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(通用版)高考数学二轮复习选填题专项测试第5篇球01(含解析)
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这是一份(通用版)高考数学二轮复习选填题专项测试第5篇球01(含解析),共12页。试卷主要包含了单选题,填空题等内容,欢迎下载使用。
高考数学选填题专项测试01(球)第I卷(选择题)一、单选题:本大题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1.(2019·湖南长沙一中高三月考(文))某球中内接一个圆柱,其俯视图如图所示,为两个同心圆,半径之比为1 : 2,则该圆柱与球的体积的比值为( )A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根据球和圆柱的半径求出球心到圆柱底面的距离,从而得出圆柱的高,再由圆柱的体积公式以及球的体积公式求解即可.【详解】设该圆柱和球的半径分别为,则,球心到圆柱底面的距离为,即该圆柱的高为,则该圆柱与球的体积的比值为,故选:B【点睛】本题主要考查了圆柱的体积公式以及球的体积公式,属于基础题.2.(·宁夏银川一中高三月考(理))已知正四面体的棱长为,则其外接球的体积为( )A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】将正四面体补形为正方体,利用正方体的外接球,计算出正四面体外接球的体积.【详解】将正四面体放在正方体中如图所示,正四面体的外接球即正方体的外接球,设正方体的边长为,由于,即,所以正方体的外接球半径为,所以外接球的体积为.故选:B【点睛】本小题主要考查几何体外接球体积的求法,考查数形结合的数学思想方法,考查化归与转化的数学思想方法,属于中档题.3.(·山西高三月考(文))在三棱锥中,平面,,,则三棱锥外接球的表面积为_______.A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】先用正弦定理求出外接圆的半径,然后利用求出三棱锥外接球的半径,即可算出表面积.【详解】设外接圆的半径为,则,∴,设三棱锥外接球的半径为,则,故外接球的表面积.故答案为:【点睛】本题主要考查了三棱锥外接球的表面积,其中根据几何体的结构特征和球的性质,求得三棱锥的外接球的半径是解题的关键,着重考查了空间想象能力,以及推理与运算能力.4.(2019·广东高三月考(文))如图,已知球是棱长为1 的正方体的内切球,则平面截球的截面面积为()A. B. C. D. 【答案】 C【解析】由题意可知:截面是的外接圆,而是边长为的等边三角形,所以外接圆,则,所以.5.(2019·湖南长沙一中高三月考(文))已知某几何体的三视图如图所示,则该几何体的外接球表面积为A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】首先根据三视图还原其直观图,再根据直观图找到四棱锥外接球的球心,计算球体的半径和表面积即可.【详解】该几何体是一个四棱锥,其底面是边长为的正方形,右侧面是腰长为的等腰三角形,且垂直于底面,由此可得四棱锥的高为.设为球心,为的外心,底面的中心,为的中点,因为,,所以,,设外接圆的半径为,得到,.又因为,所以..故答案为:【点睛】本题主要考查四棱锥的外接球,同时考查了三视图,将三视图还原其直观图为解题的关键,属于中档题.6. (·江西高三(理))已知正三棱柱的侧面积为12,当其外接球的表面积取最小值时,异面直线与所成角的余弦值等于( )A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】设正三棱柱的底面边长为,高为,球的半径为,先得出,然后,即时其外接球的表面积取最小值。然后由余弦定理即可求出【详解】设正三棱柱的底面边长为,高为,球的半径为,由题意知,即,底面外接圆半径,由球的截面圆性质知,当且仅当时取等号,将三棱柱补成一四棱柱,如图,知,即为异面直线与所成角或补角,,,所以.【点睛】异面直线所成的角一般是通过平移转化成相交直线所成的角.7.