备战2024年高考数学大一轮复习（人教A版-理）第十二章 §12.2 古典概型与几何概型

这是一份备战2024年高考数学大一轮复习（人教A版-理）第十二章 §12.2 古典概型与几何概型，共15页。试卷主要包含了理解古典概型及其概率计算公式，几何概型，429>2，5，，635等内容，欢迎下载使用。
§12.2　古典概型与几何概型
考试要求　1.理解古典概型及其概率计算公式.2.会计算一些随机事件所含的基本事件的个数及事件发生的概率.3.了解随机数的意义，能运用模拟方法估计概率.4.了解几何概型的意义．

知识梳理
1．古典概型
(1)古典概型的特征：
①有限性：试验中所有可能出现的基本事件只有有限个；
②等可能性：每个基本事件出现的可能性相等．
(2)古典概型的概率计算的基本步骤：
①判断本次试验的结果是否是等可能的，设出所求的事件为A；
②分别计算基本事件的总数n和所求的事件A所包含的基本事件的个数m；
③利用古典概型的概率公式P(A)＝，求出事件A的概率．
(3)频率的计算公式与古典概型的概率计算公式的异同
名称
不同点
相同点
频率计算公式
频率计算中的m，n均随随机试验的变化而变化，但随着试验次数的增多，它们的比值逐渐趋近于概率值
都计算了一个比值
古典概型的概率计算公式
是一个定值，对同一个随机事件而言，m，n都不会变化

2.几何概型
(1)概念：如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度(面积或体积)成比例，则称这样的概率模型为几何概率模型，简称为几何概型．
(2)几何概型的基本特点：
①试验中所有可能出现的结果(基本事件)有无限多个；
②每个基本事件出现的可能性相等．
(3)计算公式：P(A)＝.
思考辨析
判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)从－3，－2，－1,0,1,2中任取一个数，取到的数小于0与不小于0的可能性相同．(　√　)
(2)在一个正方形区域内任取一点的概率为0.(　√　)
(3)“在适宜条件下，种下一粒种子观察它是否发芽”属于古典概型，其基本事件是“发芽与不发芽”．(　×　)
(4)两个互斥事件的概率和为1.(　×　)
教材改编题
1．袋中装有大小、形状完全相同的6个白球，4个红球，从中任取一球，则取到白球的概率为(　　)
A. B.
C. D.
答案　B
2．在数轴的[0,3]上任投一点，则此点表示的数小于1的概率为(　　)
A. B. C. D．1
答案　B
解析　区间[0,3]的长度为3，而对应的数小于1的区间为[0,1)，长度为1，故所求概率为.
3．现有7名成绩优秀者，分别用A1，A2，A3，B1，B2，C1，C2表示，其中A1，A2，A3的数学成绩优秀，B1，B2的物理成绩优秀，C1，C2的化学成绩优秀．从数学、物理、化学成绩优秀的人中各选1人，组成一个小组代表学校参加竞赛，则A1和B1中有且仅有1人被选中的概率为________．
答案　
解析　基本事件共有3×2×2＝12(个)，其中符合条件的基本事件有2＋2×2＝6(个)，故A1和B1中有且仅有1人被选中的概率为.


题型一　古典概型
例1 (1)(2023·银川模拟)在2,3,5,7这四个数中任取三个数，将其组成无重复数字的三位数，则这个数是奇数的概率为(　　)
A. B. C. D.
答案　C
解析　由题意，这个数可能为235,237,253,257,273,275,325,327,352,357,372,375,523,527,532,537,572,573,723,725,732,735,752,753，共24种情况，
其中奇数共有18个，故所求概率P＝＝.
(2)在一次比赛中某队共有甲、乙、丙等5位选手参加，赛前用抽签的方法决定出场顺序，则乙、丙都不与甲相邻出场的概率是(　　)
A. B. C. D.
答案　D
解析　由题意得，基本事件总数n＝A＝120，“乙、丙都不与甲相邻出场”包含的基本事件个数m＝AA＋AAA＝36，所以“乙、丙都不与甲相邻出场”的概率P＝＝＝.
思维升华 利用公式法求解古典概型问题的步骤

跟踪训练1 (1)(2022·全国甲卷)从分别写有1,2,3,4,5,6的6张卡片中无放回地随机抽取2张，则抽到的2张卡片上的数字之积是4的倍数的概率为(　　)
A. B. C. D.
答案　C
解析　从写有1,2,3,4,5,6的6张卡片中无放回地随机抽取2张，共有15种取法，它们分别是(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(1,6)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(2,6)，(3,4)，(3,5)，(3,6)，(4,5)，(4,6)，(5,6)，其中卡片上的数字之积是4的倍数的是(1,4)，(2,4)，(2,6)，(3,4)，(4,5)，(4,6)，共6种取法，所以所求概率是P＝＝.
(2)(2022·成都质检)2022年冬奥会在北京、延庆、张家口三个区域布置赛场，北京承办所有冰上项目，延庆和张家口承办所有雪上项目．组委会招聘了包括甲在内的4名志愿者，分配到上述3个赛场参与赛后维护服务工作，要求每个赛场至少分到一名志愿者，则志愿者甲正好分到北京赛场的概率为 ________.
答案　
解析　依题意3个赛场分配的志愿者人数只有1,1,2这种情况，则共有n＝CA＝36(种)安排方法，
志愿者甲被分配到北京赛场有m＝A＋CA＝12(种)安排方法，
所以志愿者甲正好分到北京赛场的概率P＝＝.

