(通用版)高考数学二轮复习选填题专项测试第5篇球01（含解析）

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  高考数学选填题专项测试01（球）第I卷（选择题)一、单选题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．（2019·湖南长沙一中高三月考（文））某球中内接一个圆柱，其俯视图如图所示，为两个同心圆，半径之比为1 : 2，则该圆柱与球的体积的比值为（    ）A． B． C． D．【答案】B【解析】【分析】根据球和圆柱的半径求出球心到圆柱底面的距离，从而得出圆柱的高，再由圆柱的体积公式以及球的体积公式求解即可.【详解】设该圆柱和球的半径分别为，则，球心到圆柱底面的距离为，即该圆柱的高为，则该圆柱与球的体积的比值为，故选：B【点睛】本题主要考查了圆柱的体积公式以及球的体积公式，属于基础题.2．（·宁夏银川一中高三月考（理））已知正四面体的棱长为，则其外接球的体积为（   ）A． B． C． D．【答案】B【解析】【分析】将正四面体补形为正方体，利用正方体的外接球，计算出正四面体外接球的体积.【详解】将正四面体放在正方体中如图所示，正四面体的外接球即正方体的外接球，设正方体的边长为，由于，即，所以正方体的外接球半径为，所以外接球的体积为.故选：B【点睛】本小题主要考查几何体外接球体积的求法，考查数形结合的数学思想方法，考查化归与转化的数学思想方法，属于中档题.3．（·山西高三月考（文））在三棱锥中，平面，，，则三棱锥外接球的表面积为_______.A． B． C． D．【答案】B【解析】【分析】先用正弦定理求出外接圆的半径，然后利用求出三棱锥外接球的半径，即可算出表面积.【详解】设外接圆的半径为，则，∴，设三棱锥外接球的半径为，则，故外接球的表面积.故答案为：【点睛】本题主要考查了三棱锥外接球的表面积，其中根据几何体的结构特征和球的性质，求得三棱锥的外接球的半径是解题的关键，着重考查了空间想象能力，以及推理与运算能力.4．（2019·广东高三月考（文））如图，已知球是棱长为1 的正方体的内切球，则平面截球的截面面积为（）A． B． C． D． 【答案】 C【解析】由题意可知：截面是的外接圆，而是边长为的等边三角形，所以外接圆，则，所以.5．（2019·湖南长沙一中高三月考（文））已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的外接球表面积为A． B． C． D．【答案】D【解析】【分析】首先根据三视图还原其直观图，再根据直观图找到四棱锥外接球的球心，计算球体的半径和表面积即可.【详解】该几何体是一个四棱锥，其底面是边长为的正方形，右侧面是腰长为的等腰三角形，且垂直于底面，由此可得四棱锥的高为.设为球心，为的外心，底面的中心，为的中点，因为，，所以，，设外接圆的半径为，得到，.又因为，所以..故答案为：【点睛】本题主要考查四棱锥的外接球，同时考查了三视图，将三视图还原其直观图为解题的关键，属于中档题.6. （·江西高三（理））已知正三棱柱的侧面积为12，当其外接球的表面积取最小值时，异面直线与所成角的余弦值等于(  )A． B． C． D．【答案】A【解析】【分析】设正三棱柱的底面边长为，高为，球的半径为，先得出，然后，即时其外接球的表面积取最小值。然后由余弦定理即可求出【详解】设正三棱柱的底面边长为，高为，球的半径为，由题意知，即，底面外接圆半径，由球的截面圆性质知，当且仅当时取等号，将三棱柱补成一四棱柱，如图，知，即为异面直线与所成角或补角，，，所以.【点睛】异面直线所成的角一般是通过平移转化成相交直线所成的角.7．（·广东高三期末（理））已知三棱锥的底面是正三角形，，点在侧面内的射影是的垂心，当三棱锥体积最大值时，三棱锥的外接球的体积为（    ）A． B． C． D．