(·广东高三期末(理))已知三棱锥的底面是正三角形,,点在侧面内的射影是的垂心,当三棱锥体积最大值时,三棱锥的外接球的体积为( )A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】设点是点在底面的射影,先分析可得是底面的垂心,也是外心,则,则当互相垂直时体积最大,再求得外接球的体积即可【详解】设点为的中点,则,因为点在侧面内的射影是的垂心,所以,,设点是点在底面的射影,则平面,所以一定在上,因为,,所以,所以是底面的垂心,也是外心,所以,则当互相垂直时体积最大,设球的半径为,则,所以,所以球的体积为,故选:D【点睛】本题考查棱锥的外接球体积,考查空间想象能力8. (·安徽六安一中高三月考(理))在四棱锥中,是边长为6的正三角形,是正方形,平面平面,则该四棱锥的外接球的体积为( )A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】取BC的中点为,分别是正三角形ABC的中心和正方形BCDE的中心,根据已知条件可得⊥平面ABC,AM⊥平面BCDE,过分别做的平行线交于,则为球心,求出,即可求出外接球的半径,即可求解.【详解】取BC的中点为,是正三角形ABC的中心,为正方形BCDE的中心,连接,则有,,平面平面,平面平面=,⊥平面ABC,AM⊥平面BCDE,过分别做,,则⊥平面ABC,⊥平面BCDE,交于,则为球心,,所以四边形为矩形,,所以外接球的体积为.故选:D.【点睛】本题考查多面体与球的“接”“切”问题,解题的关键是根据球的性质确定球心,考查空间想象能力,属于中档题.9. (·山东高三期末)用一个体积为的球形铁质原材料切割成为正三棱柱的工业用零配件,则该零配件体积的最大值为( )A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】画出正三棱柱内接于球的直观图,设底面边长,由球的体积公式得,再由勾股定理得正三棱柱的,代入体积公式,利用基本不等式可求得。【详解】如图所示,正三棱柱内接于球的直观图,为底面的中心,因为。设底面边长,则,,等号成立当且仅当,故选D.【点睛】本题以实际问题为背景,本质考查正三棱柱内接于球,考查正三棱柱体积的最值,考查空间想象能力和运算求解能力,注意利用三元基本不等式求最值,使问题求解计算变得更简洁。10. (2019·广东深圳中学高三月考(文))如图,网格纸上正方形小格的边长为1,图中粗线画出的是某三棱锥的三视图,则该三棱锥的外接球的体积为( )A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】由三视图画出三棱锥的空间立体图形,利用球的性质找出球心的位置,再计算体积即可.【详解】由三视图画出三棱锥如图所示,过点做平面的垂线,交的延长线于点,由三视图知,,,因为是等腰直角三角形,所以的外接圆圆心为的中点,所以,设三棱锥外接球球心为,则平面,所以,所以,只需让即可,作且交于点,由图,设,即,解得,,所以外接球半径,所以外接球体积.【点睛】本题主要考查由三视图还原几何体和求棱锥的外接球体积,考查学生的分析转化能力和空间想象能力,属于中档题.11. (2019·安徽淮北一中高三月考(理))在三棱锥A-BCD中,平面ABC丄平面ADC, AD丄AC,AD=AC, ,若此三棱锥的外接球表面积为,则三棱锥A-BCD体积的最大值为( )A.7 B.12 C.6 D.【答案】C【解析】【分析】设三棱锥A﹣BCD外接球的半径为R,三棱锥的外接球球心为O,△ABC的外心为O1,△ABC的外接圆半径为r,取DC的中点为O2,过O2作O2E⊥AC,则OO1⊥平面ABC,OO2⊥平面ADC,连结OA,O1A,则O1A=r,设AD=AC=b,则OO1=O2Eb,由S=4πR2=28π,解得R,由正弦正理求出b,若三棱锥A﹣BCD的体积最大,则只需△ABC的面积最大,由此能求出三棱锥A﹣BCD的体积的最大值.