(通用版)高考数学二轮复习选填题专项测试第4篇数学文化02（含解析）

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绝密★启用前|学科网考试研究中心命制高考数学选填题专项练习02（数学文化） 第I卷（选择题)一、单选题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．（·广东高三月考）意大利数学家斐波那契的《算经》中记载了一个有趣的问题：已知一对兔子每个月可以生一对兔子，而一对兔子出生后在第二个月就开始生小兔子.假如没有发生死亡现象，那么兔子对数依次为：，，，，，，，，，，，……，这就是著名的斐波那契数列，它的递推公式是，其中，.若从该数列的前项中随机地抽取一个数，则这个数是偶数的概率为（    ）A． B． C． D．【答案】B【解析】【分析】计算共有个偶数，计算概率得到答案.【详解】数列第1个，第2个为奇数，故第3个为偶数，第4个，第5个为奇数，第6个为偶数.根据规律：共有偶数个，故.故选：.【点睛】本题考查了概率的计算，意在考查学生的计算能力.2．（·新疆高三）天文学中为了衡量星星的明暗程度，古希腊天文学家喜帕恰斯(，又名依巴谷)在公元前二世纪首先提出了星等这个概念.星等的数值越小，星星就越亮；星等的数值越大，它的光就越暗.到了1850年，由于光度计在天体光度测量中的应用，英国天文学家普森()又提出了衡量天体明暗程度的亮度的概念.天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述.两颗星的星等与亮度满足.其中星等为的星的亮度为.已知“心宿二”的星等是1.00.“天津四” 的星等是1.25.“心宿二”的亮度是“天津四”的倍，则与最接近的是(当较小时， )A．1.24 B．1.25 C．1.26 D．1.27【答案】C【解析】【分析】根据题意，代值计算，即可得，再结合参考公式，即可估算出结果.【详解】根据题意可得：，可得，解得，根据参考公式可得，故与最接近的是.故选：C.【点睛】本题考查对数运算，以及数据的估算，属基础题.3．（·山西高三期末）秦九韶是我国南宋时期的数学家，他在《数书九章》中提出的多项式求值的秦九韶算法，至今仍是比较先进的算法.如图所示的程序框图，给出了利用秦九韶算法求某多项式值的一个实例.若输入的值为2，则输出的值为（    ）A． B． C． D．【答案】A【解析】【分析】采用依次计算，第一次：，第二次：，…依次类推，直到，简单计算，可得结果.【详解】当输入的值为2时，第一次：，第二次：，第三次：，第四次：，第五次：第六次：，则当时，，输出结果.所以，即，故选：A【点睛】本题考查程序框图，对这种问题按部就班，依次计算，掌握该算法的功能，细心计算，属基础题.4．（·山西高三月考）在进行的求和运算时，德国大数学家高斯提出了倒序相加法的原理，该原理基于所给数据前后对应项的和呈现一定的规律生成，因此，此方法也称之为高斯算法.已知数列，则（    ）A． B．C． D．【答案】B【解析】【分析】记，可得且，两式相加可得的值，可得答案.【详解】依题意，记，则，又，两式相加可得，则，【点睛】本题主要考查数列的性质及合理推理的应用，属于基础题型.5．（·河北高三月考）宋代诗词大师欧阳修的《卖油翁》中有一段关于卖油翁的精湛技艺的细节描写：“（翁）乃取一葫芦置于地，以钱覆其口，徐以杓酌油沥之，自钱孔入，而钱不湿．”如果铜钱是直径为的圆，钱中间的正方形孔的边长为，则卖油翁向葫芦内注油，油正好进入孔中的概率是（    ）A． B． C． D．【答案】D【解析】【分析】根据几何概型面积型计算公式直接求解即可.【详解】由题，，所以．故选：D【点睛】本题考查了几何概型面积型计算公式，属于基础题.6．（·湖北恩施土家族苗族高中高三月考（理））《孙子算经》是中国古代重要的数学著作，书中有一道题为：今有出门望见九堤，堤有九木，木有九枝，枝有九巢，巢有九禽，禽有九雏，雏有九毛，毛有九色，问各几何？若记堤与枝的个数分别为，现有一个等差数列，其前项和为，且，，则（      ）A．84 B．159 C．234 D．243【答案】B【解析】【分析】由题意得出，根据等差数列的通项公式以及求和公式得出，求解即可得出的值.【详解】由题意得，，则，即所以，故选：B【点睛】本题主要考查了等差数列的基本量的计算，属于中档题.7．