备战2024年高考数学大一轮复习（人教A版-理）第十三章 §13.1 坐标系

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考试要求 1.了解坐标系的作用，了解在平面直角坐标系伸缩变换作用下平面图形的变化情况.2.了解极坐标的基本概念，会在极坐标系中用极坐标刻画点的位置，能进行极坐标和直角坐标的互化.3.能在极坐标系中给出简单图形表示的极坐标方程．
知识梳理
1．伸缩变换
设点P(x，y)是平面直角坐标系中的任意一点，在变换φ：eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x′＝λ·x，λ>0，,y′＝μ·y，μ>0))的作用下，点P(x，y)对应到点P′(x′，y′)，称φ为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换，简称伸缩变换．
2．极坐标系
(1)极坐标与极坐标系的概念
在平面内取一个定点O，叫做极点，自极点O引一条射线Ox，叫做极轴，再选定一个长度单位、一个角度单位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆时针方向)，这样就建立了一个极坐标系．平面内任一点M的位置可以由线段OM的长度ρ和以射线Ox为始边，射线OM为终边的角θ来刻画(如图所示)．这两个数组成的有序数对(ρ，θ)称为点M的极坐标，记为M(ρ，θ)．ρ称为点M的极径，θ称为点M的极角．一般认为ρ≥0.当极角θ的取值范围是[0,2π)时，平面上的点(除去极点)就与极坐标(ρ，θ)(ρ≠0)建立一一对应的关系．特别地，极点O的坐标为(0，θ)(θ∈R)．
(2)极坐标与直角坐标的互化
设M为平面内任意一点，它的直角坐标为(x，y)，极坐标为(ρ，θ)．由图可知下面关系式成立：
eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝ρcs θ，,y＝ρsin θ))或eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(ρ2＝x2＋y2，,tan θ＝\f(y,x)x≠0，))这就是极坐标与直角坐标的互化公式．
3．常见曲线的极坐标方程
思考辨析
判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)若点P的直角坐标为(1，－eq \r(3))，则点P的一个极坐标是eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2，－\f(π,3))).( √ )
(2)在极坐标系中，曲线的极坐标方程不是唯一的．( √ )
(3)极坐标方程θ＝π(ρ≥0)表示的曲线是一条直线．( × )
(4)tan θ＝1与θ＝eq \f(π,4)表示同一条曲线．( × )
教材改编题
1．点M的极坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(6，\f(5π,6)))，则点M的直角坐标为( )
A.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－3，3\r(3))) B.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－3\r(3)，3))
C.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(3\r(3)，－3)) D.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(3，3\r(3)))
答案 B
解析 设点M的直角坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x，y))，
故x＝ρcs θ＝6×cs eq \f(5π,6)＝－3eq \r(3)，
y＝ρsin θ＝6×sin eq \f(5π,6)＝3.
故点M的直角坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－3\r(3)，3)).
2．在极坐标系中，点eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(3，\f(π,6)))到直线ρsineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(θ＋\f(π,3)))＝1的距离为( )
A．2 B．1 C．3 D.eq \r(3)－1
答案 A
解析 点eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(3，\f(π,6)))的直角坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3\r(3),2)，\f(3,2)))，
直线的极坐标方程可化为ρsin θ＋eq \r(3)ρcs θ－2＝0，转化为直角坐标方程为eq \r(3)x＋y－2＝0，
则点eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3\r(3),2)，\f(3,2)))到直线eq \r(3)x＋y－2＝0的距离d＝eq \f(\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(\f(9,2)＋\f(3,2)－2)),\r(3＋1))＝2.
3．将直角坐标方程(x－3)2＋y2＝9化为极坐标方程为____________．
答案 ρ＝6cs θ
解析 由(x－3)2＋y2＝9，
得x2－6x＋9＋y2＝9，
即x2＋y2－6x＝0，
则极坐标方程为ρ2－6ρcs θ＝0，
即ρ＝6cs θ.
题型一 极坐标与直角坐标的互化
例1 (1)已知点M的极坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(4，\f(π,3)))，则点M的直角坐标为( )
A.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2，2\r(3))) B.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－2，2\r(3)))
C.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2\r(3)，2)) D.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2\r(3)，－2))
答案 A
解析 由4cs eq \f(π,3)＝2,4sin eq \f(π,3)＝2eq \r(3)，可得点M的直角坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2，2\r(3))).
(2)点M的直角坐标是(－1，eq \r(3))，则点M的极坐标为( )
A.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2，\f(π,3))) B.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2，\f(2π,3)))
C.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2，\f(4π,3))) D.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2，\f(5π,3)))
答案 B
解析 设点M的极坐标为(ρ，θ)，θ∈[0,2π)，则ρ＝eq \r(－12＋\r(3)2)＝2，故sin θ＝eq \f(\r(3),2)，cs θ＝－eq \f(1,2)，故θ＝eq \f(2π,3)，故点M的极坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2，\f(2π,3))).
