备战2024年高考数学大一轮复习（人教A版-理）第八章 立体几何与空间向量 第6节 空间向量及其应用

这是一份备战2024年高考数学大一轮复习（人教A版-理）第八章 立体几何与空间向量 第6节 空间向量及其应用，共25页。试卷主要包含了空间向量的有关定理，空间向量数量积的运算律，空间向量的坐标表示及其应用，直线的方向向量和平面的法向量，空间位置关系的向量表示等内容，欢迎下载使用。

第6节　空间向量及其应用
考试要求　1.了解空间向量的概念，了解空间向量的基本定理及其意义，掌握空间向量的正交分解及其坐标表示；2.掌握空间向量的线性运算及其坐标表示；
3.掌握空间向量的数量积及其坐标表示，能用向量的数量积判断向量的共线和垂直；4.理解直线的方向向量及平面的法向量；5.能用向量语言表述线线、线面、面面的平行和垂直关系；6.能用向量方法证明立体几何中有关线面位置关系的一些简单定理.


1.空间向量的有关概念
名称
定义
空间向量
在空间中，具有大小和方向的量
相等向量
方向相同且模相等的向量
相反向量
方向相反且模相等的向量
共线向量
(或平行向量)
表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合的向量
共面向量
平行于同一个平面的向量
2.空间向量的有关定理
(1)共线向量定理：对空间任意两个向量a，b(b≠0)，a∥b的充要条件是存在实数λ，使得a＝λb.
(2)共面向量定理：如果两个向量a，b不共线，那么向量p与向量a，b共面的充要条件是存在唯一的有序实数对(x，y)，使p＝xa＋yb.
(3)空间向量基本定理：如果三个向量a，b，c不共面，那么对空间任一向量p，存在有序实数组{x，y，z}，使得p＝xa＋yb＋zc，其中，{a，b，c}叫做空间的一个基底.
3.空间向量的数量积
(1)两向量的夹角：已知两个非零向量a，b，在空间任取一点O，作＝a，＝b，则∠AOB叫做向量a与b的夹角，记作〈a，b〉，其范围是[0，π]，若〈a，b〉＝，则称a与b互相垂直，记作a⊥b.
(2)两向量的数量积：非零向量a，b的数量积a·b＝|a||b|cos〈a，b〉.
4.空间向量数量积的运算律
(1)结合律：(λa)·b＝λ(a·b)；
(2)交换律：a·b＝b·a；
(3)分配律：a·(b＋c)＝a·b＋a·c.
5.空间向量的坐标表示及其应用
设a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3).

向量表示
坐标表示
数量积
a·b
a1b1＋a2b2＋a3b3
共线
a＝λb(b≠0，λ∈R)
a1＝λb1，a2＝λb2，a3＝λb3
垂直
a·b＝0(a≠0，b≠0)
a1b1＋a2b2＋a3b3＝0
模
|a|

夹角
〈a，b〉(a≠0，b≠0)
cos〈a，b〉＝
6.直线的方向向量和平面的法向量
(1)直线的方向向量：如果表示非零向量a的有向线段所在直线与直线l平行或重合，则称此向量a为直线l的方向向量.
(2)平面的法向量：直线l⊥α，取直线l的方向向量a，则向量a叫做平面α的法向量.
7.空间位置关系的向量表示
位置关系
向量表示
直线l1，l2的方向向量分别为n1，n2
l1∥l2
n1∥n2⇔n1＝λn2
l1⊥l2
n1⊥n2⇔n1·n2＝0
直线l的方向向量为n，平面α的法向量为m
l∥α
n⊥m⇔n·m＝0
l⊥α
n∥m⇔n＝λm
平面α，β的法向量分别为n，m
α∥β
n∥m⇔n＝λm
α⊥β
n⊥m⇔n·m＝0

1.在平面中A，B，C三点共线的充要条件是：＝x＋y(其中x＋y＝1)，O为平面内任意一点.
2.在空间中P，A，B，C四点共面的充要条件是：＝x＋y＋z(其中x＋y＋z＝1)，O为空间任意一点.
3.向量的数量积满足交换律、分配律，即a·b＝b·a，a·(b＋c)＝a·b＋a·c成立，但不满足结合律，即(a·b)·c＝a·(b·c)不一定成立.
4.在利用＝x＋y证明MN∥平面ABC时，必须说明M点或N点不在平面ABC内.