（·广东高三期末）“干支纪年法”是中国历法上自古以来使用的纪年方法，甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸被称为“十天干”，子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、戌、亥叫做“十二地支”。“天干”以“甲”字开始，“地支”以“子”字开始，两者按干支顺序相配，组成了干支纪年法，其相配顺序为：甲子、乙丑、丙寅…癸酉，甲戌、乙亥、丙子…癸未，甲申、乙酉、丙戌…癸巳，…，共得到60个组合，称六十甲子，周而复始，无穷无尽。2019年是“干支纪年法”中的己亥年，那么2026年是“干支纪年法”中的A．甲辰年 B．乙巳年 C．丙午年 D．丁未年【答案】C【解析】【分析】按照题中规则依次从年列举到年，可得出答案。【详解】根据规则，年是己亥年，年是庚子年，年是辛丑年，年是壬寅年，年是癸卯年，年是甲辰年，年是乙巳年，年是丙午年，故选：C。【点睛】本题考查合情推理的应用，理解题中“干支纪年法”的定义，并找出相应的规律，是解本题的关键，考查逻辑推理能力，属于中等题。8.（·黑龙江高三）大约在20世纪30年代，世界上许多国家都流传着这样一个题目：任取一个正整数，如果它是偶数，则除以2；如果它是奇数，则将它乘以3加1，这样反复运算，最后结果必然是1.这个题目在东方被称为“角谷猜想”，世界一流的大数学家都被其卷入其中，用尽了各种方法，甚至动用了最先进的电子计算机，验算到对700亿以内的自然数上述结论均为正确的，但却给不出一般性的证明.例如取，则要想算出结果1，共需要经过的运算步数是（    ）A．9 B．10 C．11 D．12【答案】A【解析】【分析】由题意：任取一个正整数，如果它是偶数，则除以2；如果它是奇数，则将它乘以3加1,依次递推，得到1，即得解.【详解】由题意：任取一个正整数，如果它是偶数，则除以2；如果它是奇数，则将它乘以3加1.第一步：为奇数，则；第二步：为偶数，则；第三步：为偶数，则；第四步：为偶数，则；第五步：为奇数，则；第六步：为偶数，则；第七步：为偶数，则；第八步：为偶数，则；第九步：为偶数，则.【点睛】本题考查了数学文化以及数列的递推关系，考查了学生数学应用，理解辨析，数学运算的能力，属于基础题.9.（·江西南昌十中高三）我国古代典籍《周易》用“卦”描述万物的变化，每一卦由六爻组成.其中有一种起卦方法称为“金钱起卦法”，其做法为：取三枚相同的钱币合于双手中，上下摇动数下使钱币翻滚摩擦，再随意抛撒钱币到桌面或平盘等硬物上，如此重复六次，得到六爻.若三枚钱币全部正面向上或全部反面向上，就称为变爻.若每一枚钱币正面向上的概率为，则一卦中恰有两个变爻的概率为（    ）A． B． C． D．【答案】D【解析】【分析】根据古典概型求得三枚钱币全部正面或反面向上的概率，求一卦中恰有两个变爻的概率实际为求六次独立重复试验中发生两次的概率，根据独立重复试验的概率求得其值.【详解】由已知可得三枚钱币全部正面或反面向上的概率，求一卦中恰有两个变爻的概率实际为求六次独立重复试验中发生两次的概率，故选：D.【点睛】本题考查古典概型的求解，独立重复试验发生次的概率，属于基础题.10.（·宜宾市叙州区第二中学校高三月考（文））右边程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”．执行该程序框图，若输入分别为14,18，则输出的（ ）A．0 B．2 C．4 D．14【答案】B【解析】由a=14，b=18，a＜b，则b变为18﹣14=4，由a＞b，则a变为14﹣4=10，由a＞b，则a变为10﹣4=6，由a＞b，则a变为6﹣4=2，由a＜b，则b变为4﹣2=2，由a=b=2，则输出的a=2．故选B．11．（·安庆市第二中学高三期末）《九章算术》中记载，堑堵是底面为直角三角形的直三棱柱，阳马指底面为矩形，一侧棱垂直于底面的四棱锥.在堑堵 中，，当阳马 体积为时，堑堵的外接球的体积的最小值（    ）A． B． C． D．【答案】B【解析】【分析】设AC＝x，BC＝y，由阳马B﹣A1ACC1体积，得到，结合基本不等式求得外接球半径由此能求出外接球体积．【详解】设AC＝x，BC＝y，由题意得x＞0，y＞0，又 体积为， 堑堵的外接球即以 为棱的长方体的外接球,故 ，当且仅当x＝y时，取等号，∴外接球的体积为 故选B．【点睛】本题考查锥体体积的求法，考查外接球问题，结合基本不等式求解是关键，注意空间思维能力的培养．12.（·江西南昌十中高三）榫卯是我国古代工匠极为精巧的发明，它是在两个构件上采用凹凸部位相结合的一种连接方式。广泛用于建筑，同时也广泛用于家具。