思维升华 (1)直角坐标方程化为极坐标方程时，将x＝ρcs θ及y＝ρsin θ直接代入并化简即可．
(2)极坐标方程化为直角坐标方程时，常先通过变形，构造形如ρcs θ，ρsin θ，ρ2的式子，再进行整体代换．其中方程的两边同乘(或同除以)ρ及方程两边同时平方是常用的变形方法．但对方程进行变形时，方程必须同解，因此应注意对变形过程的检验．
跟踪训练1 (1)若点P的直角坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\r(2)，\r(2)))，那么它的极坐标可表示为( )
A.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2，\f(7π,4))) B.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2，\f(3π,4)))
C.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2，\f(5π,4))) D.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2，\f(π,4)))
答案 D
解析 因为点P的直角坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\r(2)，\r(2)))，位于第一象限，且eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝ρcs θ，,y＝ρsin θ，))
所以ρ＝eq \r(x2＋y2)＝2，
又tan θ＝eq \f(y,x)＝1，
所以θ＝eq \f(π,4)，
所以它的极坐标可表示为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2，\f(π,4))).
(2)在极坐标系中，已知两点Aeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2，\f(π,6)))，Beq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(3，\f(π,6)))，则线段AB的长为( )
A.eq \r(3) B.eq \r(2) C．1 D．2
答案 C
解析 设极点为O，在极坐标系中，已知两点Aeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2，\f(π,6)))，Beq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(3，\f(π,6)))，则|AB|＝||OA|－|OB||＝1.
题型二 求曲线的极坐标方程
例2 已知圆心C的极坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2，\f(π,4)))，且圆C经过极点．
(1)求圆C的极坐标方程；
(2)求过圆心C和圆与极轴交点(不是极点)的直线的极坐标方程．
解 (1)圆心C的直角坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\r(2)，\r(2)))，
设圆C的直角坐标方程为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\r(2)))2＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(y－\r(2)))2＝r2，
依题意可知r2＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0－\r(2)))2＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0－\r(2)))2＝4，
故圆C的直角坐标方程为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\r(2)))2＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(y－\r(2)))2＝4，
化为极坐标方程为ρ2－2eq \r(2)ρeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(sin θ＋cs θ))＝0，
即ρ＝2eq \r(2)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(sin θ＋cs θ)).
(2)在x2＋y2－2eq \r(2)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋y))＝0中，
令y＝0，得x2－2eq \r(2)x＝0，
解得x＝0或x＝2eq \r(2)，
则圆C与x轴的交点坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，0))，eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2\r(2)，0))，
由于直线过圆心Ceq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\r(2)，\r(2)))和点eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2\r(2)，0))，
则该直线的直角坐标方程为
y－0＝eq \f(\r(2)－0,\r(2)－2\r(2))eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－2\r(2)))，
即x＋y－2eq \r(2)＝0，即该直线的极坐标方程为ρcs θ＋ρsin θ－2eq \r(2)＝0.
思维升华 求曲线的极坐标方程的步骤
(1)将已知条件转化到直角坐标系中．
(2)根据已知条件，得到曲线的直角坐标方程．
(3)将曲线的直角坐标方程转化为极坐标方程．
跟踪训练2 已知圆C的直角坐标方程为x2＋y2－2x－2y－7＝0，直线l过坐标原点O，以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．
(1)求圆C的极坐标方程feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(ρ，θ))＝0；
(2)设直线l与圆C交于A，B两点，当eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(AB))＝2eq \r(7)时，求直线l的极坐标方程．
解 (1)将圆C的直角坐标方程x2＋y2－2x－2y－7＝0，转化为极坐标方程为ρ2－2ρcs θ－2ρsin θ－7＝0，所以圆C的极坐标方程为ρ2－2ρcs θ－2ρsin θ－7＝0.
(2)因为直线l过坐标原点O，所以直线l的极坐标方程为θ＝αeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(ρ∈R))，其中α为直线l的倾斜角，由于直线l与圆C相交，
故eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(ρ2－2ρcs θ－2ρsin θ－7＝0，,θ＝α，))
消去θ整理得ρ2－2(cs α＋sin α)ρ－7＝0，
设A，B两点对应的极径为ρ1，ρ2，
则ρ1＋ρ2＝2(cs α＋sin α)，ρ1ρ2＝－7，
因为eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(AB))＝2eq \r(7)，
所以eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(ρ1－ρ2))＝eq \r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(ρ1＋ρ2))2－4ρ1ρ2)
＝eq \r(4sin 2α＋32)＝2eq \r(7)，
整理得sin 2α＝－1，
又0≤α