【详解】根据题意,设三棱锥A﹣BCD外接球的半径为R,三棱锥的外接球球心为O,△ABC的外心为O1,△ABC的外接圆半径为r,取DC的中点为O2,过O2作O2E⊥AC,则OO1⊥平面ABC,OO2⊥平面ADC,如图,连结OA,O1A,则O1A=r,设AD=AC=b,则OO1=O2Eb,由S=4πR2=28π,解得R,在△ABC中,由正弦正理得2r,∴2r,解得b,在Rt△OAO1中,7=r2+()2,解得r=2,b=2,∴AC=2,若三棱锥A﹣BCD的体积最大,则只需△ABC的面积最大,在△ABC中,AC2=AB2+BC2﹣2•AB•BC•cos∠ABC,∴12=AB2+BC2﹣AB•BC≥2AB•BC﹣AB•BC,解得AB•BC≤12,∴3,∴三棱锥A﹣BCD的体积的最大值:6.故选:C.【点睛】本题考查三棱锥的体积的最大值的求法,考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识,考查运算求解能力,是中档题.12. (·四川高三月考(理))在三棱柱中,上平面,记和四边形的外接圆圆心分别为,若,且三棱柱外接球体积为,则的值为( )A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】如图,设三棱柱的外接球的球心为O,连接.设三棱柱的高为h,外接球的半径为R,先求出R,再求的值.【详解】如图,设三棱柱的外接球的球心为O,连接.设三棱柱的高为h,外接球的半径为R,由题得在直角三角形中,在直角三角形中,,所以.故选:D【点睛】本题主要考查几何体的外接球问题的解法,意在考查学生对这些知识的理解掌握水平. 第II卷(非选择题) 二、填空题:本大题共4小题,每小题5分,共20分。把答案填在题中的横线上。13. (·四川省泸县第一中学高三月考(文))三棱锥中,底面是边长为的等边三角形, 面, ,则三棱锥外接球的表面积是_____________ .【答案】【解析】由题意可知三棱锥外接球,即为以为底面以为高的正三棱柱的外接球∵是边长为的正三角形∴的外接圆半径,球心到的外接圆圆心的距离为,∴球的半径为∴外接球的表面积为,故答案为点睛:本题主要考查三棱锥外接球表面积的求法,属于难题. 要求外接球的表面积和体积,关键是求出求的半径,求外接球半径的常见方法有:①若三条棱两垂直则用(为三棱的长);②若面(),则(为外接圆半径);③可以转化为长方体的外接球;④特殊几何体可以直接找出球心和半径.14.(·山东高三期末)在直三棱柱中,且,,设其外接球的球心为,且球的表面积为,则的面积为__________.【答案】【解析】【分析】先计算球的半径为,确定球心为的中点,根据边角关系得到,计算面积得到答案.【详解】球的表面积为,如图所示:为中点,连接 ,故三角形的外心在中点上,故外接球的球心为的中点.,在中:,故;在中:,,故,故 ,故答案为:【点睛】本题考查了三棱柱的外接球问题,确定球心的位置是解题的关键.15.(·河南高三期末(理))在矩形ABCD中,BC=4,M为BC的中点,将△ABM和△DCM分别沿AM,DM翻折,使点B与C重合于点P.若∠APD=150°,则三棱锥M﹣PAD的外接球的表面积为_____.【答案】【解析】【分析】计算△ADP外接圆的半径并假设外接球的半径为,可得球心在过外接圆圆心且垂直圆面的垂线上,然后根据PM⊥面PAD, ,可得结果.【详解】由MP⊥PA,MP⊥PD,PM∩PA=P,PM,PA平面PAD所以可得PM⊥面PAD,设△ADP外接圆的半径为,由正弦定理可得2r,即,所以,设三棱锥M﹣PAD外接球的半径R,外接球的球心在过△ADP外接圆的圆心且垂直于底面的直线上,则所以外接球的表面积为,答案为:【点睛】本题考查的是三棱锥的外接球的应用,属中档题.16. (·河北衡水中学高三月考(理))在边长为的菱形中,,沿对角线折起,使二面角的大小为,这时点在同一个球面上,则该球的表面积为____.【答案】【解析】【分析】取的中点,连接、,可知外接球的球心在面中,再作,分别求出与的长度后即可得解.【详解】如图1,取的中点,连接、,由已知易知面面,则外接球的球心在面中.由二面角的大小为可知.在面中,设球心为,作,连接,易知在面上的投影即为,平分,为的中心,,,,.故答案为:【点睛】本题考查了立体图形外接球体积的求解,考查了空间想象能力,属于中档题.
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