) D.eq \f(\r(2),2)
答案 B
解析 因为sin θ＋sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(θ＋\f(π,3)))
＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(θ＋\f(π,6)－\f(π,6)))＋sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(θ＋\f(π,6)＋\f(π,6)))
＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(θ＋\f(π,6)))cs eq \f(π,6)－cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(θ＋\f(π,6)))sin eq \f(π,6)＋
sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(θ＋\f(π,6)))cs eq \f(π,6)＋cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(θ＋\f(π,6)))sin eq \f(π,6)
＝2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(θ＋\f(π,6)))cs eq \f(π,6)＝eq \r(3)sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(θ＋\f(π,6)))＝1.
所以sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(θ＋\f(π,6)))＝eq \f(\r(3),3).
(2)已知α，β为锐角，sin α＝eq \f(3\r(10),10)，cs(α＋β)＝－eq \f(\r(5),5).则sin(2α＋β)的值为 ．
答案 －eq \f(\r(2),10)
解析 因为0<α因为0<α因为cs(α＋β)＝－eq \f(\r(5),5)，所以sin(α＋β)＝eq \r(1－cs2α＋β)＝eq \r(1－\f(1,5))＝eq \f(2\r(5),5)，
所以sin(2α＋β)＝sin(α＋α＋β) ＝sin αcs(α＋β)＋cs αsin(α＋β)＝eq \f(3\r(10),10)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(\r(5),5)))＋eq \f(\r(10),10)×eq \f(2\r(5),5)＝－eq \f(\r(2),10).
思维升华 常用的拆角、配角技巧：2α＝(α＋β)＋(α－β)；α＝(α＋β)－β＝(α－β)＋β；β＝eq \f(α＋β,2)－eq \f(α－β,2)＝(α＋2β)－(α＋β)；α－β＝(α－γ)＋(γ－β)；15°＝45°－30°；eq \f(π,4)＋α＝eq \f(π,2)－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)－α))等．
跟踪训练3 (1)(2023·青岛质检)已知α，β∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3π,4)，π))，sin(α＋β)＝－eq \f(3,5)，sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(β－\f(π,4)))＝eq \f(24,25)，则cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(π,4)))＝ .
答案 －eq \f(4,5)
解析 由题意知，α＋β∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3π,2)，2π))，sin(α＋β)＝－eq \f(3,5)<0，所以cs(α＋β)＝eq \f(4,5)，
因为sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(β－\f(π,4)))＝eq \f(24,25)，β－eq \f(π,4)∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)，\f(3π,4)))，
所以cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(β－\f(π,4)))＝－eq \f(7,25)，
所以cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(π,4)))＝cseq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(α＋β－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(β－\f(π,4)))))
＝cs(α＋β)cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(β－\f(π,4)))
＋sin(α＋β)sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(β－\f(π,4)))＝－eq \f(4,5).
(2)若tan(α＋2β)＝2，tan β＝－3，则tan(α＋β)＝ ，tan α＝ .
答案 －1 eq \f(1,2)
解析 ∵tan(α＋2β)＝2，tan β＝－3，
∴tan(α＋β)＝tan(α＋2β－β)＝eq \f(tanα＋2β－tan β,1＋tanα＋2βtan β)＝eq \f(2－－3,1＋2×－3)＝－1，
tan α＝tan(α＋β－β)＝eq \f(tanα＋β－tan β,1＋tanα＋βtan β)＝eq \f(－1－－3,1＋－1×－3)＝eq \f(1,2).
课时精练
1．(2023·苏州模拟)cs 24°cs 36°－sin 24°cs 54°等于( )
A．cs 12° B．－cs 12° C．－eq \f(1,2) D.eq \f(1,2)
答案 D
解析 cs 24°cs 36°－sin 24°cs 54°＝cs 24°cs 36°－sin 24°sin 36°＝cs(24°＋36°)＝cs 60°＝eq \f(1,2).
2．(2023·合肥模拟)已知sin α＋cs α＝eq \f(\r(2),3)，则sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α－\f(3π,4)))等于( )
A．±eq \f(1,3) B.eq \f(1,3) C．－eq \f(1,3) D．－eq \f(2\r(2),3)
答案 C
解析 ∵sin α＋cs α＝eq \r(2)sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(π,4)))＝eq \f(\r(2),3)，
∴sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(π,4)))＝eq \f(1,3)，
∴sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α－\f(3π,4)))＝sineq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(π,4)))－π))＝－sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(π,4)))＝－eq \f(1,3).
