备战2024年高考数学大一轮复习（人教A版-理）第四章 三角函数、解三角形 第6节 正弦定理和余弦定理

这是一份备战2024年高考数学大一轮复习（人教A版-理）第四章 三角函数、解三角形 第6节 正弦定理和余弦定理，共18页。试卷主要包含了三角形常用面积公式，三角形内角平分线性质定理等内容，欢迎下载使用。
第6节　正弦定理和余弦定理
考试要求　1.掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题；2.能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的实际问题.


1.正、余弦定理
在△ABC中，若角A，B，C所对的边分别是a，b，c，R为△ABC外接圆半径，则
定理
正弦定理
余弦定理
公式
＝＝＝2R
a2＝b2＋c2－2bccos A；
b2＝c2＋a2－2cacos B；
c2＝a2＋b2－2abcos C
常见变形
(1)a＝2Rsin A，b＝2Rsin B，c＝2Rsin C；
(2)sin A＝，sin B＝，sin C＝；
(3)a∶b∶c＝sin A∶sin B∶sin C；
(4)asin B＝bsin A，
bsin C＝csin B，asin C＝csin A
cos A＝；
cos B＝；
cos C＝
2.在△ABC中，已知a，b和A时，解的情况如下：

A为锐角
A为钝角或直角
图形




关系式
a＝bsin A
bsin AB⇔a>b⇔sin A>
sin B⇔cos Asin B，则A>B.(　　)
(3)在△ABC的六个元素中，已知任意三个元素可求其他元素.(　　)
(4)当b2＋c2－a2>0时，△ABC为锐角三角形；当b2＋c2－a2＝0时，△ABC为直角三角形；当b2＋c2－a20时，A为锐角，但B或C可能为钝角，故△ABC不一定为锐角三角形.
2.在△ABC中，a＝2，b＝3，c＝4，则cos B＝(　　)
A. B. C. D.
答案　A
解析　由余弦定理知cos B＝＝＝.
3.已知在△ABC中，A＝，B＝，a＝1，则b等于(　　)
A.2 B.1 C. D.
答案　D
解析　由正弦定理＝，得＝，所以＝，所以b＝.
4.(易错题)在△ABC中，A＝60°，a＝4，b＝4.则此三角形(　　)
A.有两解 B.有一解
C.无解 D.有无穷多解
答案　B
解析　由正弦定理得sin B＝＝＝，所以B＝45°或135°.又b＜a，所以B＜A，故B＝45°，所以三角形有一解.
5.(易错题)在△ABC中，角A，B，C满足sin Acos C－sin Bcos C＝0，则三角形的形状为　　　　.
答案　直角三角形或等腰三角形
解析　由已知得cos C(sin A－sin B)＝0，所以cos C＝0或sin A＝sin B，解得C＝90°或A＝B，所以△ABC是直角三角形或等腰三角形.
6.(2021·全国乙卷)记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，面积为，B＝60°，a2＋c2＝3ac，则b＝　　　　.
答案　2
解析　由题意得S△ABC＝acsin B＝ac＝，则ac＝4，
所以a2＋c2＝3ac＝3×4＝12，
所以b2＝a2＋c2－2accos B＝12－2×4×＝8，则b＝2.

