新高考数学一轮复习课时讲练 第10章 第5讲　古典概型 (含解析)

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第5讲　古典概型

1．基本事件的特点
(1)任何两个基本事件都是互斥的．
(2)任何事件都可以表示成基本事件的和(除不可能事件)．
2．古典概型
(1)特点
①试验中所有可能出现的基本事件只有有限个，即有限性．
②每个基本事件发生的可能性相等，即等可能性．
(2)概率公式
P(A)＝．

[教材衍化]
1．(必修3P127例3改编)一个盒子里装有标号为1，2，3，4的4张卡片，随机地抽取2张，则取出的2张卡片上的数字之和为奇数的概率是________．
解析：抽取两张卡片的基本事件有：(1，2)，(1，3)，(1，4)，(2，3)，(2，4)，(3，4)，共6种，和为奇数的事件有：(1，2)，(1，4)，(2，3)，(3，4)，共4种．所以所求概率为＝.
答案：
2．(必修3P145A组T5改编)袋中装有6个白球， 5个黄球，4个红球．从中任取一球，则取到白球的概率为________．
解析：从袋中任取一球，有15种取法，其中取到白球的取法有6种，则所求概率为P＝＝.
答案：
3．(必修3P134A组T6改编)已知5件产品中有2件次品，其余为合格品．现从这5件产品中任取2件，恰有一件次品的概率为________．
解析：从5件产品中任取2件共有C＝10(种)取法，恰有一件次品的取法有CC＝6(种)，所以恰有一件次品的概率为＝0.6.
答案：0.6


　　　　　　求古典概型的概率(高频考点)
求古典概型的概率问题是高考考查的热点．主要命题角度有：
(1)直接列举法；(2)图表、树型法；
(3)逆向思维法；(4)对称性法．
角度一　直接列举法
袋中有6个球，其中4个白球，2个红球，从袋中任意取出两个，求下列事件的概率．
(1)取出的两球都是白球；
(2)取出的两球一个是白球，另一个是红球．
【解】　设4个白球的编号为1，2，3，4，2个红球的编号为5，6，从袋中的6个小球中任取两个的所有可能结果如下：
(1，2)，(1，3)，(1，4)，(1，5)，(1，6)，(2，3)，(2，4)，(2，5)，(2，6)，(3，4)，(3，5)，(3，6)，(4，5)，(4，6)，(5，6)，共15个．
(1)从袋中的6个球中任取两个，所取的两球全是白球的方法数，即是从4个白球中任取两个的方法数，共有6个，即为(1，2)，(1，3)，(1，4)，(2，3)，(2，4)，(3，4)．
所以取出的两个球全是白球的概率为P＝＝.
(2)从袋中的6个球中任取两个，其中一个是红球，而另一个为白球，其取法包括(1，5)，(1，6)，(2，5)，(2，6)，(3，5)，(3，6)，(4，5)，(4，6)，共8个．
所以取出的两个球一个是白球，另一个是红球的概率为P＝.
角度二　图表、树型法
一个口袋内装有大小相等的1个白球和已编有不同号码的3个黑球，从中摸出2个球，则摸出2个黑球的概率为____________．
【解析】　如图所示，所有结果组成的集合U含有6个元素，故共有6种不同的结果．

U的子集A有3个元素，故摸出2个黑球有3种不同的结果．
因此，摸出2个黑球的概率是P＝＝.
【答案】　
角度三　逆向思维法
同时抛掷两枚骰子，则至少有一个5点或6点的概率为____________．
【解析】　至少有一个5点或6点的对立事件是：没有5点或6点．因为没有5点或6点的结果共有16个，而抛掷两枚骰子的结果共有36个，所以没有5点或6点的概率为P＝＝.至少有一个5点或6点的概率为1－＝.
【答案】　
角度四　对称性法
有A，B，C，D，E共5人站成一排，则A在B的右边(A，B可以不相邻)的概率为____________．
【解析】　由于A，B不相邻，A在B的右边和B在A的右边的总数是相等的，且A在B的右边的排法数与B在A的右边的排法数组成所有基本事件总数，所以A在B的右边的概率是.
【答案】　

