(通用版)高考数学二轮复习选填题专项测试第1篇双曲线01（含解析）

高考数学选填题专项练习01（双曲线）

第I卷（选择题)

一、单选题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．（·安徽高三月考（文））设双曲线的焦点为，点为上一点，，则为（    ）

A．13       B．14 C．15 D．17

【答案】B

【解析】

【分析】化简双曲线方程,求出,由双曲线的定义知,把代入求解即可.

【详解】由题意可得，双曲线的方程为，所以,由双曲线的定义可得，

因为,所以可得,解得.故选: B

【点睛】本题主要考查双曲线的定义和标准方程;属于基础题.

2．（·河南高三期末（文））记双曲线：（，）与双曲线：无交点，则双曲线的离心率的取值范围是(    )

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】

【分析】先求双曲线渐近线方程，再结合图象确定双曲线确定渐近线渐近线斜率范围，解得结果.

【详解】双曲线：的渐近线方程为，由题意可知，则.故选：D

【点睛】本题考查双曲线渐近线与离心率，考查基本分析求解能力，属基础题.

3.（·甘肃高三期末（文））已知分别是双曲线的左、右焦点，直线l过，且l与一条渐近线平行，若到l的距离大于a，则双曲线C的离心率的取值范围为（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】

【分析】设直线l：，由到l的距离大于a，得出的范围，再由计算即可.

【详解】设过与渐近线平行的直线l为，由题知到直线l的距离，

即，可得，所以离心率.故选：C.

【点睛】本题考查计算双曲线离心率的范围，熟知公式可使计算变得简便，属于常考题.

4．（·云南昆明一中高三期末（理））已知是双曲线的两个焦点，点为该双曲线上一点，若，且，则（    ）

A．1 B． C． D．3

【答案】A

【解析】

【分析】将双曲线的方程化为标准方程并表示出.并结合双曲线的定义、双曲线的几何性质、和,即可求得的值.

【详解】双曲线，化为标准方程可得，即

由双曲线定义可知,所以,又因为,所以,由以上两式可得,

由得,所以,解得,故选:A.

【点睛】本题考查了双曲线的标准方程及几何性质的应用,根据等量关系求参数值,属于基础题.

5．（·江西高三期末（文））已知双曲线的一条渐近线经过圆的圆心，则的离心率为（      ）

A． B．

C． D．

【答案】A

【解析】

【分析】由题可知，先求出双曲线的标准形式，进而得出渐近线方程，带入圆心，求出，带入离心率公式即可得结果.

【详解】因为双曲线，所以，即焦点在轴上的双曲线，，则渐近线方程，圆，得，圆心为，半径为1，由于渐近线经过圆的圆心，圆心在第一象限，带入得，又因为：，得，离心率.故选:A.

【点睛】本题考查双曲线的标准方程，以及渐近线方程，离心率等，运用双曲线的相关性质特点，同时还考查圆的一般方程化为标准方程，圆的圆心和半径.

6.（·内蒙古高三（理））已知双曲线的右顶点为，以为圆心，为半径作圆，圆与双曲线的一条渐近线交于，两点，若，则的离心率为(    )

A． B． C．2 D．

【答案】C

【解析】双曲线的右顶点为A(a,0)，以A为圆心，b为半径做圆A，圆A与双曲线C的一条渐近线交于M、N两点．若,可得A到渐近线bx+ay=0的距离为：，可得：,即.

7．（·河北衡水中学高三月考（理））已知双曲线的一条渐近线与轴所形成的锐角为，则双曲线的离心率为（    ）

A． B． C．2 D．或2

【答案】C

【解析】

【分析】转化条件得，再利用即可得解.

【详解】由题意可知双曲线的渐近线为，又 渐近线与轴所形成的锐角为，，双曲线离心率.故选：C.

【点睛】本题考查了双曲线的性质，属于基础题.

8.（·河南南阳中学高三月考（文））过双曲线的左焦点作倾斜角为的直线，若与轴的交点坐标为，则该双曲线的离心率为（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】

【分析】求出双曲线的左焦点，设出直线l的方程为，可得与轴的交点坐标，得到结合计算即可．

【详解】由题意设直线的方程为，令，得，因为，所以，所以.故选：A

【点睛】本题考查双曲线的离心率的问题，考查了基本量的关系，属于基础题．

9.（·天津高三期末）双曲线的左右焦点分别为、，渐近线为，点在第一象限内且在上，若则双曲线的离心率为（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】

分析：分别求得双曲线的两条渐近线的方程，设出点P的坐标，根据直线的斜率公式，求得直线的斜率及直线的斜率，根据直线平行及垂直的关系，即可求得的关系，根据双曲线的离心率公式，即可求得双曲线的离心率.

详解：设双曲线渐近线的方程为， 的方程为，则设点坐标为，

则直线的斜率，直线的斜率，由，则，即（1）由，则，解得（2），

联立（1）（2），整理得：，由双曲线的离心率，所以双曲线的离心率为2.