3．已知msin 20°＋tan 20°＝eq \r(3)，则实数m的值为( )
A.eq \r(3) B．2 C．4 D．8
答案 C
解析 ∵msin 20°＋tan 20°＝eq \r(3)，
∴m＝eq \f(\r(3)－tan 20°,sin 20°)＝eq \f(\r(3)－\f(sin 20°,cs 20°),sin 20°)
＝eq \f(\r(3)cs 20°－sin 20°,sin 20°cs 20°)＝eq \f(2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(3),2)cs 20°－\f(1,2)sin 20°)),\f(1,2)sin 40°)
＝eq \f(2sin60°－20°,\f(1,2)sin 40°)＝4.
4．(2023·西安模拟)已知2cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(π,6)))＝sin α，则sin αcs α等于( )
A．－eq \f(\r(3),4) B.eq \f(\r(3),4) C．－eq \f(2\r(3),7) D.eq \f(2\r(3),7)
答案 D
解析 2cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(π,6)))＝sin α，即2cs αcs eq \f(π,6)－2sin αsin eq \f(π,6)＝sin α，即eq \r(3)cs α－sin α＝sin α，则tan α＝eq \f(\r(3),2)，所以sin αcs α＝eq \f(sin αcs α,sin 2α＋cs2α)＝eq \f(tan α,tan2α＋1)＝eq \f(2\r(3),7).
5．(2023·扬州质检)已知sin α＝eq \f(\r(5),5)，且α为锐角，tan β＝－3，且β为钝角，则α＋β的值为( )
A.eq \f(π,4) B.eq \f(3π,4) C.eq \f(π,3) D.eq \f(2π,3)
答案 B
解析 sin α＝eq \f(\r(5),5)，且α为锐角，则cs α＝eq \r(1－sin2α)＝eq \r(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(5),5)))2)＝eq \f(2\r(5),5)，tan α＝eq \f(sin α,cs α)＝eq \f(1,2).
所以tan(α＋β)＝eq \f(tan α＋tan β,1－tan αtan β)＝eq \f(\f(1,2)－3,1－\f(1,2)×－3)＝－1.
又β为钝角，则α＋β∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)，\f(3π,2)))，故α＋β＝eq \f(3π,4).
6．(2023·威海模拟)已知α∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(π，\f(3π,2)))，若taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(π,3)))＝－2，则cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(π,12)))等于( )
A.eq \f(3\r(10),10) B.eq \f(\r(10),10) C．－eq \f(\r(10),10) D．－eq \f(3\r(10),10)
答案 C
解析 因为α∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(π，\f(3π,2)))，则α＋eq \f(π,3)∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(4π,3)，\f(11π,6)))，
又taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(π,3)))＝－2<0，故α＋eq \f(π,3)∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3π,2)，\f(11π,6)))，
则cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(π,3)))＝eq \f(\r(5),5)，sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(π,3)))＝－eq \f(2\r(5),5)，
故cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(π,12)))＝cseq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(π,3)))－\f(π,4)))＝cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(π,3)))cs eq \f(π,4)＋sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(π,3)))sin eq \f(π,4)＝eq \f(\r(2),2)×eq \f(\r(5),5)＋eq \f(\r(2),2)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(2\r(5),5)))＝－eq \f(\r(10),10).
7．(2022·上海模拟)已知α，β∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,2)，0))，且tan α＋tan β＋eq \r(3)tan αtan β＝eq \r(3)，则α＋β＝ .
答案 －eq \f(2π,3)
解析 由tan α＋tan β＋eq \r(3)tan αtan β＝eq \r(3)得
tan(α＋β)＝eq \f(tan α＋tan β,1－tan αtan β)＝eq \r(3)，
又α，β∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,2)，0))，则α＋β∈(－π，0)，
所以α＋β＝－eq \f(2π,3).
8．化简：sin(α＋β)cs(γ－β)－cs(β＋α)sin(β－γ)＝ .
答案 sin(α＋γ)
解析 sin(α＋β)cs(γ－β)－cs(β＋α)sin(β－γ)
＝sin(α＋β)cs(β－γ)－cs(α＋β)sin(β－γ)
＝sin[(α＋β)－(β－γ)]＝sin(α＋γ)．
9．(2023·合肥模拟)已知α，β∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))，且eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(3cs α＝2\r(2)cs β，,cs αcs β＝\f(3\r(2),5).))