(1)
(2)求较复杂事件的概率问题的方法
①将所求事件转化成彼此互斥的事件的和事件，再利用互斥事件的概率加法公式求解．
②先求其对立事件的概率，再利用对立事件的概率公式求解．　

1．从分别标有1，2，…，9的9张卡片中不放回地随机抽取2次，每次抽取1张，则抽到的2张卡片上的数奇偶性不同的概率是(　　)
A.　　　　　　　　　　 B.
C. D.
解析：选C.所求概率为P＝＝.
2．(2020·台州高三教学质量评估)袋子里装有编号分别为“1，2，2，3，4，5”的6个大小、质量相同的小球，某人从袋子中一次任取3个球，若每个球被取到的机会均等，则取出的3个球编号之和大于7的概率为(　　)
A. B.
C. D.
解析：选B.由题设取三个球的所有可能有n＝C＝＝20，其中编号之和小于或等于7的所有可能有(1，2，2)，(1，2，3)，(1，2，3)，(1，2，4)，(1，2，4)，(2，2，3)，共6种，其概率P＝＝，所以3个球编号之和大于7的概率为P′＝1－＝.
3．(2020·温州八校联考)依次从标号为1，2，3，4，5的五个黑球和标号为6，7，8，9的四个白球中随机地各取一个球，用数对(x，y)表示事件“抽到两个球标号分别为x，y”．
(1)问共有多少个基本事件？并列举出来；
(2)求所抽取的标号之和小于11但不小于9或标号之和大于12的概率．
解：(1)共有20个基本事件，列举如下：(1，6)，(1，7)，(1，8)，(1，9)，(2，6)，(2，7)，(2，8)，(2，9)，(3，6)，(3，7)，(3，8)，(3，9)，(4，6)，(4，7)，(4，8)，(4，9)，(5，6)，(5，7)，(5，8)，(5，9)，共20个．
(2)记事件“所抽取的标号之和小于11但不小于9”为事件A，由(1)可知事件A共含有7个基本事件，列举如下：(1，8)，(1，9)，(2，7)，(2，8)，(3，6)，(3，7)，(4，6)，共7个．“抽取的标号之和大于12”记作事件B，则事件B包含：(4，9)，(5，8)，(5，9)，共3个．故P(A)＋P(B)＝＋＝，故抽取的标号之和小于11但不小于9或大于12的概率为.

　　　　　　古典概型与其他知识的交汇(高频考点)
近几年高考对交汇型古典概型问题有所侧重．主要命题角度有：
(1)与平面向量的交汇；
(2)与函数(方程)的交汇；
(3)与解析几何的交汇．
角度一　与平面向量的交汇
从集合{2，3，4，5}中随机抽取一个数a，从集合{1，3，5}中随机抽取一个数b，则向量m＝(a，b)与向量n＝(1，－1)垂直的概率为(　　)
A. B.
C. D.
【解析】　由题意可知m＝(a，b)有：(2，1)，(2，3)，(2，5)，(3，1)，(3，3)，(3，5)，(4，1)，(4，3)，(4，5)，(5，1)，(5，3)，(5，5)，共12种情况．
因为m⊥n，即m·n＝0，
所以a×1＋b×(－1)＝0，即a＝b，
满足条件的有(3，3)，(5，5)，共2个，
故所求的概率为.
【答案】　A
角度二　与函数(方程)的交汇
已知|p|≤3，|q|≤3，当p，q∈Z，则方程x2＋2px－q2＋1＝0有两个相异实数根的概率是________．
【解析】　由方程x2＋2px－q2＋1＝0有两个相异实数根，可得Δ＝(2p)2－4(－q2＋1)>0，即p2＋q2>1.