1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”)
(1)直线的方向向量是唯一确定的.(　　)
(2)若直线a的方向向量和平面α的法向量平行，则a∥α.(　　)
(3)若{a，b，c}是空间的一个基底，则a，b，c中至多有一个零向量.(　　)
(4)若a·b<0，则〈a，b〉是钝角.(　　)
答案　(1)×　(2)×　(3)×　(4)×
解析　(1)直线的方向向量不是唯一的，有无数多个；
(2)a⊥α；(3)若a，b，c中有一个是0，则a，b，c共面，不能构成空间一个基底；(4)若〈a，b〉＝π，则a·b<0，故不正确.
2.如图所示，在平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，M为A1C1与B1D1的交点.若＝a，＝b，＝c，则下列向量中与相等的向量是(　　)

A.－a＋b＋c B.a＋b＋c
C.－a－b＋c D.a－b＋c
答案　A
解析　由题意，根据向量运算的几何运算法则，＝＋＝＋(－)＝c＋(b－a)＝－a＋b＋c.
3.正四面体ABCD的棱长为2，E，F分别为BC，AD的中点，则EF的长为________.
答案　
解析　||2＝2＝(＋＋)2
＝2＋2＋2＋2(·＋·＋·)
＝12＋22＋12＋2(1×2×cos 120°＋0＋2×1×cos 120°)
＝2.
所以||＝，所以EF的长为.
4.在空间直角坐标系中，已知A(1，2，3)，B(－2，－1，6)，C(3，2，1)，D(4，3，0)，则直线AB与CD的位置关系是(　　)
A.垂直 B.平行
C.异面 D.相交但不垂直
答案　B
解析　由题意得，＝(－3，－3，3)，＝(1，1，－1)，所以＝－3，
所以与共线，
又AB与CD没有公共点，所以AB∥CD.
5.如图所示，在空间直角坐标系中有直三棱柱ABC－A1B1C1，CA＝CC1＝2CB，则直线BC1与直线AB1夹角的余弦值为(　　)

A. B. C. D.
答案　A
解析　不妨令CB＝1，则CA＝CC1＝2，可得O(0，0，0)，B(0，0，1)，C1(0，2，0)，A(2，0，0)，B1(0，2，1)，
∴＝(0，2，－1)，＝(－2，2，1)，
∴cos〈，〉＝＝
＝＝＞0.
∴与的夹角即为直线BC1与直线AB1的夹角，
∴直线BC1与直线AB1夹角的余弦值为.
6.O为空间中任意一点，A，B，C三点不共线，且＝＋＋t，若P，A，B，C四点共面，则实数t＝________.
答案　
解析　因为＝＋＋t，且P，A，B，C四点共面，所以根据空间向量共面的条件可知＋＋t＝1，解得t＝.

考点一　空间向量的运算及共线、共面定理
1.如图，三棱锥O－ABC中，M，N分别是AB，OC的中点，设＝a，＝b，＝c，用a，b，c表示，则＝(　　)

A.(－a＋b＋c) B.(a＋b－c)
C.(a－b＋c) D.(－a－b＋c)
答案　B
解析　＝＋＝(－)＋＝－＋(－)＝＋－＝(a＋b－c).
2.在空间四边形ABCD中，若＝(－3，5，2)，＝(－7，－1，－4)，点E，F分别为线段BC，AD的中点，则的坐标为(　　)
A.(2，3，3) B.(－2，－3，－3)
C.(5，－2，1) D.(－5，2，－1)
答案　B
解析　因为点E，F分别为线段BC，AD的中点，设O为坐标原点，所以＝－，＝(＋)，＝(＋).
所以＝(＋)－(＋)
＝(＋)
＝[(3，－5，－2)＋(－7，－1，－4)]
＝(－4，－6，－6)＝(－2，－3，－3).
3.如图所示，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，O为AC的中点.用，，表示，则＝________.