(1)求α＋β的值；
(2)证明：0<α－β解 (1)因为α，β∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))，所以cs α>0，cs β>0，
由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(3cs α＝2\r(2)cs β，,cs αcs β＝\f(3\r(2),5)，))
解得cs α＝eq \f(2\r(5),5)，cs β＝eq \f(3\r(10),10)，
所以sin α＝eq \r(1－cs2α)＝eq \f(\r(5),5)，sin β＝eq \r(1－cs2β)＝eq \f(\r(10),10)，
cs(α＋β)＝cs αcs β－sin αsin β＝eq \f(2\r(5),5)×eq \f(3\r(10),10)－eq \f(\r(5),5)×eq \f(\r(10),10)＝eq \f(\r(2),2)，
因为α＋β∈(0，π)，所以α＋β＝eq \f(π,4).
(2)因为α＋β＝eq \f(π,4)，sin eq \f(π,4)＝eq \f(\r(2),2)>sin α＝eq \f(\r(5),5)>sin β＝eq \f(\r(10),10)，且函数y＝sin x在eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))上单调递增，
所以0<β<α所以sin (α－β)＝sin αcs β－cs αsin β＝eq \f(\r(5),5)×eq \f(3\r(10),10)－eq \f(2\r(5),5)×eq \f(\r(10),10)＝eq \f(\r(2),10).
10．在①tan(π＋α)＝3；②sin(π－α)－2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)－α))＝cs(－α)；③3sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)＋α))＝cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3π,2)＋α))中任选一个条件，补充在下面问题中，并解决问题．
已知0<β<α(1)求sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α－\f(π,4)))；
(2)求β.
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．
解 (1)若选①，tan(π＋α)＝tan α＝eq \f(sin α,cs α)＝3，
又因为sin2α＋cs2α＝1,0<α所以sin α＝eq \f(3\r(10),10)，cs α＝eq \f(\r(10),10)，
所以sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α－\f(π,4)))＝sin αcs eq \f(π,4)－cs αsin eq \f(π,4)＝eq \f(3\r(10),10)×eq \f(\r(2),2)－eq \f(\r(10),10)×eq \f(\r(2),2)＝eq \f(\r(5),5).
若选②，因为sin(π－α)－2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)－α))＝cs(－α)，化简得sin α＝3cs α，
又因为sin2α＋cs2α＝1,0<α所以sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α－\f(π,4)))＝sin αcs eq \f(π,4)－cs αsin eq \f(π,4)＝eq \f(3\r(10),10)×eq \f(\r(2),2)－eq \f(\r(10),10)×eq \f(\r(2),2)＝eq \f(\r(5),5).
若选③，因为3sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)＋α))＝cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3π,2)＋α))，化简得3cs α＝sin α，
又因为sin2α＋cs2α＝1,0<α所以sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α－\f(π,4)))＝sin αcs eq \f(π,4)－cs αsin eq \f(π,4)＝eq \f(3\r(10),10)×eq \f(\r(2),2)－eq \f(\r(10),10)×eq \f(\r(2),2)＝eq \f(\r(5),5).
(2)因为0<β<α所以sin(α＋β)＝eq \r(1－cs2α＋β)＝eq \f(2\r(5),5)，
所以sin β＝sin[(α＋β)－α]＝eq \f(2\r(5),5)×eq \f(\r(10),10)－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(\r(5),5)))×eq \f(3\r(10),10)＝eq \f(\r(2),2)，
又因为0<β11．若sin θ－eq \r(3)cs θ＝eq \f(2\r(2),3)，则cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(θ＋\f(π,6)))等于( )
A．－eq \f(\r(2),3) B.eq \f(\r(2),3) C.eq \f(2,3) D．－eq \f(2,3)
答案 A
解析 由题设可知，sin θ－eq \r(3)cs θ＝2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(θ－\f(π,3)))＝eq \f(2\r(2),3)，则sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(θ－\f(π,3)))＝eq \f(\r(2),3)，
所以cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(θ＋\f(π,6)))＝sineq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(π,2)－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(θ＋\f(π,6)))))＝－sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(θ－\f(π,3)))＝－eq \f(\r(2),3).