当p，q∈Z时，设点M(p，q)，
如图，直线p＝－3，－2，－1，0，1，2，3和直线q＝－3，－2，－1，0，1，2，3的交点，即为点M，共有49个，其中在圆上和圆内的点共有5个(图中黑点)．当点M(p，q)落在圆p2＋q2＝1外时，方程x2＋2px－q2＋1＝0有两个相异实数根，
所以方程x2＋2px－q2＋1＝0有两个相异实数根的概率P＝＝.
【答案】　
角度三　与解析几何的交汇
甲、乙两颗质地均匀且形状为正方体的骰子，它的六个面上的点数依次为1，2，3，4，5，6，现将甲、乙两颗骰子先后各抛一次，a，b分别表示掷甲、乙两颗骰子所出现的向上的点数．
(1)若“点M(a，b)落在直线x＋y＝6上的事件”记为A，求事件A的概率；
(2)若“点M(a，b)落在圆x2＋y2＝25内部的事件”记为B，求事件B的概率．
【解】　(1)先后抛掷甲、乙两颗骰子所得的点M(a，b)共有36个，其中落在直线x＋y＝6上的点有(1，5)，(2，4)，(3，3)，(4，2)，(5，1)，共5个点，
所以P(A)＝.
(2)同(1)，落在圆x2＋y2＝25的内部的点共有(1，1)，(1，2)，(1，3)，(1，4)，(2，1)，(2，2)，(2，3)，(2，4)，(3，1)，(3，2)，(3，3)，(4，1)，(4，2)，共13个点，
所以P(B)＝.

求解古典概型与其他知识交汇问题的思路
解决古典概型与其他知识交汇问题，其关键是将平面向量、直线与圆、函数的单调性及方程的根的情况转化为概率模型，再按照求古典概型的步骤求解．　
　设a∈{2，4}，b∈{1，3}，函数f(x)＝ax2＋bx＋1.
(1)求f(x)在区间(－∞，－1]上是减函数的概率；
(2)从f(x)中随机抽取两个，求它们在(1，f(1))处的切线互相平行的概率．
解：(1)由题意－≥－1，即b≤a.
而(a，b)共有C·C＝4种，满足b≤a的有3种，故概率为.
(2)由(1)可知，函数f(x)共有4种可能，从中随机抽取两个，有6种抽法．
因为函数f(x)在(1，f(1))处的切线的斜率为f′(1)＝a＋b，
所以这两个函数中的a与b之和应该相等，而只有(2，3)，(4，1)这1组满足，故概率为.

　　　　　　古典概型概率的应用
将一颗骰子投掷两次，第一次出现的点数记为a，第二次出现的点数记为b，设任意投掷两次使两条不重合直线l1：ax＋by＝2，l2：x＋2y＝2平行的概率为P1，相交的概率为P2，若点(P1，P2)在圆(x－m)2＋y2＝的内部，则实数m的取值范围是(　　)
A.　　　　　 B.
C. D.
【解析】　对于a与b各有6种情形，故总数为36种．
两条直线l1：ax＋by＝2，l2：x＋2y＝2平行的情形有a＝2，b＝4或a＝3，b＝6，故概率为P1＝＝，两条直线l1：ax＋by＝2，l2：x＋2y＝2相交的情形除平行与重合(a＝1，b＝2)即可，
所以P2＝＝，
因为点(P1，P2)在圆(x－m)2＋y2＝的内部，
所以＋＜，
解得－＜m＜，故选D.
【答案】　D