题型二　古典概型与统计的综合问题
例2 北京冬奥会顺利闭幕后，某学校团委组织了一次“奥运会”知识讲座活动，活动结束后随机抽取120名学生对讲座情况进行调查，其中男生与女生的人数之比为1∶1，抽取的学生中男生有40名对讲座活动满意，女生中有30名对讲座活动不满意．
(1)完成下面2×2列联表，并判断能否有90%的把握认为讲座活动是否满意与性别有关？

满意
不满意
总计
男生



女生



总计


120

(2)从被调查的对讲座活动满意的学生中，利用分层抽样的方法抽取7名学生，再在这7名学生中抽取3名学生谈谈自己听讲座的心得体会，求其中恰好抽中2名男生与1名女生的概率．
参考数据：K2＝，其中n＝a＋b＋c＋d.
P(K2≥k0)
0.10
0.05
0.01
0.005
0.001
k0
2.706
3.841
6.635
7.879
10.828

解　(1)2×2列联表如表所示.

满意
不满意
总计
男生
40
20
60
女生
30
30
60
总计
70
50
120
根据列联表中数据，
经计算得K2＝≈3.429>2.706，
所以有90%的把握认为讲座活动是否满意与性别有关．
(2)由(1)知，在样本中对讲座活动满意的学生有70名，从中抽取7名，其中
“男生满意”的有40×＝4(名)，
“女生满意”的有30×＝3(名)，
记“恰好抽中2名男生与1名女生”为事件A，
则P(A)＝＝，
所以恰好抽中2名男生与1名女生的概率为.
思维升华 求解古典概型的综合问题的步骤
(1)将题目条件中的相关知识转化为事件；
(2)判断事件是否为古典概型；
(3)选用合适的方法确定基本事件个数；
(4)代入古典概型的概率公式求解．
跟踪训练2 从参加环保知识竞赛的学生中抽出40名，将其成绩(均为整数)整理后画出频率分布直方图如图所示，观察图形，回答下列问题．

(1)成绩在[80,90)这一组的频数、频率分别是多少？
(2)估计这次环保知识竞赛成绩的平均数、众数、中位数；(不要求写过程)
(3)从成绩是80分以上(包括80分)的学生中选2人，求他们在同一分数段的概率．
解　(1)根据题意，成绩在[50,60)这一组的频率为0.015×10＝0.15，在[60,70)这一组的频率为0.025×10＝0.25，在[70,80)这一组的频率为0.035×10＝0.35，在[90,100]这一组的频率为0.005×10＝0.05，则成绩在[80,90)这一组的频率为×[1－(0.15＋0.25＋0.35＋0.05)]＝0.1，其频数为40×0.1＝4.
(2)这次竞赛成绩的平均数约为45×0.1＋55×0.15＋65×0.25＋75×0.35＋85×0.1＋95×0.05＝68.5；
成绩在[70,80)这一组的频率最大，人数最多，则众数约为75；
70分左右两侧的频率均为0.5，则中位数约为70.
(3)记“选出的2人在同一分数段”为事件E，成绩在[80,90)内的有40×0.1＝4(人)，设为a，b，c，d；成绩在[90,100]内的有40×0.05＝2(人)，设为A，B.从这6人中选出2人，有(a，b)，(a，c)，(a，d)，(a，A)，(a，B)，(b，c)，(b，d)，(b，A)，(b，B)，(c，d)，(c，A)，(c，B)，(d，A)，(d，B)，(A，B)，共15种选法，其中事件E包括(a，b)，(a，c)，(a，d)，(b，c)，(b，d)，(c，d)，(A，B)，共7种选法，则P(E)＝.

题型三　几何概型
例3 (1)勒洛三角形是一种特殊三角形，指分别以正三角形的三个顶点为圆心，以其边长为半径作圆弧，由这三段圆弧组成的曲边三角形．如图，在勒洛三角形ABC内随机选取一点，则该点位于正三角形ABC内的概率为(　　)

A. B.
C. D.
答案　A
解析　由题意可得，设△ABC的边长为2，则△ABC的面积S△ABC＝×22＝，曲边三角形的面积S曲＝S扇形CAB＋2S拱＝××22＋2＝π×3－2××22＝2π－2，
所以所求概率为＝＝.
(2)在区间[－1,1]上随机取一个数k，使直线y＝k(x＋3)与圆x2＋y2＝1相交的概率为(　　)
A. B. C. D.
答案　C
解析　因为圆心(0,0)，半径r＝1，直线与圆相交，
所以圆心到直线的距离d＝