答案　＋＋
解析　∵＝＝(＋)，
∴＝＋＝(＋)＋
＝＋＋.
感悟提升　用基向量表示指定向量的方法
(1)结合已知向量和所求向量观察图形.
(2)将已知向量和所求向量转化到三角形或平行四边形中.
(3)利用三角形法则或平行四边形法则把所求向量用已知向量表示出来.
考点二　共线定理、共面定理的应用
例1 已知E，F，G，H分别是空间四边形ABCD的边AB，BC，CD，DA的中点，用向量方法求证：

(1)E，F，G，H四点共面；
(2)BD∥平面EFGH.
证明　(1)连接BG，则＝＋
＝＋(＋)＝＋＋
＝＋，
由共面向量定理知E，F，G，H四点共面.

(2)因为＝－
＝－
＝(－)＝，
因为E，H，B，D四点不共线，所以EH∥BD.
又EH⊂平面EFGH，BD⊄平面EFGH，
所以BD∥平面EFGH.
感悟提升　1.证明空间三点P，A，B共线的方法
(1)＝λ(λ∈R)；
(2)对空间任一点O，＝＋t.
(3)对空间任一点O，＝x＋y(x＋y＝1).
2.证明空间四点P，M，A，B共面的方法
(1)＝x＋y；
(2)对空间任一点O，＝x＋y＋z(x＋y＋z＝1)；
(3)∥(或∥或∥).
3.三点共线通常转化为向量共线，四点共面通常转化为向量共面，线面平行可转化为向量共线、共面来证明.
训练1 已知A，B，C三点不共线，对平面ABC外的任一点O，若点M满足＝(＋＋).
(1)判断，，三个向量是否共面；
(2)判断点M是否在平面ABC内.
解　(1)由已知＋＋＝3，
∴－＝(－)＋(－).
即＝＋＝－－，
∴，，共面.
(2)由(1)知，，共面且过同一点M.
∴四点M，A，B，C共面，从而点M在平面ABC内.
考点三　空间向量的数量积及应用
例2 如图所示，已知空间四边形ABCD的每条边和对角线长都等于1，点E，F，G分别是AB，AD，CD的中点.

(1)求证：EG⊥AB；
(2)求EG的长；
(3)求异面直线AG和CE所成角的余弦值.
(1)证明　设＝a，＝b，＝c，
由题意知＝(＋－)
＝(b＋c－a)，
所以·＝(a·b＋a·c－a2)
＝＝0.
故⊥，即EG⊥AB.
(2)解　由(1)知＝－a＋b＋c，
||2＝a2＋b2＋c2－a·b＋b·c－c·a＝，
则||＝，即EG的长为.
(3)解　＝(＋)＝b＋c，
＝＋＝－b＋a，
cos，＝
＝
＝＝－，
由于异面直线所成角的范围是，
所以异面直线AG与CE所成角的余弦值为.
感悟提升　1.利用向量的数量积可证明线段的垂直关系，也可以利用垂直关系，通过向量共线确定点在线段上的位置.
2.利用夹角公式，可以求异面直线所成的角，也可以求二面角的平面角.
3.可以通过|a|＝，将向量的长度问题转化为向量数量积的问题求解.
训练2 如图所示，四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，底面为平行四边形，以顶点A为端点的三条棱长都为1，且两两夹角为60°.

(1)求AC1的长；
(2)求证：AC1⊥BD；
(3)求BD1与AC夹角的余弦值.
(1)解　记＝a，＝b，＝c，
则|a|＝|b|＝|c|＝1，
〈a，b〉＝〈b，c〉＝〈c，a〉＝60°，
∴a·b＝b·c＝c·a＝.
||2＝(a＋b＋c)2
＝a2＋b2＋c2＋2(a·b＋b·c＋c·a)
＝1＋1＋1＋2×＝6，
∴|1|＝，即AC1的长为.
(2)证明　∵＝a＋b＋c，＝b－a，
∴·＝(a＋b＋c)·(b－a)
＝a·b＋|b|2＋b·c－|a|2－a·b－a·c
＝b·c－a·c
＝|b||c|cos 60°－|a||c|cos 60°＝0.
∴⊥，∴AC1⊥BD.
(3)解　＝b＋c－a，＝a＋b，
∴||＝，||＝，
·＝(b＋c－a)·(a＋b)
＝b2－a2＋a·c＋b·c＝1.
∴cos〈，〉＝＝.
∴AC与BD1夹角的余弦值为.
考点四　利用空间向量证明平行、垂直
例3 如图，在四棱锥P－ABCD中，PA⊥底面ABCD，AD⊥AB，AB∥DC，AD＝DC＝AP＝2，AB＝1，点E为棱PC的中点.证明：