概率问题主要体现必然与或然思想，在生活、生产中有着广泛的应用．在高考中常以生产、生活中的决策与判断、求参数的范围等问题呈现，多具有开放性特点．　
　甲、乙两人各拿出200元，用作掷硬币游戏的奖金，两人商定：一局中掷出正面向上则甲胜，否则乙胜，谁先胜三局就得所有奖金．比赛开始后，甲胜了两局，乙胜了一局，这时因为意外事件中断游戏，请问怎样分配这400元才合理？
解：为了决出胜负，最多再赛两局，用“甲”表示甲胜，用“乙”表示乙胜，于是这两局有四种可能：(甲，甲)，(甲，乙)，(乙，甲)，(乙，乙)．
其中甲获胜有3种情况，而乙获胜只有1种情况，所以甲获胜的概率是，乙获胜的概率是.
因此，合理的分法为甲得300元，乙得100元．
[基础题组练]
1．从分别写有1，2，3，4，5的5张卡片中随机抽取1张，放回后再随机抽取1张，则抽得的第一张卡片上的数大于第二张卡片上的数的概率为(　　)
A.　　　　　　　　　　 B.
C. D.
解析：选D.依题意，记两次取得卡片上的数字依次为a，b，则一共有25个不同的数组(a，b)，其中满足a>b的数组共有10个，分别为(2，1)，(3，1)，(3，2)，(4，1)，(4，2)，(4，3)，(5，1)，(5，2)，(5，3)，(5，4)，因此所求的概率为＝，选D.
2．高三毕业时，甲、乙、丙等五位同学站成一排合影留念，已知甲、乙相邻，则甲、丙相邻的概率为(　　)
A. B.
C. D.
解析：选B.五人排队，甲、乙相邻的排法有AA＝48(种)，若甲、丙相邻，此时甲在乙、丙中间，排法有AA＝12(种)，故甲、丙相邻的概率为＝.
3．袋中共有15个除了颜色外完全相同的球，其中有10个白球，5个红球，从袋中任取2个球，所取的2个球中恰有1个白球，1个红球的概率为(　　)
A．1 B.
C. D.
解析：选C.从袋中任取2个球共有C＝105种，其中恰好1个白球，1个红球共有CC＝50种，所以恰好1个白球，1个红球的概率为＝.
4．(2020·台州高三质检)已知集合M＝{1，2，3，4}，N＝{(a，b)|a∈M，b∈M}，A是集合N中任意一点，O为坐标原点，则直线OA与y＝x2＋1有交点的概率是(　　)
A. B.
C. D.
解析：选C.易知过点(0，0)与y＝x2＋1相切的直线为y＝2x(斜率小于0的无需考虑)，集合N中共有16个元素，其中使OA斜率不小于2的有(1，2)，(1，3)，(1，4)，(2，4)，共4个，由古典概型知概率为＝.
5．(2020·湖州模拟)已知函数f(x)＝x3＋ax2＋b2x＋1，若a是从1，2，3三个数中任取的一个数，b是从0，1，2三个数中任取的一个数，则该函数有两个极值点的概率为(　　)
A. B.
C. D.
解析：选D.f′(x)＝x2＋2ax＋b2，要使函数f(x)有两个极值点，则有Δ＝(2a)2－4b2＞0，即a2＞b2.由题意知所有的基本事件有9个，即(1，0)，(1，1)，(1，2)，(2，0)，(2，1)，(2，2)，(3，0)，(3，1)，(3，2)，其中第一个数表示a的取值，第二个数表示b的取值．满足a2＞b2的有6个基本事件，即(1，0)，(2，0)，(2，1)，(3，0)，(3，1)，(3，2)，所以所求事件的概率为＝.
6．一个三位自然数百位，十位，个位上的数字依次为a，b，c，当且仅当a＞b，b＜c时称为“凹数”(如213，312等)，若a，b，c∈{1，2，3，4}，且a，b，c互不相同，则这个三位数为“凹数”的概率是(　　)
A. B.
C. D.
解析：选C.由1，2，3组成的三位自然数为123，132，213，231，312，321，共6个；