【答案】D【解析】【分析】设点是点在底面的射影,先分析可得是底面的垂心,也是外心,则,则当互相垂直时体积最大,再求得外接球的体积即可【详解】设点为的中点,则,因为点在侧面内的射影是的垂心,所以,,设点是点在底面的射影,则平面,所以一定在上,因为,,所以,所以是底面的垂心,也是外心,所以,则当互相垂直时体积最大,设球的半径为,则,所以,所以球的体积为，故选:D【点睛】本题考查棱锥的外接球体积,考查空间想象能力8. （·安徽六安一中高三月考（理））在四棱锥中，是边长为6的正三角形，是正方形，平面平面，则该四棱锥的外接球的体积为（      ）A． B． C． D．【答案】D【解析】【分析】取BC的中点为，分别是正三角形ABC的中心和正方形BCDE的中心，根据已知条件可得⊥平面ABC，AM⊥平面BCDE，过分别做的平行线交于，则为球心，求出，即可求出外接球的半径，即可求解.【详解】取BC的中点为，是正三角形ABC的中心,为正方形BCDE的中心，连接,则有，，平面平面，平面平面=，⊥平面ABC，AM⊥平面BCDE，过分别做，，则⊥平面ABC，⊥平面BCDE，交于，则为球心，，所以四边形为矩形，，所以外接球的体积为.故选:D.【点睛】本题考查多面体与球的“接”“切”问题，解题的关键是根据球的性质确定球心，考查空间想象能力，属于中档题.9. （·山东高三期末）用一个体积为的球形铁质原材料切割成为正三棱柱的工业用零配件，则该零配件体积的最大值为（    ）A． B． C． D．【答案】D【解析】【分析】画出正三棱柱内接于球的直观图，设底面边长，由球的体积公式得，再由勾股定理得正三棱柱的，代入体积公式，利用基本不等式可求得。【详解】如图所示，正三棱柱内接于球的直观图，为底面的中心，因为。设底面边长，则，，等号成立当且仅当，故选D.【点睛】本题以实际问题为背景，本质考查正三棱柱内接于球，考查正三棱柱体积的最值，考查空间想象能力和运算求解能力，注意利用三元基本不等式求最值，使问题求解计算变得更简洁。10. （2019·广东深圳中学高三月考（文））如图，网格纸上正方形小格的边长为1，图中粗线画出的是某三棱锥的三视图，则该三棱锥的外接球的体积为（    ）A． B． C． D．【答案】B【解析】【分析】由三视图画出三棱锥的空间立体图形，利用球的性质找出球心的位置，再计算体积即可.【详解】由三视图画出三棱锥如图所示，过点做平面的垂线，交的延长线于点，由三视图知，，，因为是等腰直角三角形，所以的外接圆圆心为的中点，所以，设三棱锥外接球球心为，则平面，所以，所以，只需让即可，作且交于点，由图，设，即，解得，，所以外接球半径，所以外接球体积.【点睛】本题主要考查由三视图还原几何体和求棱锥的外接球体积，考查学生的分析转化能力和空间想象能力，属于中档题.11. （2019·安徽淮北一中高三月考（理））在三棱锥A-BCD中，平面ABC丄平面ADC, AD丄AC,AD=AC, ，若此三棱锥的外接球表面积为，则三棱锥A-BCD体积的最大值为（    ）A．7 B．12 C．6 D．【答案】C【解析】【分析】设三棱锥A﹣BCD外接球的半径为R，三棱锥的外接球球心为O，△ABC的外心为O1，△ABC的外接圆半径为r，取DC的中点为O2，过O2作O2E⊥AC，则OO1⊥平面ABC，OO2⊥平面ADC，连结OA，O1A，则O1A＝r，设AD＝AC＝b，则OO1＝O2Eb，由S＝4πR2＝28π，解得R，由正弦正理求出b，若三棱锥A﹣BCD的体积最大，则只需△ABC的面积最大，由此能求出三棱锥A﹣BCD的体积的最大值．【详解】根据题意，设三棱锥A﹣BCD外接球的半径为R，三棱锥的外接球球心为O，△ABC的外心为O1，△ABC的外接圆半径为r，取DC的中点为O2，过O2作O2E⊥AC，则OO1⊥平面ABC，OO2⊥平面ADC，如图，连结OA，O1A，则O1A＝r，设AD＝AC＝b，则OO1＝O2Eb，由S＝4πR2＝28π，解得R，在△ABC中，由正弦正理得2r，∴2r，解得b，在Rt△OAO1中，7＝r2+（）2，解得r＝2，b＝2，∴AC＝2，若三棱锥A﹣BCD的体积最大，则只需△ABC的面积最大，在△ABC中，AC2＝AB2+BC2﹣2•AB•BC•cos∠ABC，∴12＝AB2+BC2﹣AB•BC≥2AB•BC﹣AB•BC，解得AB•BC≤12，∴3，∴三棱锥A﹣BCD的体积的最大值：6．