(1)BE⊥DC；
(2)BE∥平面PAD；
(3)平面PCD⊥平面PAD.
证明　依题意，以点A为原点建立空间直角坐标系(如图)，可得B(1，0，0)，C(2，2，0)，D(0，2，0)，P(0，0，2).

由E为棱PC的中点，得E(1，1，1).
(1)向量＝(0，1，1)，＝(2，0，0)，
故·＝0.所以BE⊥DC.
(2)因为AB⊥AD，
又PA⊥平面ABCD，AB⊂平面ABCD，
所以AB⊥PA，PA∩AD＝A，PA，AD⊂平面PAD，所以AB⊥平面PAD，
所以向量＝(1，0，0)为平面PAD的一个法向量，而·＝(0，1，1)·(1，0，0)＝0，所以BE⊥AB，
又BE⊄平面PAD，所以BE∥平面PAD.
(3)由(2)知平面PAD的法向量＝(1，0，0)，向量＝(0，2，－2)，＝(2，0，0)，
设平面PCD的一个法向量为n＝(x，y，z)，
则即
不妨令y＝1，可得n＝(0，1，1)为平面PCD的一个法向量.
且n·＝(0，1，1)·(1，0，0)＝0，
所以n⊥.
所以平面PAD⊥平面PCD.
感悟提升　1.利用向量法证明平行、垂直关系，关键是建立恰当的坐标系(尽可能利用垂直条件，准确写出相关点的坐标，进而用向量表示涉及到直线、平面的要素).
2.向量证明的核心是利用向量的数量积或数乘向量，但向量证明仍然离不开立体几何的有关定理，如在(2)中忽略BE⊄平面PAD而致误.
训练3 如图所示，在四棱锥P－ABCD中，PC⊥平面ABCD，PC＝2，在四边形ABCD中，∠B＝∠C＝90°，AB＝4，CD＝1，点M在PB上，PB＝4PM，PB与平面ABCD成30°的角.求证：

(1)CM∥平面PAD；
(2)平面PAB⊥平面PAD.
证明　以C为坐标原点，CB为x轴，CD为y轴，CP为z轴建立如图所示的空间直角坐标系C－xyz.

∵PC⊥平面ABCD，
∴∠PBC为PB与平面ABCD所成的角，
∴∠PBC＝30°.
∵PC＝2，
∴BC＝2，PB＝4，
∴D(0，1，0)，B(2，0，0)，A(2，4，0)，P(0，0，2)，M，
∴＝(0，－1，2)，＝(2，3，0)，＝.
(1)设n＝(x，y，z)为平面PAD的一个法向量，
则即
令y＝2，得n＝(－，2，1).
∵n·＝－×＋2×0＋1×＝0，
∴n⊥.
又CM⊄平面PAD，∴CM∥平面PAD.
(2)法一　由(1)知，＝(0，4，0)，＝(2，0，－2)，
设平面PAB的一个法向量m＝(x0，y0，z0)，
即即
令x0＝1，得m＝(1，0，)，
又∵平面PAD的一个法向量n＝(－，2，1)，
∴m·n＝1×(－)＋0×2＋×1＝0，
∴m⊥n，
∴平面PAB⊥平面PAD.
法二　如图，取AP的中点E，连接BE，
则E(，2，1)，＝(－，2，1).
∵PB＝AB，∴BE⊥PA.
又∵·＝(－，2，1)·(2，3，0)＝0，
∴⊥，∴BE⊥DA.
又PA∩DA＝A，PA，DA⊂平面PAD，
∴BE⊥平面PAD.
又∵BE⊂平面PAB，
∴平面PAB⊥平面PAD.
立体几何中的动态问题
立体几何中的动态问题主要包括：空间动点轨迹的判断，求轨迹长度的范围等问题.
一、求动点的轨迹(长度)
例1 (1)已知正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为2，E为棱CC1的中点，点M在正方形BCC1B1内运动，且直线AM∥平面A1DE，则动点M的轨迹长度为(　　)
A. B. C.2 D.π
(2)已知边长为1的正方形ABCD与CDEF所在的平面互相垂直，点P，Q分别是线段BC，DE上的动点(包括端点)，PQ＝.设线段PQ的中点M的轨迹为l，则l的长度为(　　)