同理由1，2，4组成的三位自然数共6个；
由1，3，4组成的三位自然数也是6个；
由2，3，4组成的三位自然数也是6个．
所以共有6＋6＋6＋6＝24个．
当b＝1时，有214，213，314，412，312，413，共6个“凹数”．
当b＝2时，有324，423，共2个“凹数”．
所以这个三位数为“凹数”的概率P＝＝.
7．(2020·杭州学军中学高三质检)甲、乙两个箱子里各装有2个红球和1个白球，现从两个箱子中随机各取一个球，则至少有一个红球的概率为________．
解析：两个箱子各取一个球全是白球的概率P＝＝，所以至少有一个红球的概率为1－P＝1－＝.
答案：
8．在3张奖券中有一、二等奖各1张，另1张无奖．甲、乙两人各抽取1张，两人都中奖的概率是________．
解析：记“两人都中奖”为事件A，设中一、二等奖及不中奖分别记为1，2，0，那么甲、乙抽奖结果有(1，2)，(1，0)，(2，1)，(2，0)，(0，1)，(0，2)，共6种．其中甲、乙都中奖有(1，2)，(2，1)，2种，所以P(A)＝＝.
答案：
9．从20名男生、10名女生中任选3名参加体能测试，则选到的3名学生中既有男生又有女生的概率为________．
解析：选到的学生中有男生1名、女生2名的选法有CC 种，选到的学生中有男生2名、女生1名的选法有CC 种，则选到的3名学生中既有男生又有女生的概率为P＝＝.
答案：
10．有100本书，既分为文科、理科2类，又分为精装、平装2种，其中文科书40本，精装书70本，理科的平装书20本，则：
(1)任取1本恰是文科精装书的概率是________；
(2)先任取1本恰是文科书，放回后再取1本恰是精装书的概率是________．
解析：(1)基本事件总数为100，其中文科书40本，理科书60本；精装书70本，理科的平装书20本，精装书40本；文科的精装书30本，文科的平装书10本．
则任取1本恰是文科精装书的概率为＝0.3.
(2)基本事件总数为100×100，则所求概率P＝＝×＝0.28.
答案：(1)0.3　(2)0.28
11．某旅游爱好者计划从3个亚洲国家A1，A2，A3和3个欧洲国家B1，B2，B3中选择2个国家去旅游．
(1)若从这6个国家中任选2个，求这2个国家都是亚洲国家的概率；
(2)若从亚洲国家和欧洲国家中各任选1个，求这2个国家包括A1但不包括B1的概率．
解：(1)由题意知，从6个国家中任选2个国家，其一切可能的结果组成的基本事件有：
{A1，A2}，{A1，A3}，{A2，A3}，{A1，B1}，{A1，B2}，{A1，B3}，{A2，B1}，{A2，B2}，{A2，B3}，{A3，B1}，{A3，B2}，{A3，B3}，{B1，B2}，{B1，B3}，{B2，B3}，共15个．
所选两个国家都是亚洲国家的事件所包含的基本事件有：{A1，A2}，{A1，A3}，{A2，A3}，共3个．
则所求事件的概率为P＝＝.
(2)从亚洲国家和欧洲国家中各任选1个，其一切可能的结果组成的基本事件有：
{A1，B1}，{A1，B2}，{A1，B3}，{A2，B1}，{A2，B2}，{A2，B3}，{A3，B1}，{A3，B2}，{A3，B3}，共9个．
包括A1但不包括B1的事件所包含的基本事件有：{A1，B2}，{A1，B3}，共2个，
则所求事件的概率为P＝.
12．在100件产品中，有95件合格品、5件次品，从中任取2件，求：
(1)2件都是合格品的概率；
(2)2件都是次品的概率；
(3)1件是合格品、1件是次品的概率．