考点一　利用正、余弦定理解三角形
例1 (1)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若a＝1，b＝，A＝30°，则B等于(　　)
A.30° B.45°
C.30°或150° D.45°或135°
(2)(2021·全国甲卷)在△ABC中，已知B＝120°，AC＝，AB＝2，则BC＝(　　)
A.1 B. C. D.3
(3)(2022·珠海模拟)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足2cos Bcos C(tan B＋tan C)＝cos Btan B＋cos Ctan C，则cos A的最小值是　　　　Ｗ.
答案　(1)D　(2)D　(3)
解析　(1)根据正弦定理＝，得
sin B＝＝＝.
由于b＝＞1＝a，所以B＝45°或B＝135°.
(2)法一　由余弦定理得AC2＝AB2＋BC2－2AB·BCcos B，得BC2＋2BC－15＝0，解得BC＝3或BC＝－5(舍去).
法二　由正弦定理＝，得sin C＝＝，从而cos C＝(C是锐角)，
所以sin A ＝sin [π－(B＋C)]＝sin(B＋C)＝sin Bcos C＋cos Bsin C＝×－×＝.
又＝，所以BC＝＝3.
(3)2cos Bcos C(tan B＋tan C)
＝2cos Bcos C
＝2sin Bcos C＋2sin Ccos B＝2sin(B＋C)＝2sin A，
又cos Btan B＋cos Ctan C＝sin B＋sin C，
所以sin B＋sin C＝2sin A，
由正弦定理得b＋c＝2a，
由余弦定理，得cos A＝＝＝－≥－＝，
当且仅当b＝c＝a时取等号，故cos A的最小值为.
感悟提升　1.利用正弦定理可解决以下两类三角形问题：一是已知两角和一角的对边，求其他边与角；二是已知两边和一边的对角，求其他边与角(该三角形具有不唯一性，常根据三角函数值的有界性和大边对大角定理进行判断).
2.利用余弦定理可解决以下两类三角形问题：一是已知两边和它们的夹角，求其他边与角；二是已知三边求各个角.由于这两种情形下的三角形是唯一确定的，所以其解也是唯一的.
训练1 (1)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若a＝80，b＝100，A＝45°，则符合条件的三角形有(　　)
A.一个 B.两个
C.一个或两个 D.0个
(2)(2021·浙江卷)在△ABC中，∠B＝60°，AB＝2，M是BC的中点，AM＝2，则AC＝　　　　，cos∠MAC＝　　　　.
答案　(1)B　(2)2　
解析　(1)由题意知，a＝80，b＝100，A＝45°，
由正弦定理，得＝，
所以sin B＝.
因为aA，故B有两解，即符合条件的三角形有两个.
(2)由题意知在△ABM中，AB＝2，∠B＝60°，AM＝2，
由余弦定理得AM2＝AB2＋BM2－2AB·BM·cos B，即12＝4＋BM2－4·BM·，
解得BM＝4或BM＝－2(舍).
∵M为BC的中点，
∴BM＝MC＝4，BC＝8，
在△ABC中，由余弦定理知AC2＝AB2＋BC2－2AB·BC·cos B，
∴AC2＝4＋64－2×2×8×＝52，
∴AC＝2.
在△AMC中，由余弦定理可得
cos ∠MAC＝
＝＝.
考点二　利用正、余弦定理判断三角形的形状
例2 (1)在△ABC中，内角A，B，C的对边a，b，c依次成等差数列，且B＝，则△ABC的形状为(　　)
A.等边三角形
B.直角边不相等的直角三角形
C.等腰直角三角形
D.钝角三角形
(2)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若＝＝，则该三角形的形状是(　　)
A.直角三角形 B.等腰三角形
C.等边三角形 D.钝角三角形
答案　(1)A　(2)A
解析　(1)因为a，b，c依次成等差数列，
所以b＝.
由余弦定理可得cos B＝＝，
将b＝代入上式整理得(a－c)2＝0，
所以a＝c.
又B＝，所以△ABC为等边三角形.
(2)因为＝，
由正弦定理得＝，
所以sin Acos A＝sin Bcos B，
即sin 2A＝sin 2B.
由＝，可得a≠b，所以A≠B.
又A，B∈(0，π)，
所以2A＝π－2B，即A＋B＝，
所以C＝，故△ABC是直角三角形.
感悟提升　1.判定三角形形状的途径：(1)化边为角，通过三角变换找出角之间的关系；(2)化角为边，通过代数变形找出边之间的关系，正(余)弦定理是转化的桥梁.
2.无论使用哪种方法，都不要随意约掉公因式，要移项提取公因式，否则会有漏掉一种形状的可能.注意挖掘隐含条件，重视角的范围对三角函数值的限制.
训练2 (1)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若＜cos A，则△ABC为 (　　)
A.钝角三角形 B.直角三角形
C.锐角三角形 D.等边三角形
(2)设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若bcos C＋ccos B＝asin A，则△ABC的形状为　　　　.
答案　(1)A　(2)直角三角形
解析　(1)由＜cos A，得＜cos A.
又B∈(0，π)，所以sin B＞0，
所以sin C＜sin Bcos A，
即sin(A＋B)＜sin Bcos A，
所以sin Acos B＜0.
因为在三角形中sin A＞0，所以cos B＜0，
即B为钝角，所以△ABC为钝角三角形.
(2)由正弦定理得
sin Bcos C＋sin Ccos B＝sin2A，
∴sin(B＋C)＝sin2A，即sin A＝sin2A.
∵A∈(0，π)，∴sin A>0，
∴sin A＝1，即A＝，
∴△ABC为直角三角形.
考点三　与三角形面积(周长)有关的问题
例3 (12分)(2020·全国Ⅱ卷)△ABC中，sin2A－sin2B－sin2C＝sin Bsin C.
(1)求A；
(2)若BC＝3，求△ABC周长的最大值.
[规范解答]
解　(1)由正弦定理和已知条件得
BC2－AC2－AB2＝AC·AB.①2分
由余弦定理得BC2＝AC2＋AB2－2AC·ABcos A.②
由①②得cos A＝－.4分
因为0