A. B. C. D.2
答案　(1)B　(2)A
解析　(1)如图所示，以D为原点，以DA、DC、DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，则＝(2，0，2)，＝(0，2，1)，则平面A1DE的一个法向量为n＝(2，1，－2).

设M(x，2，z)，
则＝(x－2，2，z)，
由·n＝0得x－z＝1，
故点M的轨迹为以BC，BB1的中点为端点的线段，长为＝.
(2)以DA，DC，DE所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，

如图所示，设P(s，1，0)(0≤s≤1)，Q(0，0，t)(0≤t≤1)，M(x，y，z)，
由中点坐标公式易知x＝，y＝，z＝，
即s＝2x，t＝2z.
∵|PQ|＝＝，∴s2＋t2＝1，
∴4x2＋4z2＝1，∴x2＋z2＝.
又0≤s≤1，0≤t≤1，∴0≤x≤，0≤z≤，
∴PQ中点M的轨迹方程为
轨迹为垂直于y轴，且距离原点的平面内，半径为的四分之一圆周，∴l的长度为×2π×＝.
二、求线段长度的取值范围
例2 在空间直角坐标系O－xyz中，已知点A(1，0，2)，B(0，2，1)，点C，D分别在x轴，y轴上，且AD⊥BC，那么||的最小值是________.
答案　
解析　设C(x，0，0)，D(0，y，0)，
因为A(1，0，2)，B(0，2，1)，
所以＝(－1，y，－2)，＝(x，－2，－1).
因为AD⊥BC，
所以·＝－x－2y＋2＝0，
即x＋2y＝2.
因为＝(－x，y，0)，
所以||＝＝
＝＝≥.


1.已知平面α内有一点M(1，－1，2)，平面α的一个法向量为n＝(6，－3，6)，则下列点P中，在平面α内的是(　　)
A.P(2，3，3) B.P(－2，0，1)
C.P(－4，4，0) D.P(3，－3，4)
答案　A
解析　逐一验证法，对于选项A，＝(1，4，1)，∴·n＝6－12＋6＝0，∴⊥n，
∴点P在平面α内，同理可验证其他三个点不在平面α内.
2.已知a＝(1，0，1)，b＝(x，1，2)，且a·b＝3，则向量a与b的夹角为(　　)
A. B. C. D.
答案　D
解析　因为a·b＝x＋2＝3，所以x＝1，所以b＝(1，1，2)，
所以cos〈a，b〉＝＝＝，
又因为〈a，b〉∈[0，π]，
所以a与b的夹角为.
3.在下列命题中：
①若向量a，b共线，则向量a，b所在的直线平行；
②若向量a，b所在的直线为异面直线，则向量a，b一定不共面；
③若三个向量a，b，c两两共面，则向量a，b，c共面；
④已知空间的三个向量a，b，c，则对于空间的任意一个向量p总存在实数x，y，z使得p＝xa＋yb＋zc.
其中正确命题的个数是(　　)
A.0 B.1 C.2 D.3
答案　A
解析　a与b共线，a，b所在的直线也可能重合，故①不正确；根据自由向量的意义知，空间任意两向量a，b都共面，故②不正确；三个向量a，b，c中任意两个一定共面，但它们三个却不一定共面，故③不正确；只有当a，b，c不共面时，空间任意一向量p才能表示为p＝xa＋yb＋zc，故④不正确，综上可知四个命题中正确的个数为0.
4.已知空间四边形ABCD的每条边和对角线的长都等于a，点E，F分别是BC，AD的中点，则·的值为(　　)
A.a2 B.a2 C.a2 D.a2
答案　C
解析　如图，设＝a，＝b，＝c，