故选：C．【点睛】本题考查三棱锥的体积的最大值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．12. （·四川高三月考（理））在三棱柱中，上平面,记和四边形的外接圆圆心分别为,若,且三棱柱外接球体积为,则的值为（    ）A． B． C． D．【答案】D【解析】【分析】如图，设三棱柱的外接球的球心为O,连接.设三棱柱的高为h，外接球的半径为R,先求出R,再求的值.【详解】如图，设三棱柱的外接球的球心为O,连接.设三棱柱的高为h，外接球的半径为R,由题得在直角三角形中，在直角三角形中，,所以.故选：D【点睛】本题主要考查几何体的外接球问题的解法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平. 第II卷（非选择题) 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。把答案填在题中的横线上。13. （·四川省泸县第一中学高三月考（文））三棱锥中，底面是边长为的等边三角形， 面， ,则三棱锥外接球的表面积是_____________ .【答案】【解析】由题意可知三棱锥外接球，即为以为底面以为高的正三棱柱的外接球∵是边长为的正三角形∴的外接圆半径，球心到的外接圆圆心的距离为，∴球的半径为∴外接球的表面积为，故答案为点睛：本题主要考查三棱锥外接球表面积的求法，属于难题. 要求外接球的表面积和体积，关键是求出求的半径，求外接球半径的常见方法有：①若三条棱两垂直则用（为三棱的长）；②若面（），则（为外接圆半径）；③可以转化为长方体的外接球；④特殊几何体可以直接找出球心和半径.14.（·山东高三期末）在直三棱柱中，且,，设其外接球的球心为，且球的表面积为，则的面积为__________.【答案】【解析】【分析】先计算球的半径为，确定球心为的中点，根据边角关系得到，计算面积得到答案.【详解】球的表面积为，如图所示：为中点，连接 ，故三角形的外心在中点上，故外接球的球心为的中点.，在中：，故；在中：，，故，故 ，故答案为：【点睛】本题考查了三棱柱的外接球问题，确定球心的位置是解题的关键.15.（·河南高三期末（理））在矩形ABCD中，BC＝4，M为BC的中点，将△ABM和△DCM分别沿AM，DM翻折，使点B与C重合于点P.若∠APD＝150°，则三棱锥M﹣PAD的外接球的表面积为_____.【答案】【解析】【分析】计算△ADP外接圆的半径并假设外接球的半径为，可得球心在过外接圆圆心且垂直圆面的垂线上，然后根据PM⊥面PAD， ，可得结果.【详解】由MP⊥PA，MP⊥PD，PM∩PA＝P，PM，PA平面PAD所以可得PM⊥面PAD，设△ADP外接圆的半径为，由正弦定理可得2r，即，所以，设三棱锥M﹣PAD外接球的半径R，外接球的球心在过△ADP外接圆的圆心且垂直于底面的直线上，则所以外接球的表面积为，答案为：【点睛】本题考查的是三棱锥的外接球的应用，属中档题.16. （·河北衡水中学高三月考（理））在边长为的菱形中，，沿对角线折起，使二面角的大小为，这时点在同一个球面上，则该球的表面积为____.【答案】【解析】【分析】取的中点,连接、，可知外接球的球心在面中，再作，分别求出与的长度后即可得解.【详解】如图1，取的中点,连接、，由已知易知面面，则外接球的球心在面中.由二面角的大小为可知.在面中，设球心为，作，连接，易知在面上的投影即为，平分，为的中心，，，，.故答案为：【点睛】本题考查了立体图形外接球体积的求解，考查了空间想象能力，属于中档题.