解：从100件产品中任取2件可能出现的结果数就是从100个元素中任取2个元素的组合数C，由于任意抽取，这些结果出现的可能性相等，则C＝4 950为基本事件总数．
(1)100件产品中有95件合格品，取到2件合格品的结果数就是从95个元素中任取2个的组合数C，记“任取2件都是合格品”为事件A1，那么P(A1)＝＝.
(2)由于在100件产品中有5件次品，取到2件次品的结果数为C，记“任取2件都是次品”为事件A2，那么事件A2的概率P(A2)＝＝.
(3)记“任取2件，1件是次品，1件是合格品”为事件A3，而取到1件合格品、1件次品的结果有C·C种，则事件A3的概率P(A3)＝＝.
[综合题组练]
1．从1到10这十个自然数中随机取三个数，则其中一个数是另两个数之和的概率是(　　)
A. B.
C. D.
解析：选A.不妨设取出的三个数为x，y，z(x 2．已知函数f(x)＝logax－3loga2，a∈{，，2，4，5，8，9}，则f(3a＋2)>f(2a)>0的概率为(　　)
A. B.
C. D.
解析：选B.因为a∈{，，2，4，5，8，9}，
所以3a＋2>2a，
又f(3a＋2)>f(2a)>0，所以函数f(x)为单调递增函数．
因为f(x)＝logax－3loga2＝loga，
所以a>1，
又f(2a)>0，所以loga>0，
所以>1，即a>4，则f(3a＋2)>f(2a)>0的概率P＝.故选B.
3．某同学同时掷两颗骰子，得到的点数分别为a，b，则双曲线－＝1的离心率e>的概率是________．
解析：由e＝>，得b>2a.
当a＝1时，b＝3，4，5，6四种情况；
当a＝2时，b＝5，6两种情况，总共有6种情况．
又同时掷两颗骰子，得到的点数(a，b)共有36种结果．
所以所求事件的概率P＝＝.
答案：
4．连续抛掷同一颗均匀的骰子，记第i次得到的向上一面的点数为ai，若存在正整数k，使a1＋a2＋…＋ak＝6，则称k为幸运数字，则幸运数字为3的概率是________．
解析：连续抛掷同一颗均匀的骰子3次，所含基本事件总数n＝6×6×6，
要使a1＋a2＋a3＝6，则a1，a2，a3可取1，2，3或1，1，4或2，2，2三种情况，
其所含的基本事件个数m＝A＋C＋1＝10.
故幸运数字为3的概率为P＝＝.
答案：
5．已知8支球队中有3支弱队，以抽签方式将这8支球队分为A，B两组，每组4支，求：
(1)A，B两组中有一组恰好有2支弱队的概率；
(2)A组中至少有2支弱队的概率．
解：(1)法一：3支弱队在同一组中的概率为×2＝，
故有一组恰好有2支弱队的概率为1－＝.
法二：A组恰有2支弱队的概率为，B组恰好有2支弱队的概率为，
所以有一组恰好有2支弱队的概率为＋＝.
(2)法一：A组中至少有2支弱队的概率为＋＝.
法二：A，B两组有一组中至少有2支弱队的概率为1(因为此事件为必然事件)．由于对A组和B组而言，至少有2支弱队的概率是相同的，所以A组中至少有2支弱队的概率为.
6．在某大型活动中，甲、乙等五名志愿者被随机地分到A，B，C，D四个不同的岗位服务，每个岗位至少有一名志愿者．
(1)求甲、乙两人同时参加A岗位服务的概率；
(2)求甲、乙两人不在同一个岗位服务的概率；
(3)求五名志愿者中仅有一人参加A岗位服务的概率．
解：(1)记“甲、乙两人同时参加A岗位服务”为事件EA，那么P(EA)＝＝，即甲、乙两人同时参加A岗位服务的概率是.
(2)记“甲、乙两人同时参加同一岗位服务”为事件E，那么P(E)＝＝，所以甲、乙两人不在同一岗位服务的概率是P()＝1－P(E)＝.
(3)有两人同时参加A岗位服务的概率P2＝＝，所以仅有一人参加A岗位服务的概率P1＝1－P2＝.