则|a|＝|b|＝|c|＝a，且a，b，c三向量两两夹角为60°.
＝(a＋b)，＝c，
∴·＝(a＋b)·c
＝(a·c＋b·c)
＝(a2cos 60°＋a2cos 60°)＝a2.
5.如图，在大小为45°的二面角A－EF－D中，四边形ABFE，CDEF都是边长为1的正方形，则B，D两点间的距离是(　　)

A. B.
C.1 D.
答案　D
解析　∵＝＋＋，
∴||2＝||2＋||2＋||2＋2·＋2·＋2·＝1＋1＋1－＝3－，故||＝.
6.如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，棱长为a，M，N分别为A1B和AC上的点，A1M＝AN＝，则MN与平面BB1C1C的位置关系是(　　)

A.斜交
B.平行
C.垂直
D.MN在平面BB1C1C内
答案　B
解析　建立如图所示的空间直角坐标系，由于A1M＝AN＝，

则M，
N，＝.
又C1D1⊥平面BB1C1C，
所以＝(0，a，0)为平面BB1C1C的一个法向量.
因为·＝0，
所以⊥，又MN⊄平面BB1C1C，
所以MN∥平面BB1C1C.
7.已知平面α内的三点A(0，0，1)，B(0，1，0)，C(1，0，0)，平面β的一个法向量n＝(－1，－1，－1)，则不重合的两个平面α与β的位置关系是________.
答案　α∥β
解析　设平面α的法向量为m＝(x，y，z)，
由m·＝0，得x·0＋y－z＝0⇒y＝z，
由m·＝0，得x－z＝0⇒x＝z，取x＝1，
∴m＝(1，1，1)，m＝－n，∴m∥n，∴α∥β.
8.已知＝(1，2，3)，＝(2，1，2)，＝(1，1，2)，点Q在直线OP上运动，则当·取得最小值时，点Q的坐标为________.
答案　
解析　设Q(x，y，z)，由点Q在直线OP上可得存在实数λ使得OQ＝λ，
则有Q(λ，λ，2λ)，＝(1－λ，2－λ，3－2λ)，＝(2－λ，1－λ，2－2λ)，
·＝(1－λ)(2－λ)＋(2－λ)(1－λ)＋(3－2λ)(2－2λ)＝2(3λ2－8λ＋5).
根据二次函数的性质可得当λ＝时，·取得最小值，此时Q的坐标为.
9.已知点P是平行四边形ABCD所在的平面外一点，如果＝(2，－1，－4)，＝(4，2，0)，＝(－1，2，－1).对于结论：①AP⊥AB；②AP⊥AD；③是平面ABCD的法向量；④∥.其中正确的序号是________.
答案　①②③
解析　∵·＝0，·＝0，
∴AB⊥AP，AD⊥AP，则①②正确；
又AB∩AD＝A，∴AP⊥平面ABCD，
∴是平面ABCD的法向量，则③正确；
∵＝－＝(2，3，4)，＝(－1，2，－1)，
∴与不平行，故④错误.
10.如图，在四棱锥P－ABCD中，PD⊥底面ABCD，底面ABCD为正方形，PD＝DC，E，F分别是AB，PB的中点.

(1)求证：EF⊥CD；
(2)在平面PAD内求一点G，使GF⊥平面PCB.
(1)证明　如图，以D为原点，分别以DA，DC，DP所在直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，

设AD＝a，则D(0，0，0)，A(a，0，0)，B(a，a，0)，C(0，a，0)，E，
P(0，0，a)，F.
＝，＝(0，a，0).
因为·＝0，所以⊥，
即EF⊥CD.
(2)解　设G(x，0，z)，
则＝，
若使GF⊥平面PCB，则需·＝0，且·＝0，
由·＝·(a，0，0)＝a＝0，得x＝；
由·＝·(0，－a，a)＝＋a＝0，得z＝0.
所以G点坐标为，
即G为AD的中点.
11.如图所示，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是正方形，侧棱PD⊥底面ABCD，PD＝DC，E是PC的中点，过点E作EF⊥PB于点F.求证：

(1)PA∥平面EDB；
(2)PB⊥平面EFD.
证明　以D为坐标原点，射线DA，DC，DP分别为x轴，y轴，z轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系D－xyz.