我国的北京紫禁城，山西悬空寺，福建宁德的廊桥等建筑都用到了榫卯结构，榫卯结构中凸出部分叫榫（或叫榫头），已知某“榫头”的三视图如图所示，则该“榫头”的体积是（    ）A．36 B．45 C．54 D．63【答案】C【解析】【分析】由三视图还原几何体,进而求得体积即可【详解】作出该几何体的直观如图,两个直四棱柱的组合体,故选：C【点睛】本题考查根据三视图求几何体的体积,考查空间想象能力 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。把答案填在题中的横线上。13.·安庆市第二中学高三期末）《周髀算经》中有这样一个问题，从冬至之日起，小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种这十二个节气的日影子长依次成等差数列，若冬至、立春、春分的日影子长的和是37.5尺，芒种的日影子长为4.5尺，则冬至的日影子长为_____．【答案】15.5尺．【解析】【分析】利用等差数列的通项公式列出方程组，能求出冬至的日影子长．【详解】从冬至之日起，小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种这十二个节气的日影子长依次成等差数列，冬至、立春、春分的日影子长的和是37.5尺，芒种的日影子长为4.5尺，，解得，．冬至的日影子长为15.5尺．故答案为：15.5尺．【点睛】本题考查等差数列的首项的求法、等差数列的性质，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力、运算求解能力，属于基础题.．14.（·福建高三期末）“干支纪年法”是中国历法上自古以来就一直使用的纪年方法.其中干支是天干：甲、乙、丙、丁、戊、已、庚、辛、壬、癸十个符号；地支：子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、戌、亥十二个符号.把干支顺序相配正好六十为一周，周而复始，循环记录，即甲子、乙丑、丙寅、…….年是“庚子年”，则我国建国一百周年（2049年）是_______年.【答案】已巳【解析】【分析】由题意得出天干是以为周期，地支以为周期，根据周期性即可得出答案.【详解】天干是以为周期，地支以为周期,，其余数为，对应的天干为：庚则天干：甲、乙、丙、丁、戊、已、庚、辛、壬、癸十个符号分别对应的数字为：，其余数为，对应的地支为：子,则地支：子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、戌、亥十二个符号分别对应的数字为：,由于天干中数字对应的是已，地中数字对应的是巳，则2049年是已巳年    故答案为：已巳【点睛】本题主要考查了周期性的应用以及归纳推理的应用，属于中档题.15.（·新疆高三）造纸术是我国古代四大发明之一.纸张的规格是指纸张制成后，经过修整切边，裁成一定的尺寸.现在我国采用国际标准，规定以、、…、；、、…、等标记来表示纸张的幅面规格.复印纸幅面规格只采用系列和系列，其中系列的幅面规格为：①规格的纸张的幅宽（以表示）和长度（以表示）的比例关系为；②将纸张沿长度方向对开成两等分，便成为规格.纸张沿长度方向对开成两等分，便成为规格，…，如此对开至规格.现有、、、…、纸各一张.若纸的面积为，则这9张纸的面积之和等于______.【答案】【解析】【分析】根据题意，求出纸张的长度和宽度，构造纸张面积的等比数列，利用等比数列前项和的计算公式，即可求得.【详解】由题可设，纸的面积为，根据题意，纸张面积是首项为，公比为的等比数列，则容易知纸张的面积为，故可得，故纸张面积是一个首项为，公比为的等比数列，故张纸的面积之和为.故答案为：.【点睛】本题考查实际问题中等比数列的应用，问题的关键是要构造等比数列，属中档题.16．（·山西高三期末）赵爽是我国古代数学家大约在公元222年，他为《周髀算经》一书作序时，介绍了“勾股圆方图”，亦称“赵爽弦图”（以弦为边长得到的正方形由4个全等的直角三角形再加上中间的一个小正方形组成）类比“赵爽弦图”，可构造如图所示的图形，它是由3个全等的三角形与中间一个小等边三角形拼成的一个较大的等边三角形，设，若，则可以推出_________.【答案】【解析】【分析】利用建系的方法，假设，根据，利用余弦定理可得长度，然后计算，可得点坐标，最后根据点坐标，可得结果.【详解】设，则，如图由题可知：，由，所以，则，所以，又，所以所以，即所以，，又所以，所以，故答案为：【点睛】本题考查考查向量的坐标线性表示，关键在于建系，充分使用条件，考验分析能力，属难题.