12．tan 70°·cs 10°·(1－eq \r(3)tan 20°)等于( )
A．1 B．2
C．－1 D．－2
答案 A
解析 tan 70°·cs 10°·(1－eq \r(3)tan 20°)
＝cs 10°·(tan 70°－eq \r(3)tan 70°·tan 20°)
＝cs 10°·eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(sin 70°,cs 70°)－\r(3)\f(sin 70°,cs 70°)·\f(sin 20°,cs 20°)))
＝cs 10°·eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(cs 20°－\r(3)sin 20°,sin 20°)))
＝cs 10°·eq \f(2sin30°－20°,2sin 10°cs 10°)＝1.
13．(2023·武汉质检)设sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α－\f(π,7)))＝2cs αsin eq \f(π,7)，则eq \f(sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α－\f(π,7))),cs\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α－\f(5π,14))))的值为( )
A.eq \f(1,4) B.eq \f(1,2) C．2 D．4
答案 B
解析 ∵sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α－\f(π,7)))＝2cs αsin eq \f(π,7)，
∴sin αcs eq \f(π,7)－cs αsin eq \f(π,7)＝2cs αsin eq \f(π,7)，即sin αcs eq \f(π,7)＝3cs αsin eq \f(π,7)，
∴tan α＝3tan eq \f(π,7)，
∵cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α－\f(5π,14)))＝cseq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(π,2)－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(π,7)))))＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(π,7)))
＝sin αcs eq \f(π,7)＋cs αsin eq \f(π,7)，
∴eq \f(sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α－\f(π,7))),cs\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α－\f(5π,14))))＝eq \f(sin αcs \f(π,7)－cs αsin \f(π,7),sin αcs\f(π,7)＋cs αsin \f(π,7))＝eq \f(tan α－tan \f(π,7),tan α＋tan \f(π,7))＝eq \f(3tan \f(π,7)－tan \f(π,7),3tan \f(π,7)＋tan \f(π,7))＝eq \f(1,2).
14．已知tan α＋tan β＝3，sin(α＋β)＝3sin(α－β)，则tan(α－β)＝ .
答案 eq \f(1,3)
解析 因为sin(α＋β)＝3sin(α－β)，
所以sin αcs β＋cs αsin β＝3(sin αcs β－cs αsin β)，
则sin αcs β＝2cs αsin β，
即tan α＝2tan β，又tan α＋tan β＝3，
联立解得tan α＝2，tan β＝1，
故tan(α－β)＝eq \f(tan α－tan β,1＋tan αtan β)＝eq \f(1,3).
15．(2023·雅安模拟)若eq \f(sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α－\f(4π,7))),sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α－\f(3π,7))))＝－3，则eq \f(tan α,tan \f(3π,7))＝ .
答案 2
解析 依题意，eq \f(sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α－\f(4π,7))),sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α－\f(3π,7))))
＝eq \f(sin αcs \f(4π,7)－cs αsin \f(4π,7),sin αcs \f(3π,7)－cs αsin \f(3π,7))
＝eq \f(sin α\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－cs \f(3π,7)))－cs αsin \f(3π,7),sin αcs \f(3π,7)－cs αsin \f(3π,7))
＝eq \f(－tan α－tan \f(3π,7),tan α－tan \f(3π,7))＝－3，
整理得tan α＝2tan eq \f(3π,7)，所以eq \f(tan α,tan \f(3π,7))＝2.
16．在△ABC中，sin(2A＋B)＝2sin B，则tan A＋tan C＋eq \f(2,tan B)的最小值为 ．
答案 2
解析 sin(A＋B＋A)＝2sin(A＋B－A)⇒
sin(A＋B)cs A＋cs(A＋B)sin A
＝2[sin(A＋B)cs A－cs(A＋B)sin A]
⇒sin(A＋B)cs A＝3cs(A＋B)sin A
⇒tan(A＋B)＝3tan A⇒tan C＝－3tan A，
∴tan B＝－tan(A＋C)＝－eq \f(tan A＋tan C,1－tan Atan C)＝eq \f(2tan A,1＋3tan2A)，
∴原式＝－2tan A＋eq \f(1＋3tan2A,tan A)＝tan A＋eq \f(1,tan A)，
若A为钝角，则A＋B为钝角，
∴tan(A＋B)>tan A>3tan A与条件矛盾，舍去，
故A为锐角，∴tan A>0，tan A＋eq \f(1,tan A)≥2，
当且仅当tan A＝1，A＝eq \f(π,4)时取等号．