新高考数学一轮复习课时讲练 第8章 第7讲 2 第2课时　空间距离与立体几何中的最值(范围)问题(选用) (含解析)

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第2课时　空间距离与立体几何中的最值(范围)问题(选用)


　　　　　　空间中的距离问题
如图，平面PAD⊥平面ABCD，四边形ABCD为正方形，△PAD是直角三角形，且PA＝AD＝2，点E，F，G分别是线段PA，PD，CD的中点．

(1)求证：平面EFG⊥平面PAB；
(2)求点A到平面EFG的距离．
【解】　如图，建立空间直角坐标系A­xyz，则A(0，0，0)，B(2，0，0)，C(2，2，0)，D(0，2，0)，P(0，0，2)，E(0，0，1)，F(0，1，1)，G(1，2，0)．
(1)证明：因为＝(0，1，0)，＝(0，0，2)，＝(2，0，0)，所以·＝0×0＋1×0＋0×2＝0，·＝0×2＋1×0＋0×0＝0，
所以EF⊥AP，EF⊥AB.
又因为AP，AB⊂平面PAB，且PA∩AB＝A，
所以EF⊥平面PAB.
又EF⊂平面EFG，所以平面EFG⊥平面PAB.
(2)设平面EFG的一个法向量为n＝(x，y，z)，
则所以
取n＝(1，0，1)，又＝(0，0，1)，所以点A到平面EFG的距离d＝＝＝.

(1)空间中的各种距离一般都可以转化为求点与点、点与线、点与面的距离．
①点点距：点与点的距离，以这两点为起点和终点的向量的模；②点线距：点M到直线a的距离，若直线的方向向量为a，直线上任一点为N，则点M到直线a的距离为d＝||·sin〈，a〉；③线线距：两平行线间的距离转化为点线距离，两异面直线间的距离转化为点面距离或者直接求公垂线段的长度；④点面距：点M到平面α的距离，若平面α的法向量为n，平面α内任一点为N，则点M到平面α的距离d＝|||cos 〈，n〉|＝.
(2)利用空间向量求空间距离问题，首先应明确所求距离的特征，恰当选用距离公式求解．　

1．如图，P­ABCD是正四棱锥，ABCD­A1B1C1D1是正方体，其中AB＝2，PA＝，则B1到平面PAD的距离为________．

解析：以A1为原点，以A1B1所在直线为x轴，A1D1所在直线为y轴，A1A所在直线为z轴建立空间直角坐标系A1­xyz，则＝(0，2，0)，＝(1，1，2)，设平面PAD的法向量是m＝(x，y，z)，
所以由
可得取z＝1，得m＝(－2，0，1)，
因为＝(－2，0，2)，
所以B1到平面PAD的距离d＝＝.
答案：
2．如图，在长方体ABCD­A1B1C1D1中，AB＝4，BC＝3，CC1＝2.

(1)求证：平面A1BC1∥平面ACD1；
(2)求平面A1BC1与平面ACD1的距离．
解：(1)证明：因为AA1綊CC1，所以四边形ACC1A1为平行四边形，所以AC∥A1C1.
又AC⊄平面A1BC1，A1C1⊂平面A1BC1，
所以AC∥平面A1BC1.同理可证CD1∥平面A1BC1.
又AC∩CD1＝C，AC⊂平面ACD1，CD1⊂平面ACD1，
所以平面A1BC1∥平面ACD1.
(2)以B1为原点，分别以，，的方向为x轴，y轴，z轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系B1­xyz，则A1(4，0，0)，A(4，0，2)，D1(4，3，0)，C(0，3，2)，＝(0，0，2)，＝(－4，3，0)，＝(0，3，－2)，
设n＝(x，y，z)为平面ACD1的一个法向量，
则即取n＝(3，4，6)，
所以所求距离d＝||×|cos〈n，〉|＝＝＝，
故平面A1BC1与平面ACD1的距离为.

　　　　　　立体几何中的最值(范围)问题
(1)(2020·宁波十校联考)如图，平面PAB⊥平面α，AB⊂α，且△PAB为正三角形，点D是平面α内的动点，ABCD是菱形，点O为AB中点，AC与OD交于点Q，l⊂α，且l⊥AB，则PQ与l所成角的正切值的最小值为(　　)
A. 　　　　　　 B.
C. D．3
(2)(2020·温州高考模拟)如图，在三棱锥A­BCD中，平面ABC⊥平面BCD，△BAC与△BCD均为等腰直角三角形，且∠BAC＝∠BCD＝90°，BC＝2，点P是线段AB上的动点，若线段CD上存在点Q，使得直线PQ与AC成30°的角，则线段PA长的取值范围是(　　)
A. B.
C. D.
【解析】　(1)如图，不妨以CD在AB前侧为例．以点O为原点，分别以OB、OP所在直线为y、z轴建立空间直角坐标系O­xyz，设AB＝2，∠OAD＝θ(0