设DC＝a.
(1)连接AC交BD于点G，连接EG.
依题意得A(a，0，0)，P(0，0，a)，C(0，a，0)，
E.
因为底面ABCD是正方形，所以G为AC的中点，
故点G的坐标为，
所以＝(a，0，－a)，＝，
则＝2，故PA∥EG.
而EG⊂平面EDB，PA⊄平面EDB，
所以PA∥平面EDB.
(2)依题意得B(a，a，0)，
所以＝(a，a，－a).
又＝，
故·＝0＋－＝0，
所以⊥，所以PB⊥DE.
由题可知EF⊥PB，且EF∩DE＝E，
所以PB⊥平面EFD.

12.如图，正方形ABCD与矩形ACEF所在平面互相垂直，AB＝，AF＝1，M在EF上，且AM∥平面BDE.则M点的坐标为(　　)

A.(1，1，1) 　　 B.
C. 　　 D.
答案　C
解析　设AC与BD相交于O点，连接OE，由AM∥平面BDE，且AM⊂平面ACEF，平面ACEF∩平面BDE＝OE，∴AM∥EO，

又O是正方形ABCD对角线交点，
∴M为线段EF的中点.
在空间直角坐标系中，E(0，0，1)，F(，，1).
由中点坐标公式，知点M的坐标.
13.已知正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为a，点E，F，G分别为棱AB，AA1，C1D1的中点.下列结论中，正确结论的序号是________.

①过E，F，G三点作正方体的截面，所得截面为正六边形；
②B1D1∥平面EFG；
③BD1⊥平面ACB1；
④异面直线EF与BD1所成角的正切值为.
答案　①③④
解析　①正确.因为E，F，G为棱AB，AA1，C1D1的中点，设A1D1的中点为M，BB1的中点为N，B1C1的中点为P，连接点M，F，E，N，P，G可得截面为正六边形，所以①正确；
②错误.通过以DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴建立空间直角坐标系，求出，平面EFG法向量为n1，·n1≠0，所以B1D1与平面EFG不平行；
③正确.同上建系，求出，平面ACB1的法向量为n2，＝λn2，所以BD1⊥平面ACB1.
④正确.同上建系，求出，，
设夹角为θ，则cos θ＝，
由sin2θ＋cos2θ＝1，tan θ＝，得tan θ＝.
14.如图，在底面为直角梯形的四棱锥P－ABCD中，AD∥BC，∠ABC＝90°，PD⊥平面ABCD，AD＝1，AB＝，BC＝4.

(1)求证：BD⊥PC.
(2)设点E在棱PC上，＝λ，若DE∥平面PAB，求λ的值.
解　如图，在平面ABCD内过点D作直线DF∥AB，交BC于点F，以D为坐标原点，DA、DF、DP所在的直线分别为x、y、z轴建立空间直角坐标系，则A(1，0，0)，B(1，，0)，D(0，0，0)，C(－3，，0).

设PD＝a，则P(0，0，a)，
(1)证明　＝(－1，－，0)，＝(－3，，－a)，
因为·＝3－3＝0，所以BD⊥PC.
(2)由题意知，＝(0，，0)，＝(0，0，a)，＝(1，0，－a)，＝(－3，，－a)，
因为＝λ，
所以＝(－3λ，λ，－aλ)，
＝＋＝(0，0，a)＋(－3λ，λ，－aλ)＝(－3λ，λ，a－aλ).
设n＝(x，y，z)为平面PAB的法向量，
则即
令z＝1，得x＝a，所以n＝(a，0，1)，
因为DE∥平面PAB，所以·n＝0，
所以－3aλ＋a－aλ＝0，即a(1－4λ)＝0，
因为a≠0，所以λ＝.即λ的值为.