点睛：该题考查的是有关双曲线的离心率的求解问题，在解题的过程中，需要先设出点P的坐标，利用两点斜率坐标公式，将对应的直线的斜率写出，再利用两直线平行垂直的条件，得到的关系，之后借助于双曲线中的关系以及离心率的公式求得结果.

10（·河北高三期末（理））知双曲线C：（，），点，为原点，以为直径的圆与圆：相交于点J，K.若，则双曲线C的渐近线方程为（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】

【分析】求出圆的方程，根据两圆求解出直线的方程，设直线与轴的交点为，从而在中得出方程，解出的值，从而解出渐近线的方程.

【详解】圆：，即，圆：，即，

故直线：，设直线与轴的交点为，则，因为，所以，

在中，可得，即，即，所以，

所以，所以，解得，所以双曲线C的渐近线方程为.

【点睛】本题考查双曲线渐近线的问题，其本质是求解与的关系，此类问题的解题关键是根据已知条件得出与的等式或者不等式，从而求解，考查逻辑思维能力和运算能力，属于高考常考题型.

11．（·安徽高三（理））已知双曲线的右焦点为，点，为双曲线左支上的动点，且周长的最小值为16，则双曲线的离心率为（    ）

A．2 B． C． D．

【答案】B

【解析】

【分析】根据双曲线的定义，利用两点间线段最短，结合已知直接求解即可.

【详解】设双曲线的左焦点坐标为，因此有由双曲线的定义可知：

，所以周长为，当在线段上时，有最小值，最小值为5，因此有，所以离心率为：

.故选：B

【点睛】本题考查了双曲线离心率的求法，考查了双曲线的定义，考查了数学运算能力.

12、（·湖南高三月考（文））已知双曲线C：（，）的右焦点为，点A、B分别在直线和双曲线C的右支上，若四边形（其中O为坐标原点）为菱形且其面积为，则(    )

A． B． C．2 D．

【答案】A

【解析】

【分析】设点，，因为，则，根据点在双曲线上可得一个关于方程，根据面积又可得一个关于的方程，在加上，列方程求解即可.

【详解】如图：设点，，因为，则，又，则，化简得，，① ，又②，③，∴由①②③得.故选：A.

【点睛】本题考查双曲线的性质的应用，考查学生计算能力，根据条件列方程是本题的关键，是中档题.

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。把答案填在题中的横线上。

13.（·江苏高三期末）双曲线的左右顶点为，以为直径作圆，为双曲线右支上不同于顶点的任一点，连接交圆于点，设直线的斜率分别为，若，则_____.

【答案】

【解析】

【分析】根据双曲线上的点的坐标关系得，交圆于点，所以，建立等式，两式作商即可得解.

【详解】设，，

，交圆于点，所以

易知:，即.故答案为：

【点睛】此题考查根据双曲线上的点的坐标关系求解斜率关系，涉及双曲线中的部分定值结论，若能熟记常见二级结论，此题可以简化计算.

14.（·辽宁高三期末（理））设为双曲线：的右焦点，为坐标原点，以为直径的圆与圆交于，两点，若，则的渐近线方程为_______.

【答案】

【解析】

【分析】根据双曲线的几何性质,圆的几何性质,得出其中的线段的关系,可得,可得出双曲线的渐近线的方程.

【详解】由题意得下图：由双曲线的性质得，又以为直径的圆与圆交于，两点，且，所以为以为直径的圆的直径，，，所以，则，,所以,

所以的渐近线方程为.故答案为: .

【点睛】本题主要考查双曲线与圆的几何性质,关键在于由其几何性质,得出线段的关系,并且与双曲线的建立联系,属于中档题.

15.（·山西高三月考（文））已知点是双曲线右支上一动点，是双曲线的左、右焦点，动点满足下列条件：①，②，则点的轨迹方程为________________.

【答案】

【解析】

【分析】设动点的坐标为，延长交于点，根据向量的加法法则及数量积为0，可得，利用双曲线的定义可得，即可得答案.

【详解】设动点的坐标为，延长交于点，由条件②知点在的角平分线上，结合条件①知，所以在中，.又平分，所以为等腰三角形，即，.因为点为双曲线上的点，所以，即，所以.又在中，为的中点，为的中点，所以，所以点的轨迹是以为圆心，半径为1的圆，所以点的轨迹方程为.故答案为：.

【点睛】本题考查单位向量、向量的数量积、向量的加法法则的几何意义、双曲线的定义、轨迹方程的求解，考查函数与方程思想、转化与化归思想、数形结合思想，考查逻辑推理能力和运算求解能力，求解时注意平面几何知识的应用.

16．（·山东枣庄八中高三月考）已知一族双曲线（，且），设直线与在第一象限内的交点为，点在的两条渐近线上的射影分别为，.记的面积为，则__________.

【答案】

【解析】

【分析】设点坐标，表示出的面积，得到的通项，然后对其求前2019项的和.

【详解】设，双曲线的渐近线为，互相垂直.

点在两条渐近线上的射影为，则，易知为直角三角形，，即为等差数列，其前2019项的和为

【点睛】本题利用三角形的面积将双曲线相关内容与数列相结合，综合性较强的题目，属于难题.