备战2024年高考数学大一轮复习（人教A版-理）第四章 培优课 §4.7 三角函数中有关ω的范围问题

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在三角函数的图象与性质中，ω的求解是近几年高考的一个热点内容，但因其求法复杂，涉及的知识点多，历来是我们复习中的难点．
题型一 三角函数的单调性与ω的关系
例1 已知函数f(x)＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(ωx＋\f(π,6)))(ω>0)在区间eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(π,4)，\f(2π,3)))上单调递增，则ω的取值范围为( )
A.eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(8,3))) B.eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(1,2))) C.eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，\f(8,3))) D.eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(3,8)，2))
答案 B
解析 方法一 由题意得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(－\f(ωπ,4)＋\f(π,6)≥－\f(π,2)＋2kπ，k∈Z，,\f(2ωπ,3)＋\f(π,6)≤\f(π,2)＋2kπ，k∈Z，))
则eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(ω≤\f(8,3)－8k，k∈Z，,ω≤\f(1,2)＋3k，k∈Z，))又ω>0，所以eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(8,3)－8k>0，k∈Z，,\f(1,2)＋3k>0，k∈Z，))
所以k＝0，则00，若f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,6)))＝3，f(π)＝0，f(x)在eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,6)，\f(π,3)))上单调递减，那么ω的取值共有( )
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
答案 D
解析 ∵f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,6)))＝3，f(π)＝0，
∴π－eq \f(π,6)＝eq \f(2n－1,4)·T(n∈N*)，
T＝eq \f(10π,32n－1)，
∵f(x)在eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,6)，\f(π,3)))上单调递减，
∴eq \f(T,2)≥eq \f(π,3)－eq \f(π,6)＝eq \f(π,6)，∴T≥eq \f(π,3)，
即eq \f(10π,32n－1)≥eq \f(π,3)，∴2n－1≤10，
∴n＝1,2,3,4,5，
即周期T有5个不同取值，
∴ω的取值共有5个．
题型二 三角函数的对称性与ω的关系
例2 (2023·宜宾质检)将函数f(x)＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(ωx＋\f(π,6)))(ω>0)的图象向右平移eq \f(3π,2ω)个单位长度后得到函数g(x)的图象，若F(x)＝f(x)g(x)的图象关于点eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,3)，0))对称，则ω的最小值为( )
A.eq \f(1,3) B.eq \f(1,2) C．1 D．4
答案 C
解析 将函数f(x)的图象向右平移eq \f(3π,2ω)个单位长度，得到函数g(x)＝sineq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(ω\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(3π,2ω)))＋\f(π,6)))
＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(ωx＋\f(π,6)－\f(3π,2)))＝cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(ωx＋\f(π,6)))的图象，
又因为F(x)＝f(x)g(x)的图象关于点eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,3)，0))对称，
所以F(x)＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(ωx＋\f(π,6)))cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(ωx＋\f(π,6)))
＝eq \f(1,2)sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2ωx＋\f(π,3)))的图象关于点eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,3)，0))对称，
则2ω·eq \f(π,3)＋eq \f(π,3)＝kπ，k∈Z，所以ω＝eq \f(3k－1,2)，k∈Z，
又因为ω>0，所以ω的最小值为1.
思维升华 三角函数两条相邻对称轴或两个相邻对称中心之间的“水平间隔”为eq \f(T,2)，相邻的对称轴和对称中心之间的“水平间隔”为eq \f(T,4)，这就说明，我们可根据三角函数的对称性来研究其周期性，解决问题的关键在于运用整体代换的思想，建立关于ω的不等式组，进而可以研究“ω”的取值范围．
跟踪训练2 已知函数f(x)＝2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(ωx－\f(π,6)))eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(ω>\f(1,2)，x∈R))，若f(x)的图象的任何一条对称轴与x轴交点的横坐标均不属于区间(3π，4π)，则ω的取值范围是( )
A.eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，\f(2,3)))∪eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(8,9)，\f(7,6))) B.eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，\f(17,24)))∪eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(17,18)，\f(29,24)))
C.eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(5,9)，\f(2,3)))∪eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(8,9)，\f(11,12))) D.eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(11,18)，\f(17,24)))∪eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(17,18)，\f(23,24)))
答案 C
解析 因为f(x)的图象的任何一条对称轴与x轴交点的横坐标均不属于区间(3π，4π)，所以eq \f(1,2)×eq \f(2π,ω)≥4π－3π，所以eq \f(1,2)0)倍，纵坐标不变，得到函数g(x)＝cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(ωx－\f(5π,6)))(ω>0)的图象，周期T＝eq \f(2π,ω)，
因为函数g(x)在eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)，\f(3π,2)))上没有零点，所以eq \f(3π,2)－eq \f(π,2)≤eq \f(T,2)，得T≥2π，即eq \f(2π,ω)≥2π，得0